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【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.4概率的加法公式同步课件 新人教B版必修3_图文

3.1.4 概率的加法公式

3.1. 4 概 率 的 加 法 公 式

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

学习目标 1.通过实例了解互斥事件、 对立事件的概念和 通过实例了解互斥事件、 通过实例了解互斥事件 实际意义, 实际意义 ,能根据互斥事件与对立事件的定义 辨别一些事件是否互斥,是否对立. 辨别一些事件是否互斥,是否对立. 2 . 掌握互斥事件的概率加法公式, 2. 掌握互斥事件的概率加法公式 , 并能用其 计算一些事件的概率. 计算一些事件的概率. 3. 了解概率的一般加法公式 , 能运用该公式 . 了解概率的一般加法公式, 解决一些简单问题. 解决一些简单问题. 4.培养学生利用一分为二,对立统一的辩证 .培养学生利用一分为二, 唯物主义观点分析问题和认识世界, 唯物主义观点分析问题和认识世界,提高利用 转化思想解决问题的能力. 转化思想解决问题的能力.

课前自主学案

温故夯基 频率: 次重复试验中, 发生了m次 频率:在n次重复试验中,事件 发生了 次, 次重复试验中 事件A发生了 m 则事件A发生的频率为 发生的频率为________ 则事件 发生的频率为 n .

知新益能 同一试验 中事件 和事件B不能 1.在___________中事件 和事件 不能 . 中事件A和事件 同时发生 ______________, 那么称事件 与 B为互斥事件 , 那么称事件A与 为互斥事件 互不相容事件 (或称 或称_________________). 或称 . 2.一般地,由事件 和B_________________ (即 .一般地,由事件A和 至少有一个发生 即 A发生或 发生,或A,B都发生 所构成的事件 , 发生或B发生 都发生)所构成的事件 发生或 发生, , 都发生 所构成的事件C, 称为事件A与 的并 或和), 记作C= ∪ 事件 的并(或和 称为事件 与 B的并 或和 , 记作 = A∪ B.事件 A∪ B是由事件 或 B所包含的基本事件组成的集 是由事件A或 所包含的基本事件组成的集 ∪ 是由事件 合. 3. 如果事件 , B互斥 , 那么事件 ∪ B发生 即 A, 互斥, 发生(即 , . 如果事件A, 互斥 那么事件A∪ 发生 ∪ = + B中至少有一个发生P(A∪B)=P(A)+P(B).分别发 中至少有一个发生)的概率等于事件 的概率等于事件A, B分别发 中至少有一个发生 的概率等于事件 ,. 生 的 概 率 的 和 , 即 __________________________

思考感悟 对任意两个事件A, , 对任意两个事件 ,B,P(A∪B)=P(A)+ ∪ = + P(B)一定成立吗? 一定成立吗? 一定成立吗

提示:不一定,如掷骰子试验中, 提示:不一定,如掷骰子试验中,事件 A“出 “ 1 现偶数点” 现偶数点”,P(A)= ;事件 B“出现 2 点”, = “ 2 1 1 P(B)= .有 P(A∪B)=P(A)= ,而不是 P(A∪ = 有 ∪ = = ∪ 6 2 1 1 2 B)=P(A)+P(B)= + = .只有当 A 与 B 互斥 = + = 只有当 2 6 3 时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才一定成立. ∪ = + 才一定成立. 才一定成立

且必有 4. 不能同时发生 . 不能同时发生________一个发生的两个 一个发生的两个 事件叫做互为对立事件, 事件A的对立事件 事件叫做互为对立事件 , 事件 的对立事件

A 对立事件A与 的概率之和等于1, 记作 ,对立事件 与 的概率之和等于 , A P(A)+P( A )=1. + = 即_____________________

