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2017-2018学年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.2.1分式不等式与一元高次不等式课件北师大版必修5_图文

2.2 一元二次不等式的应用

第1课时 分式不等式与一元高次不等式

1.了解分式不等式与一元高次不等式的概念. 2.会解简单的分式不等式与一元高次不等式.

1.简单的分式不等式的解法

分式不等式 f(x) g(x) > 0 f(x) g(x) < 0
f(x) > (a≠0)
g (x )

同解不等式

①与

f(x) g(x)

> >

0, 0



f(x) g(x)

< 0, <0

同解

②与 f(x)g(x)>0 同解

①与

f(x) g(x)

> <

0, 0



f(x) g(x)

< 0, >0

同解

②与 f(x)g(x)<0 同解

①与 f(x)-ag (x) > 0 同解
g (x )
②与 g(x)[f(x)-ag(x)]>0 同解

()≥0?/ f(x)g(x)≥0,而应该是
()

()() ≥ 0, () ≠ 0.

【做一做 1】 不等式 -2 ≤0 的解集是( ).

+1

A.(-∞,-1)∪(-1,2]

B.[-1,2]

C.(-∞,-1)∪[2,+∞)

D.(-1,2]

解析:此不等式等价于

(-2)( + 1) + 1 ≠ 0,

≤ 0, 解得-1<x≤2.

答案:D

2.用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤 (1)将f(x)最高次项的系数化为正数; (2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积; (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点 画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过); (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集.

【做一做2】 不等式x(x-1)(1-2x)>0的解集是

.

解析:原不等式可化为 x(x-1)

-

1 2

< 0, 画出数轴如图所示,

其解集为 < 0 或 1 < < 1 .

2

答案: < 0 或 1 < < 1
2

题型一 题型二 题型三 题型四

题型一 解简单的分式不等式

【例1】 解不等式:

(1) +2 < 0; (2) +1≤2.

1-

-2

分析:移项、通分化为 (())≥0或 (())≤0 的形式,然后转化为整式

不等式.

解:(1)由

+2 1-

<

0,



+2 -1

>

0,

此不等式等价于(x+2)(x-1)>0,

解得 x<-2 或 x>1,

故原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}.

题型一 题型二 题型三 题型四

(左2)边解通法分一并:移化项简,得,有+--21+?5≤2≤0,即0, -5≥0.

-2

-2

此不等式等价于

(-2)(-5) ≥ 0, -2 ≠ 0,

解得 x<2 或 x≥5.

故原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

解法二:原不等式可化为 --52≥0,

此不等式等价于

-5 ≥ 0, 或 -2 > 0

-5 ≤ 0, -2 < 0,

解得 x≥5 或 x<2.

故原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.

题型一 题型二 题型三 题型四

反思(1)解分式不等式时,要先移项,使右边化为零,并注意含等号的

分式不等式的分母不为零.

(2) + > 0?(ax+b)(cx+d)>0.

+

(3) +≥0?
+

( + )( + ) + ≠ 0.



0,

(4)在解分式不等式时,易漏不分类讨论分母的符号直接去分母,

如本题(2)中易错解为 +1≤2?x+1≤2(x-2).
-2

题型一 题型二 题型三 题型四

【变式训练 1】 解不等式: 2-+11≤1.

解:原不等式等价于 2+1 ? 1≤0,

-1

即 +2≤0,即
-1

( + 2)(-1) ≤ 0, ≠ 1,

解得-2≤x<1.

所以原不等式的解集是{x|-2≤x<1}.

题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 解一元高次不等式 【例2】 解不等式:(1)x(x-1)(x-2)(x+3)>0; (2)(x2+2x-3)(x-1)(-8x+24)≤0. 分析本题考查一元高次不等式的解法问题.一般利用穿针引线法, 先将原式化为标准式,再用数轴标根法,求出解集.(2)中最高次项的 系数为负,应先转化为正. 解:(1)把各因式的根在数轴上标出来,如图所示.
由图可知原不等式的解集为{x|x<-3或0<x<1或x>2}.

题型一 题型二 题型三 题型四
(2)原不等式等价于(x+3)(x-1)2(x-3)≥0, 把各因式的根在数轴上标出来,如图所示,由图可得原不等式的 解集为{x|x≤-3或x=1或x≥3}.
反思(1)要注意所标出的区间是否是不等式的范围,可取特殊值进 行检验,以防出现错误.
(2)有些点是不是要舍掉,需注意检验.

