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空间立体几何知识点归纳

第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱 柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影:中心投影 平行投影 (1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正” , “高平齐” , “宽相等” 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤: ①建立适当直角坐标系 xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系 ?x O ' ' y ' ,使 ?x'O' y ' =450(或 1350) ,注意它们确定的平面表示水平平面; ‘ ③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不变;在已知图形平行于 Y 轴的线 段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半; ‘ =2 一般地,原图的面积是其直观图面积的 2 2 倍,即 S原图 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积; S 侧面 ⑶圆台侧面积: S侧面 ⑷体积公式: 2S直观 ? 2? ? r ? l ⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? (r ? R)l O1 r h l 1 1 V柱体 ? S ? h ;V锥体 ? S ? h ; V台体 ? h S上 ? S上 ? S下 ? S下 3 3 ⑸球的表面积和体积: ? ? O2 R 4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 .一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。 3 第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证 -1- 1 、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 α A B l ? A ? l, B ? l ?l ?? ? ? A ?? , B ?? 公理 1 的作用:判断直线是否在平面内 2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 α C A B l 若 A,B,C 不共线,则 A,B,C 确定平面 ? 推论 1:过直线的直线外一点有且只有一个平面 α A 若 A?l ,则点 A 和 l 确定平面 ? 推论 2:过两条相交直线有且只有一个平面 α A l m 若m n ? A ,则 m, n 确定平面 ? 推论 3:过两条平行直线有且只有一个平面 α m n 若m n ,则 m, n 确定平面 ? 公理 2 及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 β α P · L P ?? , P ? ? ? ? ? ? l且P ? l 公理 3 作用: (1)判定两个平面是否相交的依据; (2)证明点共线、线共点等。 4、公理 4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行. a b, c b ? a c 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 a 1 b a' 2 b' a 1 a' 2 b' b a a ?, b b?且?1与?2方向相同 ? ?1=?2 方向相同则 ∠ 1=∠ 2 方向相反则 a a ?, b b?且?1与?2方向相反 ? ?1 ? ?2=180? ∠1+∠2=180° 作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。 -2- 6、线线位置关系:平行、相交、异面。 a b , (1)没有任何公共点的两条直线平行 (2)有一个公共点的两条直线相交 (3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 a b ? A, a, b异面 a ?A b 7、线面位置关系:直线在平面内、平行、相交 a a ? A (3) ? (1) a a ?? ? (2) a ? a ??A 8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: (即直线与平面无任何公共点) ⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以) a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ? 证明两直线平行的主要方法是: ①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; ②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; ③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行; ? ? a?? ??a b ? ? ? b? ? ④平行线的传递性: a a ? b, c b ? a c ⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行; -3- ? ? ? ? ? ? ? a? ? a b ? ? ? b? ? a ??? ??a b b ?? ? ⑥垂直于同一平面的两直线平行; ⑵直线与平面平行的性质: 如果一条直线平行于一个平面, 经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线和它们的交线平行; (上面的③) 10、面面平行: (即两平面无任何公共点) (1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 a ? ?,b ? ? ? ? a b ? A ? ?? ? a ?,b ? ? ? (2)两平面平行的性质: 性质Ⅰ:如果一个平面与两平行