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华侨城中学2011-2012学年度第二学期模拟测试(2)


华侨城中学 2011-2012 学年度第二学期
高一测试数学模拟试题

高一数学试题

第 1 页(共 4 页) )

8.对于 ? ?R ,下列等式中恒成立的是( A. cos(?? ) ? ? cos ?

B. sin(?? ) ? ? sin ? D. cos(? ? ? ) ? cos ?

说明:本试卷共 8 页,20 小题,满分为 150 分。考试用时 120 分

C. sin(? ? ? ) ? sin ?

一、选择题: (本大题共 10 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.每小题 5 分,共计 50 分) 1. 如果角 θ 的终边经过点 (?

9..点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是坐标原点,则│OP│的最小值是( ) A. 7 B. 6 C.2 2
y ?1

D.

5

3 1 , ) ,则 cosθ ? ( 2 2
C.



y ? 10.定义新运算“&”与“ ? ” x & x :
D. ?

, x ? y ? log ( x ?1) y ,则函数 f ( x) ?

( x & 3) ? 1 3 ? 2x

A.

1 2

B. ?

3 2

3

3 3


是(

) B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

? ? k? 2.已知集合 M ? ?? ? ? ?k ? 2?? , k ? Z ? , N ? ?? ? ? , k ? Z ? ,则下列正确的是( ? ? 8 4 ? ? ? ?
A. M ? N 3.若 ? ? (0, B. M ? N C. M ? N D. M ? N ? ?

A.奇函数

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

11.化简: (

1 1 ? )(1 ? cos ? ) ? sin ? tan ?



?

4 A. ? 5

? 4 3? ) ) , cos( ? ? ) ? ? ,则 sin( ? ? ) 的值是( 2 2 5 2 4 3 3 B. C. ? D. 5 5 5


12. 两平行直线 l1 : 3x+4y-2=0 与 l 2 : 6x+8y-5=0 之间的距离为 13.关于 x 的方程 ( ) ?
x

, , 4.已知点 A(?31 4) ,则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为(
A. ? 3, ?1, ?4 ? B. ? ?4,1,3 ? C. ? 3,1, ?4 ? D. ? ?3,1, 4 ?

1 2

1 有正根,则实数 a 的取值范围是 1 ? lg a

14. y ? f ? x ? 为 R 上的偶函数,且满足 f ? x ? 4 ? ? f ? 4 ? x ? , f ? 6 ? ? 3 ,sin ? ? 2cos ? ,则

3? 5.已知扇形面积为 ,半径是 1,则扇形的圆心角是( ) 8 3? 3? 3? 3? A. B. C. D. 4 8 16 2
6.两圆 x ? y ? 9 和 x ? y ? 8 x ? 6 y ? 9 ? 0 的位置关系是(
2 2 2 2

f ? 2012sin

2

?? ?? sin cos

? ??

三、解答题(共 6 个小题,共 80 分) 15. (本题满分 13 分) )

A.相离

B.相交

C.内切
2012

D.外切 )

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? . tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )
(1)化简 f ?? ? (2)若 cos(? ?

7. 已知 sin x ? cos x ? ?1,则 sin A.0 B.-1

x ? cos2012 x 的值为(
D. ? 1

3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值 2 5

C.1

1

高一数学试题

第 2 页(共 4 页) 高一数学试题 第 3 页(共 4 页)

16.(本小题满分 13 分)

? 1 x ? 0, ?1 ? , 已知 a ? R, 函数 f ? x ? ? ? x ?? a ? 1? x ? 1, x ? 0. ? (1) 求 f ?1? 的值;
(2) 证明: 函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; (3) 求函数 f ? x ? 的零点. 17.(本小题满分 14 分) 如图,已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的俯视图是边长为 3 的正方形,侧 视图是长为 3 宽为 3 的矩形. ⑴求该四棱柱的体积; ⑵取 DD1 的中点 E ,证明:面 BCE ? 面 ADD1 A1 .

