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高中数学常用公式及结论(整理)

高中数学

常用公式及结论

高中数学常用公式及结论 1. 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . ? ? A ? A ? ? 2.德摩根公式 : CU ( A I B) ? CU A UCU B; CU ( A U B) ? CU A I CU B . 3.包含关系:
A ? B ? A I B ? A ? A U B ? B ? CU B ? CU A ? A I CU B ? ? ? CU A U B ? R

5. 集合{a1 , a2 ,L , an } 的子集个数共有 2 n 个; 真子集有 2n ? 1 个; 非空子集有2n ? 1 个;非空的真子集有 2n ? 2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 (h, k ) 时,设为此式) (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) ; (当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 (4)切线式: f ( x) ? a( x ? x0 )2 ? (kx ? d ), (a ? 0) 。 (当已知抛 ( x1 ,0),( x2 ,0) 时,设为此式) 物线与直线 y ? kx ?d 相切且切点的横坐标为 x0 时,设为此式) 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式
N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 ?

? f ( x) ? N f ( x) ? N . ?0 ?? M ? f ( x) ? f ( x) ? M

8.方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在 (k1 , k 2 ) 内有且只有一个实根,等价于 f (k1 ) f (k2 ) ? 0 或
b ? ? k2 ? k1 ? ? 。 2a ? 2 ? ?? ? b ? 4ac ? 0

9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间? p, q ?
b ? ? p, q ?,则 2a b x ? ? ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x) min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a b (2)当 a<0 时,若 x ? ? ? ? p, q ?,则 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? , 2a b 若 x ? ? ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a 10.一元二次方程 f ( x) ? x2 ? px ? q =0 的实根分布 b 处及区间的两端点处取得,具体如下:(1)当 a>0 2a b f ( x) min ? f ( ? ), f ( x) max ?max ?f ( p), f ( q) ? ; 2a

上的最值只能在 x ? ?
x??

时,若

? p 2 ? 4q ? 0 (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? ; ? p ? ? m ? ? 2 (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 p m?n p ? ?m ? n ?m ? ? 2 ? 2 ? 2 ??2 ?n ? ? f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ; ? ? f ( n) ? 0 f ( m) ? 0 ? ? ? ?
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常用公式及结论

? p 2 ? 4q ? 0 (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, m) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? . ? p ? ? m ? ? 2

11.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? ,?? ?, ? ? ,?? ,?? ? 不同)上含参数 的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x)min ? t,( x ? L) 。 (2)在给定区间 (??,??) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f ( x)max ? t,( x ? L) 。 (3) 在给定区间 (??,??) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)的有解 充要条件是 f ( x)max ? t,( x ? L) 。 (4) 在给定区间 (??,??) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x) ? t ( t 为参数)有解 的充要条件是 f ( x)min ? t,( x ? L) 。 对于参数 a 及函数 y ? f ( x), x ? A .若 a ? f ( x) 恒成立,则 a ? f max ( x) ;若 a ? f ( x) 恒 成立,则 a ? fmin ( x) ;若 a ? f ( x) 有解,则 a ? fmin ( x) ;若 a ? f ( x) 有解,则 a ? f max ( x) ; 若 a ? f ( x) 有解,则 fmin ( x) ? a ? fmax ( x) .(若函数 y ? f ( x), x ? A 无最大值或最小值的情 况,可以仿此推出相应结论). 12.真值表 p q 非 p或 p q 真 真 真 假 假 真 假 假 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成 立 对任何 x ,不 成立 假 假 真 真 p 且 q 真 真 真 假 真 假 假 假 反设词 不是 不都是 不大于

13. 常见结论的否定形式 原结论 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有 n 个 至多有( n ?1 ) 个 不小于 至多有 n 个 至少有( n ?1 ) 个 ?p 且 ?q 存在某 x , 不成 p 或 q 立 ?p 或 ?q 存在某 x , 成立 p 且 q
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常用公式及结论

14.四种命题的相互关系(右图): 15.充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论) (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2) 必要条件: 若q ? p , 则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条 件;反之亦然. 16.函数的单调性的等价关系 (1)设 x1 , x2 ? ? a, b? , x1 ? x2 那么

原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q

互 逆 互 为 为 互 否

逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p



逆 否

互 逆

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?

