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第八章 第八节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练 1.(2018· 西安模拟)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物 线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( A.4 C.4 3 B.3 3 D.8 ) 解析:∵y2=4x,∴F(1,0),l:x=-1,过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1:y= 3(x-1),与 y2 1 =4x 联立,解得 x=3 或 x= (舍),故 A(3,2 3),∴AK=4, 3 1 ∴S△AKF= ×4×2 3=4 3.故选 C. 2 答案:C x2 y2 2.已知直线 l:y=2x+3 被椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)截得的弦长为 7,则下列直线中被椭 a b 圆 C 截得的弦长一定为 7 的有( ) ①y=2x-3;②y=2x+1;③y=-2x-3; ④y=-2x+3. A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条 解析:直线 y=2x-3 与直线 l 关于原点对称,直线 y=-2x-3 与直线 l 关于 x 轴对称,直 线 y=-2x+3 与直线 l 关于 y 轴对称,故有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7. 答案:C 3.(2018· 郴州模拟)过点 P(- 3,0)作直线 l 与圆 O:x2+y2=1 交于 A、B 两点,O 为坐标 π? 3 原点,设∠AOB=θ,且 θ∈? ?0,2?,当△AOB 的面积为 4 时,直线 l 的斜率为( A. 3 3 B.± 3 3 ) C. 3 解析:∵△AOB 的面积为 1 3 ∴ ×1×1×sin θ= , 2 4 ∴sin θ= 3 . 2 3 , 4 D .± 3 π? π ∵θ∈? ?0,2?,∴θ=3, ∴圆心到直线 l 的距离为 3 . 2 设直线 l 的方程为 y=k(x+ 3), 即 kx-y+ 3k=0, ∴ 3 | 3k| = , 2 1+k2 3 ∴k=± . 3 答案:B 4.已知过定点(1,0)的直线与抛物线 x2=y 相交于不同的 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则(x1- 1)(x2-1)=________. 解析:设过定点(1,0)的直线的方程为 y=k(x-1),代入抛物线方程 x2=y 得 x2-kx+k=0, 故 x1+x2=k,x1x2=k,因此(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1. 答案: 1 x2 y2 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 a b 为 F. 若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ,且 |FA|= c ,则双曲线的渐近线方程为 ______________. p p2 解析:抛物线 x2=2py 的准线方程为 y=- ,与双曲线的方程联立得 x2=a2(1+ 2),根据 2 4b p2 p2 2 2 2 已知得 a (1+ 2)=c ①.由|AF|=c,得 +a =c ②.由①②可得 a2=b2,即 a=b,所以所 4b 4 2 求双曲线的渐近线方程是 y=± x. 答案:y=± x y2 6.过双曲线 x2- =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若使得|AB|=λ 的直线 l 恰 2 有 3 条,则 λ=________. 解析:∵使得|AB|=λ 的直线 l 恰有 3 条. ∴根据对称性,其中有一条直线与实轴垂直. 此时 A,B 的横坐标为 3,代入双曲线方程, 可得 y=±

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