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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第1章第4讲简单的逻辑联结词_图文

1. 分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空. (1)命题“6是自然数且是偶数”是_p_且__q 的形式. (2)命题“3大于或等于2”是_p_或__q___的形式. (3)命题“4的算术平方根不是-2”是_非__p_的形式.
2.(2011·南京市学情调研)命题“?x∈R,x2-4x+2>0”的
否定是__?_x_∈__R__,__x_2-_4_x_+_2_≤_0____. 3.“p∨q是真命题”是“p∧q是真命题”的_必__要__不__充__分__条
件.

4.命题“?x ? R, 2x2 ? 2ax ? 9 ? 0”为假命题, 则实数a的取值范围是 [  ?3 2, 3 2 ] .
5.给定四个命题:①偶数都能被2整除;②实 数的绝对值大于0;③存在一个实数x,使sinx ? cosx
? 2;④若?,?是第一象限的角,且? ? ?,则sin? ? sin?,其中既是全称命题,又是假命题的是 ② ④ .
解析: ①是全称命题,又是真命题; ③是存在性命题.

复合命题的构成及真 假判断
【例1】 分别写出由下列各组命题构成的“ p ? q”、 “ p ? q”、“?p”形式的复合命题,并判断 真假.
?1? p:3是9的约数,q:3是18的约数;

?2? p:菱形的对角线相等,q:菱形的对
角线互相垂直平分;
?3? p:方程x2+x-1=0的两实根符号相同,
q:方程x2+x-1=0的两实根绝对值相等.

【解析】?1? p ? q:3是9的约数或是18的约数(真);
p ? q:3是9的约数且是18的约数(真); ?p:3不是9的约数(假).
?2? p ? q:菱形的对角线相等或互相垂直平分(真);
p ? q:菱形的对角线相等且互相垂直平分(假); ?p:菱形的对角线不相等(假).
?3? p ? q:方程x2+x-1=0的两实根符号相同或
绝对值相等(假); p ? q:方程x2+x-1=0的两实根符号相同且绝对 值相等(假); ?p:方程x2+x-1=0的两实根符号不相同(真).

真值表是对复合命题进行 真假判断的依据.

【变式练习1】 用“或”“且”“非”填空,使命题正确: (1)“4≤4”是“4<4”____或___“4=4”; (2)若ab>0,则a>0__且____b>0, ___或____a<0____且____b<0.

全称命题与存在性命题 的否定
【例2】 对于下列命题的否定形式的说法,其中正 确的有 __________. ①p:能被3整除的整数是奇数; ?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数;

②p:存在一个四边形四个顶点不共圆; ?p:每一个四边形的四个顶点共圆; ③p:有的三角形为正三角形; ?p:所有的三角形不都是正三角形; ④p:?x ? R,x2+2x+2 ? 0, ?p:?x ? R,x2+2x+2 ? 0.

【解析】①中,p是全称命题,完全叙述应为 "任意能被3整除的整数是奇数",它的否定应 是"存在一个能被3整除的整数不是奇数",故 ①的说法正确; ②中,p是存在性命题,则?p为"任意一个四 边形的四个顶点共圆”,即“每一个四边形的 四个顶点共圆",故②的说法正确;

③中,p是存在性命题,完整叙述为"有些三 角形是正三角形",也可写成"至少有一个三 角形是正三角形",所以?p应为"不存在一个 三角形是正三角形”,即“所有的三角形都不 是正三角形",故③的说法错误; ④的说法显然是正确的
答案:①②④

要正确写出全称命题与存 在性命题的否定,首先应注意 全称量词、存在量词是什么, 然后再进行否定.

【变式练习2】 写出命题“能被8整除的数能被4整除”的 否定和否命题,并判断真假.
【解析】能被8整除的数能被4整除,显然这 是一个全称命题. 故它的否定为:存在一个能被8整除的数,但 它不能被4整除,此命题是假命题; 它的否命题为:不能被8整除的数也不能被4 整除,此命题亦为假命题.

复合命题的真假性 的综合应用
【例3】 命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的 负实数根,命题q:方程4x2+4(m-2)x+1 =0无实根.若“p或q”为真命题,“p且q” 为假命题,求实数m的取值范围.

【解析】由p得 ???1 ? m2 ? 4 ? 0 ? m ? 2. ?m ? 0
由q得?2=16(m-2)2-16 ? 0 ? 1 ? m ? 3. 因为“ p ? q”真,“ p ? q”假,所以p真q假, 或p假q真.

即???mm

? ?

2 1或m

?

或 3

?m ? 2 ??1 ? m ?

3

解得m ? 3或1 ? m ? 2.故实数m的取值范

围是?1,2? [3,+?).

解此类题的一般步骤是先 化简所给命题,再根据复合命 题的真值表分类讨论.