19.(本小题满分 14 分)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 和定点 A ? 2,1? ,由圆 O 外一点 P ? a, b ? 向圆 O 引 切线 PQ ,切点为 Q ,且满足 PQ ? PA . (1)求实数 a、b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 0 有公共点, 试求半径取最小值时圆 P 的方程.

y
2
A
O
Q

2

x

P
20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? log ? (?? x) ? log ? (?? x) . (1)求函数 f ? x ? 的定义域;

D1

C1 B1

1

1

1
3

3
3
侧视图

A1

(2)判断 f ? x ? 的奇偶性; (3) 方 程 f ? x? ? x ? ? 是 否 有 根 ? 如 果有 根 x? , 请 求 出 一 个 长 度 为

D A

C

? 的 区 间 ? a, b ? , 使 ?

B

俯视图

x? ? ? a, b ? ;如果没有,请说明理由?(注:区间的长度为 b ? a ).

18.. (本小题满分 13 分) 已知圆 M : x ? ( y ? 2) ? 1 , Q 是 x 轴上的动点, QA 、 QB 分别切圆 M 于 A, B 两点
2 2

(1)若点 Q 的坐标为(1,0) ,求切线 QA 、 QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值; (3)若 |AB| ?
4 2 ,求直线 MQ 的方程. 3

2

第一题 高一数学试题 第 4 页(共 4 页)

第二题

第 15 题

第 16 题

第 17 题

第 18 题

第 19 题

第 20 题

总分

华侨城中学 2011-2012 学年度第二学期
高一测试数学模拟试题答题卡
-------------封---------------------线------------------内------------------不------------------要----------------答----------------------题 一、 选择题: (每小题只有一个选项是正确的,请把正确的选项填 入下列表格中对应的题号下,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 选 项 二、填空题: (请把答案填入对应题号横线上每小题 5 分,共 20 分) 11. 13. 12. 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16. (本题满分 13 分) 解:

高一数学试题答题卷

第 1 页(共 4 页)

座位号

试室号

三、解答题(共 6 个小题,共 80 分)
A1

D1

C1 B1

1

1

1
3

3
3
侧视图

15. (本小题满分 13 分) 解:

17. (本题满分 13 分) 解:
A

D
B

考号

C
图 5 俯视图

姓名

3

◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 密--------------------封----------------------线------------------------内------------------------不--------------------------要------------------------答-------------------------题

高一数学试题答题卷

第 3 页(共 4 页)

20. (本小题满分 14 分) 解:

高一数学试题答题卷

第 2 页(共 4 页)

18. (本小题满分 13 分) 解:

19. (本小题满 14 分) 解:

4

即 f (? ) 的值为 ? 高一数学试题答题卷 第 4 页(共 4 页)

2 6 5

????????????13 分

华侨城中学 2011-2012 学年度第二学期
高一测试数学模拟试题参考答案
一、选择题: (每小题只有一个选项是正确的,请把正确的选项填入下列表格中 对应的题号下,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 选 项 1 B 2 B 3 C 4 C 5 A 6 B 7 C 8 B 9 C 10

1 1 , ∴ f ?1? ? 1 ? ? 0 .??2 分 x 1 (2)证明:在 ? 0, ?? ? 上任取两个实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,??3 分
16.(1)解: 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 1 ?

? ?

1? ? 1? 1 1 x ?x ? 1 2. ? ? ?1 ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? x2 x1 x1 x2

??5 分

∵ 0 ? x1 ? x2 , ∴ A

∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 .

∴函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. (3) (ⅰ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 1 ? ∴ x ? 1 是函数 f ? x ? 的一个零点.

x1 ? x2 ? 0 , 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 . ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? . x1 x2
??8 分

二、填空题: (请把正确的答案填入对应的题号后的横线上每小题 5 分,共 20 分) 11. sin? 12.

1 ? 0 , 解得 x ? 1 ? 0 . x
??9 分

1 10

13.(0,1)

14.3

(ⅱ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 ? a ? 1? x ? 1 ? 0 .(※) ① 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ? ∴x ?

三、解答题(共 6 个小题,共 80 分) 15.解:

1 ? 0, 1? a

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 (1) f ?? ? ? tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )
(? cos ? )(sin ? )( ? tan ? ) (? tan ? ) sin ? ? ? cos ? ?

