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1.3.1二项式定理教案


1.3.1 二项式定理
执教人:罗杰
教学目标: 知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的 结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型:新授课 内容分析: 二项式定理是初中乘法公式的推广, 是排列组合知识的具体运用, 是学习概率的重要基 础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定 理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等. 通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识, 同时在求展开式、 其通项、 证恒等式、 近似计算等方面形成技能或技巧; 进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用; 重视学生 正确情感、态度和世界观的培养和形成. 二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特 殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点. 二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象、需要恰当地运用 组合数的性质 2、需要用到不太熟悉的数学归纳法. 在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动 的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以 使他们能在再创造的氛围中学习. 教学过程: 一、复习引入:
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⑴ (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? C2 a ? C2ab ? C2 b ;
2 2 2 0 2 1 2 2

0 3 1 2 2 3 3 ⑵ (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b

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⑶ (a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式,
4

即展开式应有下面形式的各项: a , a b , a b , ab , b ,

4

3

2 2

3

4

a 的系数是 C4 ; 展开式各项的系数: 上面 4 个括号中, 每个都不取 b 的情况有 1 种, 即 C4 种,
1 1 2 恰有 1 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系
3 2 2

0

4

0

数是 C4 ,恰有 3 个取 b 的情况有 C4 种, ab 的系数是 C4 ,有 4 都取 b 的情况有 C4 种,b 的系数是 C4 ,
4

2

3

3

3

4

4

0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 ∴ (a ? b)4 ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b .

二、讲解新课:
0 n 1 n r n ?r r n n 二项式定理: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ??? Cn b (n ? N ? )

⑴ (a ? b)n 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:

a n , a n b ,…, a n?r br ,…, bn ,
⑵展开式各项的系数:
0 0 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ; 1 1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a b 的系数是 Cn ,……, r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a
n n?r n n

r br 的系数是 Cn ,……,

n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn , 0 n 1 n r n ?r r n n ∴ (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ??? Cn a b ??? Cn b (n ? N ? ) ,

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b)n 的二项展开式,各项的系数
r r n?r r Cn (r ? 0,1,?n) 叫二项式系数, Cn a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b

注:1,二项展开式共有 n+1 项 2,各项中 a 的指数从 n 起依次减小 1,到 0 为止,各项中 b 的指数从 0 起依次增加 1, 到 n 为止
n 3,二项式系数为Cn0,Cn1,Cn2 ,… Cnk , … , Cn 是一组与二项式次数n有关的组合数,与a,b无关

1 r r 二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn

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三、讲解范例: 例 1.展开 (1 ?

1 4 ) . x
1 x 1 x 1 x 1 x

4 1 1 2 3 3 4 解: (1 ? ) ? 1 ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ( ) ? 1 ?

1 x

4 6 4 1 ? ? ? . x x 2 x3 x 4

例 2.展开 (2 x ?

1 6 ) . x

分析:先化简再运用公式 解: (2 x ?

1 6 1 ) ? 3 (2 x ? 1)6 x x

?

1 1 2 3 2 1 [(2 x)6 ? C6 (2 x)5 ? C6 (2 x) 4 ? C6 (2 x)3 ? C6 (2 x) 2 ? C6 (2 x) ? 1] 3 x 60 12 1 ? 64 x3 ? 192 x 2 ? 240 x ? 160 ? ? 2 ? 3 . x x x
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练习:求 ( x ? a)12 的展开式中的倒数第 4 项

解: ( x ? a)12 的展开式中共 13 项,它的倒数第 4 项是第 10 项,
9 12?9 9 3 3 9 T9?1 ? C12 x a ? C12 x a ? 220x3a9 .

例 3. (1)求 (1 ? 2 x) 7 的展开式的第 4 项的系数;
3 (2)求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数
9

1 x

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3 解: (1 ? 2 x) 的展开式的第四项是 T3?1 ? C7 (2x)3 ? 280x3 ,
7

∴ (1 ? 2 x)7 的展开式的第四项二项式系数是 35,第四项的系数是 280 . (2)∵ ( x ? ) 的展开式的通项是 Tr ?1 ? C9 x
r

1 9 x ∴ 9 ? 2r ? 3 , r ? 3 ,
3

9? r

1 (? ) r ? (?1) r C9r x 9? 2 r , x

3 3 ∴ x 的系数 (?1)3 C9 ? ?84 , x 的二项式系数 C9 ? 84 .
3

四、课堂练习:P31 练习 五、小结 :二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公 式的特点
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六、课后作业: P36 -37 习题 1.3A 组 1. 2. 3.4


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