题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 解不等式:x(x-1)2(x+1)3(x+2)≥0. 解:令y=x(x-1)2(x+1)3(x+2), 则y=0的根为0,1,-1,-2, 其中1为双重根(偶次根),-1为三重根(奇次根),将其分别标在数轴 上,并画出示意图,如图所示.
所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1或x≥0}.

题型一 题型二 题型三 题型四

题型三 解二次分式不等式

【例 3】

解不等式:

2 +2-3 - 2 + +6

<

0.

分析:原不等式为 () < 0 的形式,则这个不等式的解集是由下面
()

不等式组①及不等式组②的解集的并集组成的:①

() ()

< >

0, 0,



() ()

> <

0, 0.

亦可考虑转化为高次整式不等式,再利用穿针引线法求

解.

题型一 题型二 题型三 题型四

解法一:原不等式的解集是由下面两个不等式组的解集的并集构成

的:



2 2

+ 2-3 > --6 > 0,

0,



2 + 2-3 < 0, 2--6 < 0.

解①得 x<-3 或 x>3;解②得-2<x<1.

综上可得原不等式的解集是{x|x<-3 或-2<x<1 或 x>3}.

解法二:原不等式可化为

(+3)(-1) (+2)(-3)

>

0,

等价变形为(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0,

画出数轴如图所示,可得原不等式的解集为{x|x<-3 或-2<x<1 或

x>3}.

反思比较两种解法,显然后一种解法优于前一种解法,所以解这类 分式不等式一般选用后一种解法.

题型一 题型二 题型三 题型四

【变式训练 3】 关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>2},

求关于

x

的不等式

+ 2 -2-3

>

0

的解集.

解:因为不等式 ax+b>0 的解集为{x|x>2},

所以 a>0 且方程 ax+b=0 的根为 2,即 b=-2a,

故不等式

+ 2 -2-3

>

0

可转化为 (-2)
(-3)( +1)

>

0.



a>0,所以

-2 (-3)( +1)

>

0.

它等价于(x+1)(x-2)(x-3)>0.

画出数轴如图所示,可得原不等式的解集为{x|x>3 或-1<x<2}.

题型一 题型二 题型三 题型四

题型四 易错辨析

易错点:解分式不等式时,因盲目去分母致误

【例 4】

解不等式: +6 > 1.
8-

错解:原不等式 +6 > 1 可化为x+6>8-x,即 2x>2,解得 x>1,
8-

故原不等式的解集为(1,+∞).

错因分析:因为8-x的符号不能确定,所以不等式两边同乘8-x时,不

能确定不等号的方向是否改变.

正解:原不等式

+6 8-

>

1

可化为 +6
-8

+

1

<

0,



+6+-8 -8

<

0,



-1 -8

<

0,

它等价于(x-1)(x-8)<0,解得

1<x<8,

故原不等式的解集为(1,8).

12345

1下列变形中正确的是( ).

A. > 2 等价于 > 2( ? 1)

B. -1≥0 等价于 x(x-1)≥0

-1

C. +1 > 0 等价于( + 1) > 0



D.

+1 2

>

0

等价于

+

1

>

0

解析:当x-1>0时,A才成立;B中分式不等式有x≠1的限制;D中分式不

等式有x≠0的限制.

答案:C

12345

2

不等式

x>

1

的解集是(

).

A.(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

解析:∵x> 1 , ∴ ? 1 = 2-1 > 0,







即x(x2-1)=x(x+1)(x-1)>0.

画出数轴如图所示.

由图可知,不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 答案:C

12345

3 不等式2-+11≤0 的解集为(

)

A.

-

1 2

,1

B.

-

1 2

,1

C.

-∞,-

1 2

∪[1,+∞)

D. -∞,- 1 ∪[1,+∞)

2

答案:A

12345

4 已知不等式 < 1 的解集为(?∞, 1)∪(2,+∞),则
-1

a=

.

解析:原不等式等价于

-1

?

1

<

0,



(-1)+1 -1

<

0,

即[(1-a)x-1](x-1)>0,

由已知其解集为(-∞,1)∪(2,+∞),

所以 1
1-

=

2,

解得a=

1.
2

答案: 1
2

12345

5 解不等式: 2-32-1-10≤0.

解:原不等式可化为

(2-3-10)(2-1) ≤ 0, 2-1 ≠ 0,



(-1)( + 1)( + 2)(-5) ≤ 0, (-1)( + 1) ≠ 0.

画出数轴如图所示.

由图可知,原不等式的解集为{x|-2≤x<-1 或 1<x≤5}.