????????????7 分

1 是函数 f ? x ? 的一个零点; 1? a ② 当 a ? 1 时, 方程(※)无解; 1 ③ 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ? ? 0 ,(不合题意,舍去). 1? a 1 综上, 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 和 ; 1? a 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 . ------13 分

??12 分

3? 1 (2)∵ cos(? ? )? 2 5 1 ∴ ? sin ? ? 5

17.⑴依题意,四棱柱的底面是矩形,侧面 ABB1 A1 与底面垂直,过 A1 作底面垂线的垂足是 AB 的中点,四棱柱的体积 V ? S ABCD ? h ??2 分, ? AB ? AD ? h ??3 分,

从而 sin ? ? ?

又 ? 为第三象限角 ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ?
2

1 5

????????????9 分

? 2 ? 3 ? 3 ??5 分, ? 6 3 ??6 分
⑵连接 CD1 ,依题意 ?CDD1 是正三角形??8 分,所以 CE ? DD1 ??9 分,

2 6 5

????????????11 分

又 AD ? 面 CDD1C1 ??10 分, CE ? 面 CDD1C1 ,所以 AD ? CE ??11 分, 因为 AD ? DD1 ? D ,所以 CE ? 面 ADD1 A1 ??12 分,
5

因为 CE ? 面 BCE ,面 BCE ? 面 ADD1 A1 ??14 分. 18.(1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x ? my ? 1 ,------1 分

4 ? 1 ? m ? ? 或 0,------3 分 3 m ?1 ? 切线 QA 、 QB 的方程分别为 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 和 x ? 1 ------6 分 (2)? MA ? AQ ,
则圆心 M 到切线的距离为 1,?
2

| 2m ? 1 |

??????14 分

? S MAQB ? |MA|?|QA| ? |QA| ? |MQ|2 ?|MA|2 ? |MQ|2 ? 1 ? |MO|2 ? 1 ? 3 ------9 分

20.解: ,由 (1)

?1? xx ? 0 1? ? 0

得 ?1 ? x ? 1 故函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,1?

?2 分

(3)设 AB 与 MQ 交于点 P ,则 MP ? AB, MB ? BQ
|MP| ? 1 ? ( 2 2 2 1 ) ? ,在 Rt?MBQ 中, |MB|2 ? |MP|?|MQ| ,解得 |MQ|=3 3 3

(2) f ? x ? ? log ? (?? x) ? log ? (?? x) ? log ?
f (? x) ? f ( x) ? log 2

设 Q (x,0) ,则 x 2 ? 2 2 ? 9, x ? ? 5 ,? Q (? 5 ,0)

1? x 1? x ? log 2 ? log 2 1 ? 0 ? f ? x ? ? ? f ? x ? ,故 f ? x ? 为奇函数.????6 分 1? x 1? x

?? x ?? x

? 直线 MQ 的方程为 2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0 ------13 分
19.连接 OP ,? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ .
2 2 2

(3)方程 f ( x) ? x ? 1 可化为 log ?

?? x ?? x ? x ?? ? ? ,令 g ? x ? ? log ? ? x ?? ?? x ?? x

? ? ? ?? ? ?? Q g ? ? ? ? ?? ? ?, g ? ? ? ? log ? ? ? ? log ? ? ?,? g ? ? ? ? g ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??
? ? ? ? ? ? g ? x ? ? ?在 ? ? , ? ? 内有根.即方程 f ? x ? ? x ?? 有根 x? , x? ? ? ? , ? ? ??10 分 ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? Q g ? ? ? ? log ? ? ? ?, ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?g ?? ?? g ?? ? ? ? , ? ?? ? ??

有 x? ? ? ?

6? 4 ? b ? ?2a ? 3 . PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? 5a 2 ? 12a ? 8 ? 5 ? a ? ? ? .---------7 分 5? 5 ?
故当 a ?

2

? ? ? ?? , ? ? ,此时区间长度为 ? ? ? ??

6 2 2 时, PQ min ? 5 .即线段 PQ 长的最小值为 5 .---------10 分 5 5 5

? 综上方程 f ? x ? ? x ?? 有根 x? ,使 x? ? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? 即为所求长度为的 区间??14 分 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??



6? 4 2 ? OP ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? ? ?2a ? 3? ? 5 ? a ? ? ? 5? 5 ?
3 5 --------12 分. 5

2

. 故 当

a?

6 5

时 ,

OP min ?

6


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