课堂互动讲练

考点突破 判断事件之间的关系 判断下列各对事件是否是互斥事件, 判断下列各对事件是否是互斥事件,如 果是, 再判断它们是否是对立事件, 果是 , 再判断它们是否是对立事件 , 并说明 理由. 理由. 某小组有3名男生和 名女生,从中任选2名同 名男生和2名女生 某小组有 名男生和 名女生,从中任选 名同 学去参加演讲比赛, 其中: 学去参加演讲比赛, 其中: (1)恰有 名男生和恰有 名男生; 恰有1名男生和恰有 名男生; 恰有 名男生和恰有2名男生 (2)至少有 名男生和至少有 名女生; 至少有1名男生和至少有 名女生; 至少有 名男生和至少有1名女生
例1

(3)至少有 名男生和全是男生; 至少有1名男生和全是男生 至少有 名男生和全是男生; (4)至少有 名男生和全是女生. 至少有1名男生和全是女生 至少有 名男生和全是女生. 思路点拨】 【 思路点拨 】 判断两个事件是否为互斥事 就是考查它们能否同时发生, 件 , 就是考查它们能否同时发生 , 如果不能 同时发生,则是互斥事件, 同时发生 , 则是互斥事件 , 不然就不是互斥 事件. 事件. 是互斥事件, 【解】 (1)是互斥事件,但不是对立事件. 是互斥事件 但不是对立事件. 理由是:在所选的2名同学中 名同学中, 恰有1名男 理由是 : 在所选的 名同学中, “恰有 名男 实质选出的是“ 名男生和 名女生” 名男生和1名女生 生” 实质选出的是 “1名男生和 名女生 ”, 它与“ 恰有2名男生 不可能同时发生, 名男生” 它与 “ 恰有 名男生 ” 不可能同时发生 , 所 以是一对互斥事件,但它们不是对立事件, 以是一对互斥事件 , 但它们不是对立事件, 由于还有可能选出2名女生 名女生. 由于还有可能选出 名女生.

(2)不是互斥事件. 不是互斥事件. 不是互斥事件 理由是: 至少有 名男生 包括“ 名男生 名男生” 名男生、 理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1 名女生” 名都是男生” 名女生”和“2名都是男生”两种结果. 名都是男生 两种结果. 名女生” 名女生、 名男生 名男生” “至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生” 至少有 名女生 包括“ 名女生 名都是女生” 和“2名都是女生”两种结果,它们可能同时发 名都是女生 两种结果, 生. (3)不是互斥事件 不是互斥事件 理由: 至少有 名男生 包括“ 名男生 名男生” 名男生、 名 理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名 女生” 名都是男生” 女生”和“2名都是男生”两种结果,这与“全 名都是男生 两种结果,这与“ 是男生”可能同时发生. 是男生”可能同时发生.

(4)互斥事件且是对立事件. 互斥事件且是对立事件. 互斥事件且是对立事件 理由: 至少有1名男生 包括“ 名男生 名男生” 名男生、 名 理由:“至少有 名男生”包括“1名男生、1名 女生” 名都是男生” 女生”和“2名都是男生”两种结果,这与“全 名都是男生 两种结果,这与“ 是女生”不可能同时发生,并且它们中必有1个 是女生”不可能同时发生,并且它们中必有 个 发生. 发生. 名师点评】 互斥事件是概率知识的重要概念, 【名师点评】 互斥事件是概率知识的重要概念, 必须正确理解. 必须正确理解. (1)互斥事件是对两个事件而言的 , 若有 、 B两 互斥事件是对两个事件而言的, 互斥事件是对两个事件而言的 若有A、 两 事件,当事件A发生时 事件B就不发生 发生时, 就不发生; 事件,当事件 发生时,事件 就不发生;当事件 B发生时,事件 就不发生 即事件 ,B不可能同 发生时, 就不发生(即事件 发生时 事件A就不发生 即事件A, 不可能同 时发生), 时发生 ,我们就把这种不可能同时发生的两个事 件叫做互斥事件,否则就不是互斥事件. 件叫做互斥事件,否则就不是互斥事件.