【变式练习3】 已知m ? R,设p:不等式 m2 ? 5m ? 3 ? 3;q:函数
f ? x? ? x3 ? mx2 ? (m ? 4)x ? 6在(??,? ?)上有极值.
3 求使p ? q为真命题时m的取值范围.
解析:由已知不等式得 m2-5m-3≤-3① 或m2-5m-3≥3② 不等式①的解为0≤m≤5. 不等式②的解为m≤-1或m≥6. 所以,对m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,p是正确的.

对函数f ? x? ? x3 ? mx2 ? (m ? 4)x ? 6求导得
3
f ?? x? ? 3x2 ? 2mx ? m ? 4,
3
令f ?? x? ? 0,即3x2 ? 2mx ? m ? 4 ? 0.
3
当且仅当? ? 0时,函数f ? x?在(??,? ?)上有极值.
由? ? 4m2 ?12m ?16 ? 0得m ? ?1或m ? 4, 所以,当m ? ?1或m ? 4时,q是正确的. 综上,使p正确且q正确时,实数m的取值范围为
(??,?1) ? ?4,5? ?[6,? ?).

1.已知命题p:若a ? 1,则a3 ? a2;命题q: 若a ? 0,则a ? 1 ,则在" p或q"、" p且q"、
a "非p "、"非q "四个命题中, 真命题是 __p__或__q_、__非__q____  
【解析】容易判断p真,q假,由复合命 题的真值表可知p或q、非q是真命题.

2.若条件p:x ?1或x ? 4;条件q:x ?-3或 x ? 4,则?p是?q的___充__分___不__必__要___条件.
【解析】?p:1 ? x ? 4;?q:-3 ? x ? 4, ?p推出?q,?q推不出?p. 所以?p是?q的充分不必要条件.
3. 已知命题p:x∈R,sinx≤1,则p:
____?_x_?__R__,__si_n_x_?__1_  . _______

4.用符号"?"与"?"表示下面含有量词的命题:
?1? 实数的平方大于等于0; ?2? 存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3 ? 0成立; ? 3? 勾股定理.
【解析】?1??x ? R,x2 ? 0. ?2? ?(x,y),x ? R,y ? R, 2x+3y+3 ? 0. ? 3? ?a、b、c若为直角三角形的三条边,
且c为斜边,a2+b2=c2.

5.已知命题p:-2 ? 1? m ? 2;命题q: 3
集合A={x | x2+(m+2)x+1=0,x ? R},
B=?x | x ? 0?,且A I B=?.若" p ? q"
为假," p ? q"为真,求m的取值范围.

【解析】" p ? q"为假," p ? q"为真,则命题 p、q一真一假. 若p为真,则-5 ? m ? 7; 对于方程x 2+(m+2) x+1=0, ?=(m+2)2-4=m2+4m. 当? ? 0时,A=?,满足A B=?, 此时-4 ? m ? 0;
当? ? 0时,因为B=?x | x ? 0?且A B=?,
所以方程x 2+(m+2) x+1=0的两根x1、x2均非正数,

??=m2+4m ? 0

所以

? ?

x1

?

x2

?

?(m

?

2)

?

0,解得m

?

0.

? ?

x1x2

?

1

?

0

综上所述,若q为真,即m ? -4.

所以,若p真q假,则???m?5???m4 ? 7, 解得-5 ? m ? -4;

若p假q真,则 ???mm

? ?

?5或m ?4

?

7,解得m

?

7.

故m的取值范围为(-5,-4] [7,+?).

1.简单命题分条件和结论两部分,复合 命题是由简单命题通过“或”“且”“非”构 成的. 由简单命题的真假可以判断复合命题的真 假,反之,由复合命题的真假也能判断构成该 复合命题的简单命题的真假.如p真,q假,则 “p或q”真,“p且q”假,“非p”假;反之,若 “p或q”真,则p、q至少有一个真.

2.“或”“且”“非”这三个逻辑 联结词构成了命题间的运算,它们分别对 应着真值集合“并”“交”“补”.因此, 逻辑联结词的运算可以用集合的运算来描 述.

3.在命题关系中,特别要区分命题的否定与 否命题:命题的否定总是与原命题的真假性相对 立,是保留条件,否定结论;否命题是否定原命 题的条件仍作条件,且否定原命题的结论仍作结 论,它与原命题的真假没有必然的联系.
如命题p:已知a、b为实数,若|a|+|b|=0, 则 a = b , 否 命 题 为 : 已 知 a 、 b 为 实 数 , 若 |a| + |b|≠0,则a≠b;命题的否定为:已知a、b为实数, 若|a|+|b|=0,则a≠b.四种命题中,原命题与逆否 命题同真假,是等价命题,逆命题与否命题同真 假,也是等价命题.

4.含有一个量词(全称量词或存在 性量词)的命题的否定,一是要改写量 词,全称量词改写为存在量词,存在量 词改写为全称量词;二是要否定结论, 如 “ x∈R , x2≥0” 的 否 定 是 “ x∈R , x2<0”.


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