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高中数学人教A版选修2-1练习课件:2.2.4 椭圆的简单几何性质(2)


第二章
圆锥曲线与方程 2.2 椭圆
课时作业16 椭圆的简单几何性质(2)

1

课堂对点训练

2

课后提升训练

? [目标导航] ? 1.通过椭圆标准方程的求法,体会一元二 次方程的根与系数的关系的应用. ? 2.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系, 并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.

课堂对点训练

知识点一

直线与椭圆的交点问题

1.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y +4=0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( A.3 2 C.2 7 B.2 6 D.4 2 )

x2 y2 解析:根据题意设椭圆方程为 2 + 2=1(b>0),则将 x b +4 b =- 3y-4 代入椭圆方程,得 4(b2+1)y2+8 3b2y-b4+12b2 =0,∵椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点,∴Δ= (8 3b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0,即(b2+4)(b2-3)=0, ∴b2=3,长轴长为 2 b2+4=2 7,故选 C.
答案:C

→· → 2.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足MF 1 MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( A.(0,1)
? C.? ?0, ? ? 1? ? B.?0,2? ? ? ? ? D.? ? ?

)

2? ? 2? ?

2 ? ? ,1? 2 ?

→· → 解析:∵MF 1 MF2=0, ∴M 点轨迹方程为 x2+y2=c2,其中 F1F2 为直径, 由题意知椭圆上的点在圆 x2+y2=c2 外部, 设点 P 为椭圆上任意一点,则|OP|>c 恒成立, 由椭圆性质知|OP|≥b,其中 b 为椭圆短半轴长, ∴b>c,∴c2<b2=a2-c2,∴a2>2c2,
?c ? 1 c ? ?2 ∴?a? < ,∴e= < a ? ? 2

2 2 .又∵0<e<1,∴0<e< . 2 2

答案:C

中点弦问题 x2 y2 3.直线 y=x+1 被椭圆 + =1 所截得的弦的中点坐标 4 2

知识点二

是(

) 2 5 A.( , ) 3 3 4 7 B.( , ) 3 3

2 1 13 17 C.(- , ) D.(- ,- ) 3 3 2 2 解析:把 y=x+1 代入椭圆方程,整理得 3x2+4x-2=0,
x1+x2 2 2 1 所以弦的中点坐标 x0= =- ,y0=x0+1=- +1= . 2 3 3 3 答案:C

4.中心在原点,焦点坐标为(0,± 5 2)的椭圆被直线 3x 1 -y-2=0 截得弦的中点的横坐标为 ,则椭圆方程为 2 ________.

y2 x2 解析: 椭圆焦点在 y 轴上, 可设方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 设直线 3x-y-2=0 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 x1 +x2=1,y1+y2=3(x1+x2)-4=-1,且
2 2 y x ? 1 1 ?a2+b2=1, ① ? 2 2 x2 ? y2 ② 2+ 2=1, ?a b

①-②得
2 2 2 y2 x1 -x2 ?y1+y2??y1-y2? ?x1-x2??x1+x2? 1-y2 + 2 =0, =- , a2 b a2 b2

y1-y2 x1-x2 ∴- 2 =- 2 , a b y1-y2 a2 a2 a2 = 2= 2 2= 2 =3. b x1-x2 a -c a -50 ∴a2=75,b2=25. y2 x2 ∴椭圆方程为 + =1. 75 25 2 2 y x 答案: + =1 75 25

相交弦的弦长问题 x2 2 5.已知直线 y=x+1 与椭圆 +y =1 相交于 A、B 两点, 4

知识点三

求弦 AB 的长.
? ?y=x+1, 解:解法一:由? 2 2 ? ?x +4y -4=0,

消去 y 得 5x2+8x=0.

8 解得 x=0 或- , 5 8 3 因此 A(- ,- ),B(0,1) 5 5 |AB|= 8 2 -3 8 2 2 ?- ? +? -1? = . 5 5 5

? ?y=x+1, 解法二:由? 2 2 ? x + 4 y -4=0, ?

消去 y 得 5x2+8x=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 则 x1+x2=- ,x1x2=0 5 即|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2+?x1+1-x2-1?2 = 2 ?x1-x2?2= 2 ?x1+x2?2-4x1x2 = 2 82 8 2 ?- ? = . 5 5

课后提升训练

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