(2)对互斥事件的理解,也可以从集合的角度 对互斥事件的理解, 对互斥事件的理解 去加以认识. 去加以认识. 如果A, 是两个互斥事件 反映在集合上, 是两个互斥事件, 如果 ,B是两个互斥事件,反映在集合上, 表示A, 这两个事件所含的结果组成的集合 表示 ,B这两个事件所含的结果组成的集合 彼此互不相交. 彼此互不相交. 如果事件A 如果事件A1,A2,A3,…,An中的任何两个 都是互斥事件,即称事件A 都是互斥事件,即称事件 1,A2,…,An彼 此互斥, 反映在集合上, 此互斥 , 反映在集合上 , 表示由各个事件所 含的结果组成的集合彼此互不相交. 含的结果组成的集合彼此互不相交.

变式训练1 变式训练

判断下列给出的每对事件, 判断下列给出的每对事件 , 是否为

互斥事件,是否为对立事件,并说明理由. 互斥事件,是否为对立事件,并说明理由. 张扑克牌(红桃 从 40张扑克牌 红桃 、 黑桃 、 方块 、 梅花点数从 张扑克牌 红桃、 黑桃、 方块、 1~10各10张)中,任取一张. ~ 各 张 中 任取一张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; “抽出红桃” 抽出黑桃” (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; “抽出红色牌” 抽出黑色牌” (3)“抽出的牌点数为 的倍数 ” 与 “ 抽出的牌点 “ 抽出的牌点数为5的倍数 的倍数” 数大于9” 数大于 ”.

是互斥事件, 解:(1)是互斥事件,不是对立事件. 是互斥事件 不是对立事件. 张扑克牌中任意抽取1张 ∵ 从 40张扑克牌中任意抽取 张 , “ 抽出红 张扑克牌中任意抽取 抽出黑桃”是不可能同时发生的, 桃 ” 和 “ 抽出黑桃 ” 是不可能同时发生的 , 所以是互斥事件. 同时, 所以是互斥事件 . 同时 , 不能保证其中必有 一个发生,这是由于还可能抽出“方块” 一个发生 , 这是由于还可能抽出 “ 方块 ” 或 梅花” 因此,二者不是对立事件. 者“梅花”,因此,二者不是对立事件. (2)既是互斥事件,又是对立事件. 既是互斥事件, 既是互斥事件 又是对立事件. 张扑克牌中, ∵从40张扑克牌中,任意抽取 张.“抽出 张扑克牌中 任意抽取1张 红色牌” 抽出黑色牌” 红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能 同时发生,且其中必有一个发生, 同时发生,且其中必有一个发生,所以它们 既是互斥事件,又是对立事件. 既是互斥事件,又是对立事件.

(3) 不是互斥事件,当然不可能是对立事件. 不是互斥事件,当然不可能是对立事件. 张扑克牌中任意抽取1张 ∵ 从 40张扑克牌中任意抽取 张 , “ 抽出的 张扑克牌中任意抽取 牌点数为5的倍数” 抽出的牌点数大于9” 牌点数为 的倍数”与 “抽出的牌点数大于 ” 的倍数 这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10, 这两个事件可能同时发生, 如抽得点数为 , 因此, 二者不是互斥事件, 因此 , 二者不是互斥事件 , 当然不可能是对 立事件. 立事件.

互斥事件的概率加法公式的应用
例2 射击运动员张强在一次射击中射中10环、 射击运动员张强在一次射击中射中 环

9环 、 8环、 7环 、 7环以下的概率分别为 环 环以下的概率分别为0.24、 环 环 环以下的概率分别为 、 0.28、0.19、0.16、0.13,计算这个射击运动员 、 、 、 , 在一次射击中: 在一次射击中: (1)射中 环或 环的概率; 射中10环或 环的概率; 射中 环或9环的概率 (2)至少射中 环的概率; 至少射中7环的概率; 至少射中 环的概率 (3)射中环数不足 环的概率. 射中环数不足8环的概率 射中环数不足 环的概率.

