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简单的三角恒等变换复习课


三角恒等变换小结与复习
一、复习要点: 1.熟记以下公式:

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?
用 ?? 代? 令? ??

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?

sin 2? ? cos 2? ? tan 2? ?
= = 变形

sin 2 ? ? cos 2 ? ?

2.三角恒等变换: 常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简、求值、证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与 角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问 题获解,对角的变换如: ① 2? 是 的二倍; 4? 是 的二倍; 的二倍; ? 是 的二倍; 的二倍;

3? 是


?
4

?? ?

?

? ( ? ? ) ;④ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ( ? ? ) ? ( ? ? ) 等等 2 4 4 4

?

? 是 3

?
2

? 是 2

二倍;

? 2? 是

的二倍.② ? ? (? ? ? ) ? ? ;

?

?

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦 是基础,通常切化弦,变异名为同名. (3)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如 常数“1”的代换变形有:1= . (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理 的方法。常用降幂公式有: , .降幂并非绝对,有时 要升幂, 如对无理式 1 ? cos ? 常用升幂化为有理式, 常用升幂公式有: .
1



(5) a sin ? ? b cos ? = (其中 sin ? =

=



? ;c o s =

.)

(6)三角函数式的化简运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手:

基本规则:切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,和
积互化,特殊值与特殊角的三角函数互化. 二、应用: (一)求值: (I)两角和与差的正弦、余弦公式、正切公式的应用: 例 1:.已知 ? , ? 都是锐角, sin ? ?

4 5 , cos(? ? ? ) ? ,求 sin ? 的值. 5 13

变式: 已知 cos(

?

3 5? 12 ? 3? ? ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? ? , ? ? ( , ), ? ? (0, ) , sin(? ? ? ) 的值. 求 4 5 4 13 4 4 4

(II)两角和与差的正弦、余弦公式及方程思想的应用: 例 2:已知 cos(? ? ? ) ?

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,求 tan ? tan ? 的值. 5 5

变式:已知 cos ? ? cos ? ?

1 1 ,sin ? ? sin ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 3

2

(III)二倍角公式的应用; 例 3:已知 cos ? ? ? , ? ? ? ?

3 5

3? ? ? 2 ,求 (sin ? cos ) 的值; 2 2 2

变式:已知 sin ? ? cos ? ?
4 4

5 ,求 sin 2? 的值. 9

(二)化简: 例 4(1)

1 3 ? sin10? cos10?

(2) tan 70? cos10?( 3 tan 20? ?1)

变式: (1) tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20? tan 40? (2) 1 ? cos100? ? 1 ? cos100?

(三)证明: 例5

1 ? sin 2? 1 1 ? tan ? ? 2 2 cos ? ? sin 2? 2 2

变式:

sin(2? ? ? ) sin ? ? 2 cos(? ? ? ) ? sin ? sin ?

3

(四)综合应用

? ? 1 2 ? 1 x? 3 例 6、已知 x ? R , f ? x ? ? sin x ? ? tan ? ? cos 2 x . x 2 2? 2 ? tan ? 2 ? ? (1) 若 0 ? x ? ,求 f ? x ? 的单调的递减区间; 2
(2) 若 f ? x ? ?

3 ,求 x 的值. 2

变式:已知 a ? ? 3 sin ? x, cos ? x , b ? ? cos ? x,cos ? x ? 且 f ? x ? 的最小正周期为 ? . (1) 求 ? 的值; (2) 求 f ? x ? 的单调区间.

?

?

?

?

?? ? 0? ,令函数 f ?x ? ? a ? b ,

?

?

4


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