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2019高中数学人教A版必修5习题:第三章不等式 3.4.1

3.4 基本不等式: 第 1 课时 ab ≤ a+b 2 基本不等式 课时过关· 能力提升 基础巩固 1 若 x>0,则 x+ 的最小值为( 4 ). A.2 答案:D B.3 C.2 2D. 4 2 若 x,y 满足 x+y=40,且 x,y 都是正数,则 xy 的最大值是( A.400 解析:xy≤ 2 答案:A 3 若 0<x< 3 , 则(1 ? 3)取最大值时的值是( A. B. C. D. 1 3 1 6 3 4 2 3 1 3 1 + 2 ). B.100 C.40 D.20 = 400, 当且仅当x=y=20 时,等号成立. ). 解析:∵0<x< , ∴ 0 < 1 ? 3 < 1. ∴y=x(1-3x)= 3 × 3(1 ? 3) ≤ × 1 3 3+1-3 2 2 1 = 1 . 12 1 当且仅当 3x=1-3x,即 x= 6 时取等号. 答案:B 4 设 a,b∈R,若 a≠b,a+b=2,则必有( A.1≤ab≤ 2 C.ab< 2 + 2 2 ). 2 + 2 B. < 1 < 2 + 2 2 2 + 2 2 < 1D. < < 1 1 解析:令 a=-1,b=3,则 ab=-3, 2 + 2 2 = 5, 则有ab<1< 2 + 2 2 , 所以排除选项 A,C,D,故选 B. 答案:B 5 若 M= (∈R,a≠0),则 M 的取值范围为( A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-∞,-4] C.[4,+∞) D.[-4,4] 2 +4 2 +4 ). 解析:当 a>0 时,M= 4 = + ≥ 2 · = 4, 4 4 当且仅当 a= , 即a=2 时取“=”; 当 a<0 时,M= 4 2 +4 =a+ = ? (-) + - ≤-2 (-)· - = ?4, 当且仅当-a=? , 即a=-2 时取“=”. 综上,M 的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞). 答案:A 6 若 a>b>1,P= A.R<P<Q C.Q<P<R lglg, = lg+lg , 2 4 4 4 = lg 2 , 则下列结论正确的是( + ). B.P<Q<R D.P<R<Q 解析:∵a>b>1,∴lga>0,lgb>0. ∴R=lg Q> 答案:B + 2 > lg = 2 lg() = 1 lg+lg 2 = lglg = . ∴ < < . 7 若 a>0,b>0,则 + 的最小值是 解析: + ≥ 2 · = 2 2, 当且仅当 = , 即 a= 2时取“=”. 答案:2 2 8 当函数 y=x2(2-x2)取最大值时,x= 2 2 2 2 . . 2 解析:当 ? 2 < < 2时,y=x2(2-x2) ≤ 2 +2-2 2 2 = 1, 当且仅当 x2=2-x2,即 x=±1 时,等号成立, 当 x2≥2 时,y=x2(2-x2)≤0,不可能取最大值. 所以当 x=±1 时,y=x2(2-x2)有最大值为 1. 答案:±1 9 已知 + = 2( > 0, > 0), 求的最小值. 解∵x>0,y>0, + = 2, 2 3 2 3 ∴2= + ≥ 2 ∴ 2 3 6 (当x=2,y=3 时,等号成立),即 1≥ 6 . ≥ 6, 从而xy≥6,即 xy 的最小值为 6. 2 +7+10 的最小值. +1 10 已知 x>-1,试求函数 y= 解∵x>-1,∴x+1>0, ∴y= 2 +7+10 +1 4 = (+1)2 +5(+1)+4 +1 4 =x+1+ +1 + 5 ≥ 2 ( + 1)· + 5 = 9. +1 当且仅当 x+1= +1 , 即x=1 时,等号成立. 所以函数 y= 2 +7+10 的最小值为9. +1 4 能力提升 1 若 2a+b=1,a>0,b>0,则 + 的最小值是( A.2 2B. 3 ? 2 2C. 3 + 2 2D. 3 + 2 解析: + = 1 1 2+ 2+ + 2 2 1 1 ). =2+1+ + = 3 + + . ∵a>0,b>0,∴ + = 3 + + ≥3+2 · = 3 + 2 2, 2 1 1 2 3 当且仅当 = 1 1 2 , 即b= 2 = 2 ? 1 时“=”成立. ∴ + 的最小值为3+2 2. 答案:C 2 若 x+3y-2=0,则函数 z=3x+27y+3 的最小值是( A.3 3 B. 3 + 2 2C. 6D. 9 解析:z=3x+27y+3≥2 3 · 27 + 3 = 2 3 +3 + 3. 2 ). ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2. ∴z≥2 3 +3 + 3 = 2 32 + 3 = 9, 当且仅当3x=27y,即 x=3y=1 时取“=”. 答案:D 3 若 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是( A. 2 B. 4C. 2 D. 5 解析:依题意 + = 2, 1 4 得 + 7 9 1 4 ). = 1 1 4 + 2 ( + ) = 1 2 5+ 4 + ≥ 1 2 5+2 4 · = 9 , 当且仅当 2 即a= = , > 0, > 0, 4 2 , 3 = 时取等号,即 + 的最小值是 . 4 3 1 4 9 2 答案:C 4 当 x> 2 时, 函数 = + A. B. 4C. 5D. 9 解析:∵x> 2 , ∴ 2 ? 1 > 0. 1 9 2 1 8 的最小值为( 2-1 ). ∴y=x+ 8 2-1 = + 4 -2 1

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