【思路点拨】

“ 射 中 10 环 ” “ 射 中 9

射中7环以下 彼此是互斥事件, 环以下” 环 ” …“ 射中 环以下 ” 彼此是互斥事件 , 可运用“事件的并 和 ”的公式求解. 可运用“事件的并(和)”的公式求解. 【解】 射中10环 , = 射中 射中9环 , 记 A= {射中 环 }, B= {射中 环 }, = 射中 C= {射中 环 }, D= {射中 环 , }E= {射中 = 射中 射中8环 , = 射中 射中7环 射中7 = 射中 环以下}, 两两互斥. 环以下 ,则A,B,C,D,E两两互斥. , , , , 两两互斥 (1)“ 射中 环或 环 ” 是事件 ∪ B, 所以 “ 射中10环或 环或9环 是事件A∪ , P(A∪ B)= P(A)+ P(B)= 0.24+ 0.28= 0.52, ∪ = + = + = , 所以射中10环或 环的概率为 所以射中 环或9环的概率为 环或 环的概率为0.52.

(2)“ 至少射中 环 ” 是事件 ∪ B∪ C∪ D, “ 至少射中7环 是事件A∪ ∪ ∪ , 所以P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+ 所以 ∪ ∪ ∪ = + + + P(D)= 0.24+ 0.28+ 0.19+ 0.16= 0.87, 所 = + + + = , 以至少射中7环的概率为 环的概率为0.87. 以至少射中 环的概率为 (3)“ 射 中 不 足 8 环 ” 为 事 件 D ∪ E , 所 以 “ P(D∪ E)= P(D)+ P(E)= 0.16+ 0.13= 0.29, P(D ∪ E) = P(D) + P(E) = 0.16 + 0.13 = 0.29 , 所以射中环数不足8环的概率为 环的概率为0.29. 所以射中环数不足 环的概率为 名师点评】 公式P(A∪ B)= P(A)+ P(B) 【 名师点评 】 公式 ∪ = + 只有当A, 互斥时才能使用 互斥时才能使用, 只有当 , B互斥时才能使用 , 否则不能使 用.

变式训练2 某地区的年降水量在下列范围内的 变式训练 概率如下表所示. 概率如下表所示 年降 水量 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) /mm 0.12 0.25 0.16 0.14 概率 (1)求年降水量在 求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率; 范围内的概率; 求年降水量在 范围内的概率 (2)求年降水量在 求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率. 范围内的概率. 求年降水量在 范围内的概率

记这个地区的年降水量在[100,150) 、 解 : 记这个地区的年降水量在 [150,200)、 [200,250)、 [250,300)(mm)范围 、 、 范围 内分别为事件A、 、 、 这 个事件是彼 内分别为事件 、 B、 C、 D.这 4个事件是彼 此互斥的,根据互斥事件的概率加法公式. 此互斥的,根据互斥事件的概率加法公式. (1)年降水量在 年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率 年降水量在 范围内的概率 是 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.12 + 0.25 = 0.37. (2)年降水量在 年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率 年降水量在 范围内的概率 是 P(B∪ C∪ D)= P(B)+ P(C)+ P(D)= 0.25 ∪ ∪ = + + = +0.16+0.14=0.55. + =

对立事件概率的求法 一个箱子内有9张票,其号数分别为 1,2,…,9.从中任取 张,其号数至少有一个为奇 从中任取2张 , 从中任取 数的概率是多少? 数的概率是多少? 思路点拨】 张票中任取2张 【 思路点拨 】 从 9张票中任取 张 , 要弄清楚取 张票中任取 法种数为36, 号数至少有一个为奇数” 法种数为 , “ 号数至少有一个为奇数 ” 的对立 事件是“ 号数全是偶数” 事件是 “ 号数全是偶数 ” , 用对立事件的性质求 解非常简单. 解非常简单.
例3

