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第一讲 函数的性质及其应用(课堂版)


第一讲
一、 【基础训练】 1.若 f ( x) ?

函数的性质及其应用

? log ? (? x ??)
?

,则 f ( x) 的定义域为___________.

2.函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域是_____________.

3.已知函数 f ( x) 为奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ?

1 , 则 f ( ?1) ? ____________. x

? x2 ? 4x 4.已知函数 f ( x) ? ? 2 ?4 x ? x

x?0 ,若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是________. x?0

5.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f (x+2)=f (x),且当 x∈[0,2)时, f (x)=log2(x+1),则 f (-2 012)+f (2 011)=______________.

x 6. 设 函 数 y=f(x) 定 义 在 实 数 集 上 , 它 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 且 当 x ≥ 1 时 , f ( x ) ? 3 ? 1, 则

1 2 3 ____________. f ( ), f ( ),f ( 从小到大的排列为 ) 3 3 2

二、 【思维拓展】 例 1.设函数 f ( x) ? a x ? (k ? 1)a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 )是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f (1) ? 0 ,试判断函数单调性,并求:不等式 f ( x2 ? tx) ? f (4 ? x) ? 0 恒成立时 t 的取值范围; (3)若 f (1) ?

3 ,且函数 g ( x) ? a2 x ? a ?2 x ? 2mf ( x) 在 [1, ??) 上的最小值为-2,求 m 的值. 2

? 2 x ? a, x ? 1 例 2.(1)已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为________. ? ? x ? 2a, x ≥ 1

(2)已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1, 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ?log a x, x ≥1

.

? ( x ? a)2 , x ≤ 0 ? (3)已知 f ( x ) ? ? ,若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围为______________. 1 ? x + ? a, x ? 0 x ?

例 3. (1) 若 y ? f ( x) 是定义在 R 上周期为 2 的周期函数, 且 f ( x) 是偶函数, 当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? 2x ? 1 , 则函数 g ( x) ? f ( x) ? log5 x 的零点个数为 .

?? x 2 ? 2 x, x ≤ 0 (2)已知函数 f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |≥ ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是___________. ? ln( x ? 1), x ? 0
(注:该题中 ? ln( x ? 1) ?? ?

1 ) x ?1

例 4.设函数 f (x)=|x-m|,函数 g(x)=x|x-m|+m2-7m (m∈ R). (1)若方程 f (x)=|m|在[-4,+∞)上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意 x1∈ (-∞,4],均存在 x2∈ [3,+∞),使得 f (x1)>g(x2)成立,求实数 m 的取值范围.

三、 【能力提升】 1.已知 a ?

5 ?1 ,函数 f ( x) ? a x ,若实数 m、n 满足 f (m)>f (n),则 m、n 的大小关系为________. 2

2.设函数 f ( x) ? x(e x ? ae? x ) ( x ? R) 是偶函数,则实数 a=________.

g (x) 有两个不相等的实根, 3.已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?1 ,g ( x) ? kx , 若 f (x) ? 则实数 k 的取值范围是___.

4.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0, ??) 单调递增.若实数 a 满足

1 f (log 2 a) ? f (log 2 ) ≤ 2 f (1) , 则 a 的取值范围是________________. a

5.在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a) ,P 是函数 y ? ( x ? 0) 图象上一动点,若点 P、A 之间的最 短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为______________.

1 x

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间[0,2]上是增函数, 若方程 f (x)=m (m>0) 在区间 [ ?8,8] 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 =__________.


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