(2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. 17.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也 是减函数; 如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是增函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是增函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合 函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是增 函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数;如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义 域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是减函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个 函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 19.常见函数的图像:
y
y
y
y

y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

2 -1
o1

1 y=x+ x
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1
o

a>0

y=kx+b

-2

1 a>1

x

y=ax2+bx+c

20.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是
x? a?b ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 2

的图象关于直线 x ?
a 2

b?a 对称. 2

21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2a 的周期函数.
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n n ?1

常用公式及结论

22.多项式函数 P( x) ? an x ? an?1x ? L ? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) . (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?
a?b 对称 2 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?
a?b 2m

对称.

(3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的 图象; 若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、 上移 b 个单位, 得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的 图象. 26.互为反函数的两个函数的关系: f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a . 27.函数 y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的交点不一定全在直线 y ? x 上。 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx ? f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? loga x ? f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y)
f (0) ? 1, lim sin x ? 1. x ?0 x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0)(1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a;
1 1 ( f ( x) ? 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ; ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? f ( x) f ( x) 1 (3) f ( x) ? 1 ? ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a ; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f ( x) 的周期 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

(2) f ( x ? a) ?

T=4a; 30.分数指数幂 (1) a n ? n a m( a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .(2) a 31.根式的性质 (1)( n a )n ? a .(2)当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时,n a n ?| a |? ?
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m

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1 ) .
?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

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r s

常用公式及结论
r? s

32.有理指数幂的运算性质(1) a ? a ? a ( a ? 0, r, s ? Q) .(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) . 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂 的运算性质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 34.对数的换底公式 : log a N ? 对数恒等式: a log
N ? 0 ).
a

N

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n ? N ( a ? 0 , 且 a ? 1 , N ? 0 ). 推论 log a m b n ? log a b ( a ? 0 , 且 a ? 1 , m

35.对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则
M ? log a M ? log a N ; N n (3) loga M n ? n loga M (n ? R) ; (4) log am N n ? log a N (n, m ? R) 。 m 2 36.设函数 f ( x) ? log m (ax ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b 2 ? 4ac .若 f ( x) 的定义域为 R ,则

(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a

a ? 0 且 ? ? 0 ; 若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 。

37. 对数换底不等式及其推广:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) log m? p (n ? p) ? log m n . (2) log a m log a n ? log a 2
m?n . 2

38. 平均增长率的问题(负增长时 p ? 0 ) 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) x . 39.数列的通项公式与前 n 项的和的关系: an ? ? 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? L ? an ). 40.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2 a 41.等比数列的通项公式: an ? a1q n?1 ? 1 ? q n (n ? N * ) ; q

n ?1 ? s1 , ( 数列{an } 的前 n ? sn ? sn ?1 , n ? 2

其前 n 项和公式为: sn ?

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? 其前 n 项的和公式为 sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?an ?: an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1

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常用公式及结论

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? ; an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ,q ?1 ? q ?1 ? ?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) 其前 n 项和公式为: sn ? ? . d 1 ? qn d ? ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?

43.分期付款(按揭贷款) : 每次还款 x ? 为 b ).
?

ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率 (1 ? b) n ? 1

44.常见三角不等式(1)若 x ? (0, ) ,则 sin x ? x ? tan x .(2) 若 x ? (0, ) ,则
2 2

?

1 ? sin x ? cos x ? 2 . (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .

45.同角三角函数的基本关系式 :sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan? = 46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

sin ? cos ?

,tan? ? cot? ? 1 .

n n ? ? 2 n? ( ? 1) co s ? , (n为偶数) ?(?1) 2 sin ? , (n为偶数) n? ? sin( ? ? ) ? ? , co s( ? ? ) ? ? n ?1 n ?1 2 2 ?(?1) 2 co s ? , (n为奇数) ?(?1) 2 sin ? , (n为奇数) ? ?

47.和角与差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 mtan ? tan ?

; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? msin ? sin ? ;

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? ( 平方正弦公

式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? . a sin? ? b cos? = a2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角? 所在象限由点 (a, b) 的象限决 定, tan ? ?
b a

).
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

48.二倍角公式及降幂公式
sin 2? ? sin ? cos? ?

. cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?
1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? 2 2 tan ? ?

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

.
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

.

sin 2 ? ?

sin 2? 1? cos 2 ? ? 1 ? cos 2? sin 2 ?

49. 三倍角公式
sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? )sin( ? ? ) 3 3 cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) . 3 3

?

?

?

?

50.三角函数的周期公式
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常用公式及结论

函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω ,? 为常数,且 A≠
? 0)的周期 T ? 2? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A,ω ,? 为常数,且 A≠0)的
|? |
2

周期 T ? ? .
|? |

三角函数的图像:

y=sinx
-π/2 -2π -3π/2 -π

y
1

y=cosx
π/2 π 3π/2 2π

y
1

o
-1

x

-2π -3π/2



-π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

五点法作图列表: ? x ?? 0
x
y

π /2

π

3π /2



51.正弦定理 :

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C ? a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C

52.余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C . 53.面积定理
1 1 1 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 a ? b-c斜边 2S? r?内切圆 ? , r直角?内切圆 ? a?b?c 2

(1) S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). (3) S?OAB ?
uuu r uuu r uuu r uuu r 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB) 2 2

.

54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ? 56.最简单的三角不等式及其解集
sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

. sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z .
cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .

tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

57.实数与向量的积的运算律:设λ 、 μ 为实数, 那么(1) 结合律: λ (μ a )=(λ r μ ) a; r r r r r r a =λ a + μ a ; (3)第二分配律:λ ( a + b )=λ a + λ (2) 第一分配律: ( λ + μ ) r b. r r r r 58.向量的数量积的运算律:(1) a · b = b · a (交换律);
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r

高中数学 常用公式及结论 r r r r r r r r r r r r r r r b = ?( a ·b ) (2) (? a ) · = ? a ·b = a · (? b ) ;(3) (a + b ) · c = a ·c + b · c.

59.平面向量基本定理 r r 如果 e1 、 那么对于这一平面内的任一向量, e2 是同一平面内的两个不共线向量, r r r r r 有且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 .不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这 一平面内所有向量的一组基底. uuu u r uuu r uuu r 三点 A、B、C 共线的充要条件: MC ? ? MA ? (1 ? ? )MB (M 为任意点) r r r r 60.向量平行的坐标表示:设 a = ( x1, y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则 r r r r a P b ( b ? 0 ) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . r r r r r r 53. a 与 b 的数量积(或内积): a · b =| a || b | cos? 。 r r r r r r r r 61. a · b 的几何意义:数量积 a · b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影 r | b | cos? 的乘积.
r r r r r a ?b 向量 b 在向量 a 上的投影:|b | cos? = r . |a|

62.平面向量的坐标运算 r r r r (1)设 a = ( x1, y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . r r r r (2)设 a = ( x1, y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . uuu r uuu r uuu r (3)设 A ( x1, y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . r r r r r r b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) . (4)设 a = ( x, y ), ? ? R , 则 ? a = (? x 则a · , ? ) y .(5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,
r r r xx ?yy a ?b r 63.两向量的夹角公式 cos ? ? r r ? 2 1 22 1 22 2 ( a = ( x1, y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ). | a |?| b | x1 ? y1 ? x2 ? y2 uuu r uuu r uuu r 64.平面两点间的距离公式 d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 (A ( x1, y1 ) ,

B ( x2 , y2 ) ). r r r r 65.向量的平行与垂直 :设 a = ( x1, y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则 r r r r r r r r r r a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式 :设 P x1 ,y1 ) ,P2 ( x2 , y2 ) ,P( x, y ) 是线段 PP 1 2 的分点, ? 是实数, 1(
? x1 ? ? x2 uuu r uuur x? uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ? uuu r OP ? ? OP 1 ? 1? ? 1 2 ? ? PP2 ,则 ? ? OP ? ? OP ? tOP 且 PP ). 1 1 ? (1 ? t )OP 2 (t ? 1? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?