张票中任取2张 【解】 从9张票中任取 张,有 张票中任取 (1,2),(1,3),…,(1,9); , , ; (2,3),(2,4),…,(2,9); , , ; (3,4),(3,5),…,(3,9); , , ; … (7,8),(7,9); (7,8),(7,9); (8,9),共计 种取法. 种取法. ,共计36种取法 记“号数至少有一个为奇数”为事件B, 号数全是偶数”为事件C,则事件C为从号 “号数全是偶数”为事件 ,则事件 为从号 数 为 2,4,6,8 的 四 张 票 中 任 取 2 张 有 (2,4) , (2,6), (2,8), (4,6), (4,8), (6,8), 共 6种取 , , , , , 种取 法.

6 1 ∴P(C)= = ,由对立事件的性质得 = 36 6 1 5 P(B)=1-P(C)=1- = . = - = - 6 6

名师点评】 【 名师点评 】 (1)求复杂事件的概率通常有两种 求复杂事件的概率通常有两种 方法: 方法: 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和; 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 ; 二 是先去求对立事件的概率. 是先去求对立事件的概率. (2)涉及到“ 至多 ”“ 至少 ” 型的问题 , 可以用互 涉及到“ ”“至少 涉及到 至多”“至少”型的问题, 斥事件以及分类讨论的思想求解, 斥事件以及分类讨论的思想求解 , 当涉及的互斥 事件多于两个时,一般用对立事件求解. 事件多于两个时,一般用对立事件求解.

如果从不包括大、 变式训练 3 如果从不包括大、小王的 52 张扑克牌中随机抽 1 取一张,那么取到红心(事件 取到方片(事件 取一张,那么取到红心 事件 A)的概率是 ,取到方片 事件 的概率是 4 1 B)的概率是 (方片和红心称为红色牌,梅花和黑桃称为黑色 方片和红心称为红色牌, 的概率是 方片和红心称为红色牌 4 牌).问: . (1)取到红色牌 事件 C)的概率是多少? 取到红色牌(事件 的概率是多少 的概率是多少? 取到红色牌 (2)取到黑色牌 事件 D)的概率是多少? 取到黑色牌(事件 的概率是多少 的概率是多少? 取到黑色牌

因为取到红心(事件 与取到方片 与取到方片(事件 不能同时发 解:(1)因为取到红心 事件 A)与取到方片 事件 B)不能同时发 因为取到红心 是互斥事件, 生,所以 A 与 B 是互斥事件,且有 C=A+B,故由互斥事件 = + , 的概率的加法公式, 的概率的加法公式,得 1 1 1 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)= + = . = + = + = 4 4 2 (2)因为当取一张牌时,取到红色牌 事件 C)与取到黑色牌 事 因为当取一张牌时, 与取到黑色牌(事 因为当取一张牌时 取到红色牌(事件 与取到黑色牌 不可能同时发生, 也是互斥事件, 件 D)不可能同时发生,所以 C 与 D 也是互斥事件,又由于事 不可能同时发生 必有一个发生, 件 C 与事件 D 必有一个发生,即 C+D 为必然事件,所以 C + 为必然事件, 互为对立事件, 与 D 互为对立事件,所以 1 1 P(D)=1-P(C)=1- = . = - = - 2 2

方法感悟
1.“互斥”与“对立”事件容易混淆,区别时应紧扣定义, . 互斥” 对立”事件容易混淆,区别时应紧扣定义, 互斥事件是指两事件不可能同时发生 指两事件不可能同时发生, 互斥事件是指两事件不可能同时发生,而对立事件是指互斥 的两事件中必有一个发生,可见,互斥事件未必对立, 的两事件中必有一个发生,可见,互斥事件未必对立,而对 立事件一定互斥. 立事件一定互斥. 2.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化 .求复杂事件的概率通常有两种方法: 为彼此互斥的事件的和,利用公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)求 为彼此互斥的事件的和, ∪ = + 求 解; 二是先求其对立事件的概率, 二是先求其对立事件的概率, 再利用公式 P(A)=1-P( A ) = - 求解. 求解.


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