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苏教版高中数学必修5-1.2《余弦定理》教学教案1

1.2 余弦定理 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定 理的向量方法,并会运用余弦定理解决 两类基本的解 三角形问题; 2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与 辩证统一。 二、过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握 运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系 与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:向量方法证明余弦定理。 【学法与教学用具】: 1. 学法: 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1 课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.正弦定理的内容? 2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题? 二、研探新知 1.余弦定理的向量证明: 方法 1:如图,在 ?ABC中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b 。 ??? ??? ??? ∵ AC ? AB ? BC , ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ∴ AC ? AC ? ( AB ? BC ) ? ( AB ? BC ) ? AB 2 ? 2 AB ? BC ? BC 2 ??? ??? ??? ??? ? AB 2 ? 2 | AB | ? | BC | cos(1800 ? B) + BC 2 ? c2 ? 2accosB ? a2 , b 即: b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cosB ; A c 同理可证: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC 。 C a B 方法 2:建立直角坐标系,则 A(0,0), B(c cos A,c sin A),C(b,0) 。所以 a2 ? (c cos A ? b)2 ? (c sin A)2 ? c2 cos2 A ? c2 sin2 A ? 2bc cos A ? b2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; 同理可证 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cosB ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC 。 注意:此 法的优点在于不必对 A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论。 于是得 到以下定理 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍,即 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? cos A ? b2 ? c2 ? a 2 2bc b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cosB ? cos B ? c 2 ? a 2 ? b2 2ca c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC ? cosC ? a 2 ? b2 ? c2 2ab 思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否 由三边求出一角? 语言叙述:三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍。 用符号语言表示: a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A ,…等。 2. 理解定理 注意:(1)熟悉定理的结构,注意“平方”“夹角”“余弦”等。 (2)余弦定理的应用:①已知三边,求三个角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和 其他两个角。 (3)当夹角为 90?时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例)。 (4)变形: cos A ? b2 ? c2 ? a 2 ; cos B ? a 2 ? c 2 ? b2 ; cosC ? a 2 ? b2 ? c2 。 2bc 2ac 2ac 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余 弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ?ABC中,C= 900 ,则 cosC?0 ,这时 c2 ?a2 ?b2 ,由此可知余弦定理是勾 股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 三、质疑答辩, 排难解惑,发展思维 例 1 (教材 P14 例 1)在 ?ABC中, (1)已知 b ? 3, c ? 1, A ? 60 0 ,求 a ; (2)已知 a ? 4,b ? 5, c ? 6,求 A 。 例 2 边长为 5,7,8的三角形中,求最大角与最小角的和。 例 3 在 ?ABC中,最大角 A 为最小角 C 的 2 倍,且三边 a 、b 、 c 为三个连续整数,求 a 、 b 、 c 的值。 例 4 在 ?ABC中, a 、 b 是方程 x2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,又 2cos(A ? B) ? 1,求: (1)角 C 的度数; (2)求 AB 的长; (3) ?ABC的面积。 四、巩固深化,反馈矫正 1.在 ?ABC中, sin A: sin B : sin C ? 3: 5 : 7 ,那么这个三角形的最大角是_____。 2. 在 ?ABC中, (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 A ? ______。 3. 在 ?ABC中, S ? a 2 ? b2 ? c2 ,则角 C 的度数是______。 4 4. 在 ?ABC中,已知 a ? 7,b ? 8, cosC ? 13 ,则最大角的余弦值是______。 14 5.已知锐角三角形的边长分别是1、 3 、 a ,则 a 的取值范围是_______。 6.用余弦定理证明:在 ?ABC中,当 C 为锐角时, a2 ? b2 ? c2 ;当 C 为钝角时,