67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1 )、 B(x2 ,y2 )、
C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是 G (
x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3 ' ' uuur uuu r r uuu ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ' ' ? OP ? OP ? PP . ?? ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?

68.点的平移公式

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P' ( x' , y' ) ,且 PP ' 的 坐标为 (h, k ) . 69.“按向量平移”的几个结论 r (1)点 P(x, y ) 按向量 a = (h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) .
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uuu r

r (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a = (h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的函数解析式为
y ? f ( x ? h) ? k .

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常用公式及结论

(3) 图象 C ' 按向量 a = (h, k ) 平移得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C ' 的解析式 为 y ? f ( x ? h) ? k . r (4)曲线 C : f ( x, y ) ? 0 按向量 a = (h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . r r r (5) 向量 m = ( x, y ) 按向量 a = (h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m = ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 uuu r 2 uuu r 2 uuu r2 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . uuu r uuu r uuu r r (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . uuu r uuu r uuu r r (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . uuu r uuu r uuu r (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 71.常用不等式: (1) a, b ? R ? a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
a?b ? ab ( 当且仅当 a=b 时取“=”号) . 2 a ? b ? a?b ? a ? b (4) 柯西不等式: ( (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R . 5)

r

(2) a, b ? R? ?

.

(6)

2ab a ?b a 2 ? b2 ? ab ? ? (当且仅当 a=b 时取“=”号)。 a?b 2 2

72.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s 2 . (3)已知 a, b, x, y ? R? ,若 ax ? by ? 1 则有
1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by)( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 。 x y x y x y a b (4)已知 a, b, x, y ? R? ,若 ? ? 1 则有 x y a b ay bx x ? y ? ( x ? y)( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 x y x y
1 4

73.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根 之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) . 74.含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有 x ? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a . x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a . 75.无理不等式
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常用公式及结论

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? (1) f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . (3) f ( x) ? g ( x) ? ? . ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 (2) f ( x) ? g ( x) ? ? . 或? ?? 或? ? g ( x) ? 0 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ?

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, a
f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)当 0 ? a ? 1时, a 77.斜率公式 k ?

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ;

y2 ? y1 (P 2 ( x2 , y2 ) ). 1 ( x1 , y1 ) 、 P x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).
y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). r r 直线 Ax ? By ? C ? 0 的法向量: l ? ? ( A, B) ,方向向量: l ? ( B, ? A)

(3)两点式

79.两条直线的平行和垂直(1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,
C2 k ?k 80.夹角公式 (1) tan ? ?| 2 1 | . ( l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) 1 ? k2 k1 AB ? A B (2) tan ? ?| 1 2 2 1 | .( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). A1 A2 ? B1B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 k2 ? k1 81. l1 到 l2 的角公式 (1) tan ? ? .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) 1 ? k2 k1 AB ? A B (2) tan ? ? 1 2 2 1 .( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). A1 A2 ? B1B2

① l1 || l2 ? A1 ? B1 ? C1 ;② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ;
A2 B2

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常用公式及结论

直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 ? .
2

82.四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交: (1)定点直线系方程:经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直 线 x ? x0 ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点 的直线系方程为 ( A1x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行 直线系方程. 与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ), λ 是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方 程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量. (5)直线系 F ( x, y, ? ) ? 0 与线段 AB, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 相交 ? F ( x1, y1, ?) ? F ( x2 , y2 , ?) ? 0 。 ⑹到定点 P0 ( x0 , y0 ) 距离为 r 的直线系方程: x cos? ? y sin ? ? r ? x0 cos? ? y0 sin ? ? 0 (其中? 是待定的系数) . 83.点到直线的距离 : d ?
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0, 当 B 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的上方的区域; 当 B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0, 当 A 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的右方的区域; 当 A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左。 85. ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是两直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 所成的对顶角区域(上下或左右两部分) 。 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F >0). (3)圆的参数方程 ?
? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

(4)圆的直径式方程 ( x ? x1)( x ? x 2) ?( y ? y 1)( y ?y 2) ?0 (圆的直径的端点是 A( x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ). 87. 圆系方程(1)过点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是
( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ? (ax ? by ? c) ? 0 ,其中 ax ? by ? c ? 0 是直线 AB 的方程,

λ 是待定的系数.
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2 2

常用公式及结论

(2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程是 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数. (3) 过圆 C1 : x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆 系方程是 x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数. 特别地,当 ? ? ?1 时, x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 就是 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 表示: ①当两圆相交时,为公共弦所在的直线方程; ②向两圆所引切线长相等的点的轨迹(直线)方程,有的称这条直线为根轴; 88.点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若 d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种( d ?
d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

):

90.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,
O1O2 ? d
d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .

