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数列、解三角形、不等式(必修5)_图文

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编号:1 科目:数学 时间:2014.4.5 主题: 数列、解 三角形、不等式 (必修 5)

编号:1

科目:数学

时间:2014.4.5

主题:数列、解三角形、不等式(必修 5)

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高中数学必修 5 数列、解三角形、不等式 专题训练
第一部分:数列经典题型
类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 类型 2

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

解法:把原递推公式转化为

例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 例 2:已知 a1 ? 3 , a n ?1 类型 3

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1 3n ? 1 ? a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 变式:递推式: an?1 ? pan ? f ?n? 。解法:只需构造数列 ?bn ? ,消去 f ?n ? 带来的差异. 类型 4 q 均为常数,( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) 。 ( an?1 ? pan ? rqn ,其中 p, q, r 均为常数) 。 an?1 ? pan ? q n(其中 p,

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法一(待定系数——迭加法) :数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的 通项公式。 解法二(特征根法) : 数 列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,

a1 ? a, a2 ? b 的 特 征 方 程 是 :

3x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 。
? x1 ? 1, x 2 ? 2 2 n ?1 n?1 n?1 ,? an ? Ax1 ? Bx2 ? A ? B ? ( ) 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 3 3

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a 2 n ?1 ? 故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) 2 ?? ? 3 b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?
例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。 (或 Sn ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

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例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

类型 7 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 、 0,a ? 0) 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) ,与已知递推式比较,解出 x, y ,从而转化为 ?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。
例 2:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an 。 例 1:已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , an ? 3n?1 ? an?1(n ? 2) ,求通项公式 an 。

第二部分:数列的求和方法总结
1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n (2)等比数列的求和公式 S n ? ? a1 (1 ? q ) (切记:公比含字母时一定要讨论) (q ? 1) ? ? 1? q
2.公式法:
2 ? k 2 ? 1 2? 2 2? 3 ? k ?1 n 2 ?n ?

n( n? 1 ) ( 2 n ? 6

1)

3 ? k 3 ? 1 3? 2 3? 3? k ?1

n

) 3 ? n(n ? 1 ? ?n ? ? ? 2 ? ?

2

3.错位相减法:比如 ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn的和. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

n ? n!? (n ? 1)!?n!
5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
2 2 2 2 2 2 6.合并求和法:如求 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1 的和。

7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等

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第三部分:提高试题 一、填空题
1. (2013·重庆高考文科·T15)设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x2 ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范 围为 .
1 |a| ? 的最小值为 2|a| b

2. (2013·天津高考文科·T14)设 a + b = 2, b>0, 则

.

3. (2013·四川高考文科·T13)已知函数 f ( x) ? 4 x ?

a ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3 时取得最小值,则 a ? ___________。 x

? ?sinx,sinx≤cosx 4. (模拟)对于函数 f(x)=? 给出下列四个命题: ?cosx,sinx>cosx ?

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数;②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值是-1; 5π π 2 ③该函数的图象关于 x= +2kπ(k∈Z)对称;④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ . 4 2 2 其中正确命题的序号是________.(请将所有正确命题的序号都填上) 5. 已知方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0(a 为大于 1 的常数) 的两根为 tan ? ,t an ? , 且 ? 、? ? ? ? 的值是_________________. 6. (2009 上海九校联考)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2 ? 1 ,则 a8 ?
n

? ?? ? ? ,?? 则t a n ?, 2 ? 2 2?

.

7. (江苏省省阜中 2008 届高三第三次调研考试数学) 在等差数列 ?an ? 中, 则使 Sn 取得最小正数的 n ? .

a11 ? ?1, 若它的前 n 项和 Sn 有最大值, a10

8. ( 2007 — 2008 学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷) S n 为等差数列 { an } 的前 n 项和,若 a2 n ? 4n ? 1 ,则
an 2n ? 1
S2n = Sn



9. 已知 0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较 | loga (1 ? x) | 和| loga (1 ? x) | 的大小_________________________.

二、解答题
1. 某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为 1.5 元,每次购买原材料需支付运费 600 元,每千克原材 料每天的保管费用为 0.03 元,该厂每天需要消耗原材料 400 千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千 克不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1 关于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小,并求出这个最小值.

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2. 有两个各项都是正数的数列{ an },{ bn }.如果 a1=1,b1=2,a2=3.且 an , bn , a n ?1 成等差数列, bn , a n ?1 , bn ?1 成等比数列,试求 这两个数列的通项公式.

3. 设数列{ an }的前 n 项和 S n .已知首项 a1=3,且 S n?1 + S n =2 a n ?1 ,试求此数列的通项公式 an 及前 n 项和 S n .

4. (2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , tan C ? (1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

5. (2009 江西卷文)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ;

(2) bn ?

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n

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n

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6. (2008 四川卷)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn



(Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2n ?1 是等比数列; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式

?

?

7. (2009 常德期末)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ?

1 1 119 且 S n ? S n ?1 ? an ?1 ? ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? ? 且 4 2 4

3bn ? bn?1 ? n (n ? 2且n ? N ? ) .
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列;(3)求 ?bn ? 前 n 项和的最小值.

8. (山东省潍坊市 2007—2008 学年度高三第一学期期末考试)已知数列 {a n }是首项为 a1 ?

1 1 , 公比 q ? 的等比数列 ,设 4 4

bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn 。
4

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn; (3)若 c n ?

1 2 m ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

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9. (本题满分 14 分) 已知正数 m,n 满足 5m+2n=20. (1)求 lgm+lgn 的最大值,并求出取得最大值时的 m,n 的值; (2)求 1 ? 1 的最小值. m n

10. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 . (1)若不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ?x 3 ? x ? 4? ,求 a,b 的值; (2)当 b=2 时,若不等式 f ( x) ? 0 对一切实数 x 恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 a=1 时,设 g ( x) ? f ( x) ? 2b ,若存在 t1, t2 ? ?0, 1? ,使得 g (t1 ) g (t2 ) ? 0 成立,求 b 的取值范围.

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11. 如图,把正 ?ABC 分成有限个全等的小正三角形,且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数,使得任意两 个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点 A 为第一行, . . . ,BC 为第 n 行,记点 A

? ,第 i 行中第 j 个数为 aij (1 ? j ? i) .若 a11 ? 1, a 21 ? 上的数为 a11,
(1)求 a31、a32、a33 ; (2)试求第 n 行中第 m 个数 a nm 的表达式(用 n、m 表示) ; (3)记 S n ? an1 ?a n2 ?? ? anm (n ? N * ) ,求证: n ?

1 1 , a 22 ? . 2 4

1 1 1 4n ? 1 ? ??? ? (n ? N * ) S1 S 2 Sn 3


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