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江苏省数学竞赛《提优教程》教案 第41讲 解不等式 Word版 含答案

第一讲 解不等式 本节主要内容为高次不等、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、含绝 对值的不等式的解法. 解不等式的根据是不等式的性质和不等式的同解原理. 解不等式与解方程以及寒暑地图象、性质有着较为密切的联系,它们互相转化、相互渗 透,又有所区别. A 类例题 例 1 解不等式 ( x 2 ? x ? 1)(x ? 1)(x ? 4)(6 ? x) ? 0 解:对任意 x, x ? x ? 1 ? 0 ,因此该式可省略,再把 6- x 变为 x-6,不等号方向作 2 相应改变,即原不等式与不等式 ( x ? 1)(x ? 4)(x ? 6) ? 0 同解. 用数轴标根法 -1 0 4 6 原不等式的解集为 {x | x ? ?1或4 ? x ? 6} 说明:高于二次的不等式称为高次不等式.解高次不等式一般都将多项式尽可能地分解, 使每个因式成为一次或二次式,而且各因式中 x 的最高次数的那一项的系数应为正数. 链接:早年,人们解高次不等式都要列表,过程有点繁. 1977 年美国人普鲁特和莫里 (M.H.protter, C.B.Morrey)将列表法简化为数轴上直接表示的方法,既快捷又方便,答案在 数轴上一目了然. 例 2 解不等式 1 1 ? x ?x | x| 2 解: (1)当 x>0 时,原不等式化为 ? x 2 ? x ? ? ? ? 1 1 ? 1 ?x ? 2 ? ?1 ? ?0 ? ? ? x ?1 ? x ?1 x ? ? x?0 ? x?0 ? x?0 ? ? x ? 2或x ? 1 ?? ? x ? 2或0 ? x ? 1 ; ? x?0 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ?1 ? x ? 1或x ? 0 ?? (2)当 x<0 时,原不等式化为 ? x ? x ? x ? ? x ? 1 ? x?0 ? ? x ? 0 x ? 0 ? ? ? x ? 0. 综合(1) (2) ,原不等式的解集为 {x | x ? 0或0 ? x ? 1或x ? 2} 说明:解不等式讲究一个“化”字,也就是将原不等式化为同解的最简单的不等式. 解 分 式不 等式 时 都是 把它 化 成同 解的 整 式不 等式 . 例如 不等 式 f ( x) ? 1 与 不等式 g ( x) f ( x) ? g ( x) ? 0 同解,也就是与 ? f ( x) ? g ( x)?.g ( x) ? 0 同解. g ( x) 一般情况下分式不等式是不能去分母的,但若能判定分母恒大于 0 或恒小于 0,则可以去 分母. 例 3 解不等式 2 x ? 5 ? x ? 1 解:原不等式化为 ? (1985 年 全国高考题.理科) (1) ?2 x ? 5 ? 0 ? x ?1 ? 0 ? 2x ? 5 ? 0 ? x ?1 ? 0 或? (2) ?2 x ? 5 ? ( x ? 1) 2 ? 5 ? 5 ?x ? ? 2 ? ? ? x ? ?1 2 ? ? x ? ?1 5 ? ? x??2 ? 对于(2) ? x ? ?1 ? ?1 ? x ? 2 ?? 1 ? x ? 2 ? ? 5 因此,原不等式的解集为 {x | ? ? x ? 2} 2 对于(1) ? 说明:解无理不等式时,为了化成有理不等式,一般都有乘方.但这时候一定要注意式 子的取值范围, 否则乘方后会破坏不等式的同解性. 例如 x=1 是不等式 x ? ?10 解集中的一 个元素,而 x=1 就不是不等式 x ? (?10) 解集中的元素. 2 一般地, ? ? ( x) ? 0 f ( x) ? ? ( x) ? ? ? f ( x) ? ? ( x) ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? [? ( x)]2 f ( x) ? ? ( x) ? ? 或? ?? ( x) ? 0 ? ? ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? ? ( x) ? ?? ( x) ? 0 ? f ( x) ? [? ( x)]2 ? 另外在解题过程忠,集合之间的“交” 、 “并”关系也必须理清楚,这样才能保证答案的 正确性. 情景再现 1. 解不等式 x 2 ( x ? 1) ?0 2 ? x ? x2 2. 设 a>0,解关于 x 的不等式 a(a ? x) ? a ? 2x 3. 设函数 f ( x) ? B 类例题 例 4 解不等式 4 ? 6 ? 9 x x x x 2 ? 1 ? ax ,其中 a>0,解不等式 f ( x) ? 1 (2000 年全国高考题.理科) 分析: 这是一个指数不等式. 注意到其底数 4、 6、 9 有如下关系 ( ) ? ( ) , ? 2 4 9 2 3 6 9 2 9 , ? 1, 3 9 因此类似于解指数方程,可以将不等式两边同除以 9 . 解:原不等式化为 ( ) ? ( ) ? 1 x x x 4 9 6 9 令 ( ) ? u ,则 ( ) ? u x x 2 3 4 9 2 (u ? 0) ,则有 u 2 ? u ? 1 ? 0 ? (u ? ?1? 5 1? 5 ?1? 5 2 ?1? 5 ).(u ? )?0?u ? ? ( )x ? ? 原不等式的解为 2 2 2 3 2 3 x ? log 2 5 ? 1 说明: y ? ( ) 为减函数,疏忽了这一点,解的最后一步就会出错.解指数不等式一般应先解 x 2 3 出 a 的范围,进而再求 x 的范围. 例 5 若 0 ? a ? 1 ,解不等式 loga x ? 6 logx a ? 1 解:令 loga x ? u ,由对数换底公式 log x a ? x 1 6 ,原不等式化为 u ? ? 1 ? u u u2 ? u ? 6 ? 0 ? u (u ? 2)(u ? 3) ? 0 .由数轴标根法得: u -3