内含

内切 r2-r1

相交

外切 相离 r1+r2

o

d

d

d

d

91.圆的切线方程及切线长公式 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有 一条,其方程是
D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点的切 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?

点弦方程. 求切点弦方程, 还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。 ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这 时必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b , 再利用相切条件求 b, 必有两条切 线. (2)已知圆 x2 ? y2 ? r 2 . ①过圆上的 P0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ;②斜率为 k 的圆的切线方程
y ? kx ? r 1 ? k 2 .
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常用公式及结论

(3) 过圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 外一点 ( x0 , y0 ) 的切线长为l ? x02 ? y02 ? Dx0 ? Ey0 ? F 92.椭圆
? x ? a cos? x2 y 2 的参数方程是 . ? ? 1( a ? b ? 0) ? y ? b sin ? a 2 b2 ?

离心率 e ? ? 1 ?

c a

b2 , a2

b2 a2 准线到中心的距离为 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。 c c 2 b 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: 2g . a 2 2 x y 93.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 a b ?F PF a2 a2 , 。 PF1 ? e( x ? ) ? a ? ex PF2 ? e( ? x) ? a ? ex ; S?F1PF2 ? c | yP |? b 2 tan 1 2 c c

94.椭圆的的内外部
2 2 x0 y0 x2 y 2 的内部 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 02 ? 0 ?1. a b a b2

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

95. 椭圆的切线方程
xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? c 2 . a b c b2 x2 y 2 96.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? ? 1 ? 2 ,准线到中心的距离 a a a b 2 2 b a 为 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经, c c 2 b 其长度为: 2g . a a2 a2 焦半径公式 PF1 ?| e( x ? ) |?| a ? ex | , PF2 ?| e( ? x) |?| a ? ex | , c c ?F PF 两焦半径与焦距构成三角形的面积 S?F1PF2 ? b 2 cot 1 。 2

(1)椭圆

97.双曲线的内外部
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ? ? ?1. 的内部 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 x2 y 2 ?1. (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 02 ? 0 a b a b2

(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为
x2 y2 x2 y 2 b ? ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: 2 2 2 a a b a b
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常用公式及结论

x y x2 y2 ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b

(2)若渐近线方程为 y ? ? b x ?

( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。 99. 双曲线的切线方程
xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? c 2 . a b 100. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 p CF ? x0 ? . 2 p p 2p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p . CD ? 2 (其中α 为倾斜角) 2 2 sin ? 2 y? 2 101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( , y? ) 或 P(2 pt 2 , 2 pt ) P ( xo, yo) ,其中 2p 2 yo ? 2 pxo .

(1)双曲线

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b2 b 4ac ? b2 ? 1 (1)顶点坐标为 (? , (2)焦点的坐标为 (? , ); ); 2a 4a 2a 4a 4ac ? b2 ? 1 (3)准线方程是 y ? . 4a

102.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a( x ?

103.以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切;以抛物线焦 点弦为直径的圆,必与准线相切;以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直 于轴的直线相切。 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (2)过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (3)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) ? ? f2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参 数).
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常用公式及结论
2 2 2

x y ? 2 ? 1 ,其中 k ? max{a 2 , b2 } . a ?k b ?k 2 2 当 k ? min{a , b } 时,表示椭圆; 当 min{a2 , b2} ? k ? max{a2 , b2} 时,表示双曲线.

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 或
AB ? (1 ? k 2 )[( x2 ? x1 )2 ? 4 x2 ? x1 ] ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?

(弦端点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由方程 ?

? y ? kx ? b 消去 y 得到 ax 2 ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 ,? F ( x , y ) ? 0 ?

为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率,| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ). 107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是
2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ? 0. 2 2 A ?B A2 ? B 2 特别地,曲线 F ( x, y ) ? 0 关于原点 O 成中心对称的曲线是 F (? x, ? y) ? 0 . F (x ?

曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 x 轴对称的曲线是 F ( x, ? y) ? 0 . 曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 y 轴对称的曲线是 F (? x, y) ? 0 . 曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? x 轴对称的曲线是 F ( y, x) ? 0 . 曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? ? x 轴对称的曲线是 F (? y, ? x) ? 0 . 108.圆锥曲线的第二定义: 动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为 常数 e ,若 0 ? e ? 1,M 的轨迹为椭圆;若 e ? 1 ,M 的轨迹为抛物线;若 e ? 1 ,M 的轨 迹为双曲线。 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1) 转化为判定共面二直线无交点; (2) 转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平 行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面 垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径: (1)转化为相交垂直; (2)转化为 线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线 垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交 二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个 平行平面。 114.证明平面与平面的垂直的思考途径
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常用公式及结论

(1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直;(3) 转化为两平 面的法向量平行。 r r r r 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律:a + b = b + a . r r r r r r r r r (2)加法结合律:( a + b )+ c = a +( b + c ). (3)数乘分配律:λ ( a + b )=λ a r +λ b . 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广:始点相同且不在同一个 平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始 点的对角线所表示的向量. r r r r r r 117.共线向量定理:对空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ), a ∥ b ? 存在实数 r r λ 使 a =λ b . uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB . uuu r uuu r uuu r uuu r AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线. r r r 118.共面向量定理 :向量 p 与两个不共线的向量 a 、 b 共面的 ? 存在实数对 r r r x, y , 使 p ? xa ? yb . 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 uuu r uuu r uuu r MP ? xMA ? yMB , uuu r uuuu r uuu r uuu r 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB . uuu r uuu r uuu r uuu r 119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC (x? y?z ?k) , 则当 k ? 1 时, 对于空间任一点 O , 总有 P、 A、 B、 C 四点共面; 当k ? 1 时,若 O ?平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ?平面 ABC,则 P、A、B、C 四 点不共面. uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A、B、 C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? xAB ? y AC ? uuu r uuu r uuu r uuu r OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ?平面 ABC). r r r 120.空间向量基本定理 :如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一 r r r r r 向量 b ,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,使 p =x a +y b +z c . 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三 uuu r uuu r uuu r uuu r 个有序实数 x,y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . uuu r r r 121.射影公式:已知向量 AB = a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点 uuu r r r r r 在 l 上的射影 A? ,作 B 点在 l 上的射影 B ? ,则 A?B? ?| AB | cos ? a, e ?? a ? e r r 122.向量的直角坐标运算设 a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则 r r r r (1) a + b = (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;(2) a - b = (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; r r r (3)λ a = (?a1, ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R);(4) a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; uuu r uuu r uuu r 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1) . r r 124.空间的线线平行或垂直:设 a ? ( x1, y1, z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则
? x1 ? ? x2 r r r r r r r r r r ? a P b ? a ? ? b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 . ?z ? ? z 2 ? 1 r r 125.夹角公式 设 a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则
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常用公式及结论

r r cos ? a, b ??

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

.

2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a12 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b32 ) ,此即三维柯西不等式.

126. 正棱锥的侧面与底面所成的角为? ,则 cos? ?

S底面 。 S侧面
1 3

特别地,对于正四面体每两个面所成的角为? ,有 cos ? ? 。
r r r r | x x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | 127.异面直线所成角 cos? ?| cos a, b | = r r ? 2 1 | a |?| b | x1 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2 r r b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向 (其中? ( 0o ? ? ? 90o )为异面直线 a,

量)

uuu r u r r AB ? m u r u r ( m 为平面? 的法向量). 128.直线 AB 与平面所成角 ? ? arc sin uuu | AB || m |

129.若 ?ABC 所在平面 ? 与过若 AB 的平面? 成的角? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是?1 、 ?2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则 sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? (sin 2 A ? sin 2 B)sin 2 ? . 特别地,当 ?ACB ? 90o 时,有 sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? sin 2 ? . 130.若 ?ABC 所在平面 ? 与过 AB 的平面? 成的角? ,另两边 AC , BC 与平面? 成 的角分别是?1 、 则 tan 2 ?1 ? tan 2 ?2 ? (sin 2 A' ? sin 2 B' ) tan 2 ? . ?2 , A'、B ' 为 ?ABO 的两个内角, 特别地,当 ?AOB ? 90o 时,有 sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? sin 2 ? . B 131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角(根据具体图形确定是锐角 ? 或是钝角) A ?1
u r r u r r u r r m?n m?n r r 或 ? ? arc cos u r r ( m , n 为平面? , ? 的 ? ? arc cos u | m || n | | m || n |
?2

D

?

C

法向量). 132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线, AD 是α 的一条斜线 AB 在α 内的射影, 且 BD⊥AD, 垂足为 D,设 AB 与α (AD)所成的角为?1 , AD 与 AC 所成的角为? 2 , AB 与 AC 所成 的角为? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 133. 三射线定理:若夹在平面角为? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所 成的角是?1 ,? 2 ,与二面角的棱所成的角是θ ,则有 sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 2sin ?1 sin ? 2 cos ? ; | ?1 ? ? 2 |? ? ? 180o ? (?1 ? ? 2 ) ( 当且仅当? ? 90o 时等号成立). 134.空间两点若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则
uuu r uuu r uuu r d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 . r 1 r r r r 135.点 Q 到直线 l 距离 h ? r (| a || b |)2 ? (a ? b )2 (点 P 在直线 l 上, a 为直线l 的方向向 |a|
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r uuu r 量, b = PQ ).

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常用公式及结论

136.异面直线间的距离

uuu r u u r r | CD ? n | r ( l1, l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1, l2 上任一点,d d? |n|

为 l1, l2 间的距离).

uuu r u u r r | AB ? n | 137.点 B 到平面? 的距离 d ? r ( n 为平面? 的法向量, A ?? , AB 是? 的一条 |n|

斜线段). 138.异面直线上两点距离公式 d ? h2 ? m2 ? n2 m2mn cos ? .
uuu r uuu r d ? h 2 ? m2 ? n 2 ? 2mn cos EA' , AF

.

d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos ? (? ? E ? AA' ? F ).

(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA' 的长度为 h.在直线 a、b 上 分别取两点 E、F, A' E ? m , AF ? n , EF ? d ). r r r r 2 r2 r2 r r r r r r 139.三个向量和的平方公式: (a ? b ? c)2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a
r 2 r2 r2 r r r r r r r r r r r r ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3 ,夹角 分别为?1、? 2、?3 ,则有 l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ? 2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? sin 2 ?3 ? 2 .(长 方体对角线长的公式是其特例).
S' 141. 面积射影定理 S ? .(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ,它们所 cos?

在平面成锐二面角为? ). 142. 斜棱柱的直截面:已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和
V斜棱柱 , 它的直截面的周长和面积分别是 c1 和 S1 , 则① S斜棱柱侧 ? c1l ;② V斜棱柱 ? S1l 。

143.作截面的依据三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互 相平行. 144.棱锥的平行截面的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截 面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比 等于对应边的比的平方) ; 相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的立方比;相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶 点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形, 则 面数 F 与棱数 E 的关系: E ? nF ;(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? mV . 146.球的半径是 R,则其体积V ? ? R 3 ,其表面积 S ? 4? R 2 .
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1 2

1 2

4 3

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常用公式及结论

147.球的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体 对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的 棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角 线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 四面体高
6 a (正 12

1 3 6 6 6 a 的 ), 外接球的半径为 a ( 正四面体高 a 的 ). 4 4 3 4 3 1 1 148.柱体、锥体的体积V柱体 ? Sh ( S 是底面积、h 是柱体的高).V锥体 ? Sh ( S 是 3 3 底面积、 h 是高).

149.分类计数原理(加法原理) : N ? m1 ? m2 ? L ? mn . 150.分步计数原理(乘法原理) : N ? m1 ? m2 ?L ? mn .
n! .( n ,m ∈N *, 且 m ? n ).规定 0!? 1. (n ? m) ! n m m m ?1 152.排列恒等式 :(1) Anm ? (n ? m ? 1) Anm?1 ;(2) Anm ? An ?1 ;(3 ) An ? nAn ?1 ; (4 ) n?m n n ?1 n (5) Anm?1 ? Anm ? mAnm?1 .(6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? L ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 . nAn ? An ?1 ? An ;

151.排列数公式 :Anm = n(n ? 1)? (n ? m ? 1) =

153.组合数公式: C nm =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! = = ( n ∈N *, m ? N ,且 m ? n ). m Am 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)!

154.组合数的两个性质:(1) C nm = C nn?m ;(2) C nm + Cnm?1 = C nm?1 .规定 Cn0 ? 1 . m 156.排列数与组合数的关系: Anm ? m . 157.排列问题(见资料)158.分配 ! ? Cn 问题(见资料) 159. “错位问题”2 封信与 2 个信封全部错位排列数:1;3 封信与 3 个信封全 部错位排列数:2; 4 封信与 4 个信封全部错位排列数: 9; 5 封信与 5 个信封全部错位排列数: 44; (一般记着上面的就够了) 160.不定方程 x1 +x2 +L +xn ? m 的解的个数 (1)方程 x1 +x2 +L +xn ? m ( n, m ? N ? )的正整数解有 C n ?1 个.
m ?1

(2) 方程 x1 +x2 +L +xn ? m ( n, m ? N )的非负整数解有 C n ?1 个. 1 n ?1 2 n?2 2 r n?r r n n a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; 161.二项式定理 (a ? b) n ? Cn0 a n ? Cn 1, 2? ,n) . 二项展开式的通项公式Tr ?1 ? Cnr a n?r b r (r ? 0, f ( x) ? (ax ? b)n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? L ? an x n 的展开式的系数关系: a0 ? a1 ? a2 ? L ? an ? f (1) ; a0 ? a1 ? a2 ? L ? (?1)n an ? f (?1) ; a0 ? f (0) 。
?
n ? m?1

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常用公式及结论

162.等可能性事件的概率: P( A) ?

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和: P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2) +?+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率: P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: Pn (k ) ? Cnk P k (1 ? P)n?k . 187. f ( x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)
f ?( x0 ) ? y? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?s s(t ? ?t ) ? s (t ) 188.瞬时速度:? ? s?(t ) ? ? . lim ? lim t ?0 ?t ?t ?0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) 189.瞬时加速度: a ? v?(t ) ? ? . lim ? lim t ?0 ?t ?t ?0 ?t dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) 190. f ( x) 在 (a, b) 的导数: f ?( x) ? y? ? ? ? ? . lim ? lim x ? 0 ? x ? 0 dx dx ?x ?x 191. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数
x ? x0

? lim

是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) . 192.几种常见函数的导数(1) C? ? 0 (C 为常数).(2) ( x )? ? nxn?1 (n ? Q) .(3)
n

(sin x)? ? cos x .(4) (cos x)? ? ? sin x .

(5) (ln x)? ? ; (log a x)? ? log a e .(6) (e x )? ? e x ;

1 x

1 x

(a x )? ? a x ln a .

193.导数的运算法则(1) (u ? v)' ? u ' ? v' .(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .(3)
u u 'v ? uv' ( )' ? (v ? 0) . v v2

? ? ? ? ? y? x ? yu ?ux ,或写作 f x (? ( x)) ? f (u)? ( x) . 1 1 195.常用的近似计算公式(当 x 充分小时)(1) 1 ? x ? 1 ? x ; n 1 ? x ? 1 ? x ; 2 n 1 ? 1 ? x ;(3) e x ? 1 ? x ;(4) ln (1 ? x) ? x ;(5) sin x ? x ( x (2) (1 ? x)? ? 1 ? ? x(? ? R) ; 1? x

194.复合函数的求导法则

为弧度) ;(6) tan x ? x ( x 为弧度) ;(7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法:当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.

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