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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章精要课件 排列(一)


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1.2.1(一)

1.2.1
【学习要求】 1.理解并掌握排列的概念.
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排列(一)

2.理解并掌握排列数公式,能应用排列知识解决简单的实际 问题. 【学法指导】 排列是分步乘法计数原理的一个重要应用, 学习中要理解排列 数公式的推导过程,从中体会“化归”的数学思想.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.2.1(一)

1.排列:一般地,从 n 个不同元素中任取 m (m≤n)个元素,按照
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一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元
素的一个排列(Arrangement). 2.排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有排列

的个数 ,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符
号 An 表示. 3. 排列数公式: m= An
n! = ?n-m?! .
m

n(n-1)(n-2)?(n-m+1)

(n, m∈N*, m≤n)

研一研·问题探究、课堂更高效

1.2.1(一)

探究点一 问题 1
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排列(数)的概念

从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动,其中 1

名同学参加上午的活动,另 1 名同学参加下午的活动,有多少种 不同的安排方法?



可以理解为:从甲、乙、丙 3 名同学中任选 2 名,按照先后

顺序排列,共有多少种排列方法.按乘法原理理解,第 1 步,从 3 名同学中选 1 人排在前(上午), 2 步, 第 从余下的 2 名同学中选 1 人排在后(下午),共有 3×2=6(种)不同排法.

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1.2.1(一)

问题 2 答
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从 1,2,3,4 这 4 个数字中,每次取出 3 个排成一个三位数, 相当于从 4 个数字中任取 3 个数字, 按照先后顺序排成一排,

共可得到多少个不同的三位数? 共有多少个不同排法,如 123,234,?等都是不同排法,按乘法 原理,分三步解决,共有 4×3×2=24(种)排法,即共可得到 24 个不同的三位数.

小结

实际上, 从上面的探究过程可以看到, 两个问题中的共性

的东西都是从整体中取出部分(或全部)按照顺序排列,所求的问 题就是这些所有排列的总个数, 为此, 引入下面的概念——排列、 排列数.

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1.2.1(一)

问题 3 答
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怎样判断一个具体问题是否为排列问题? 确认一个具体问题是否为排列问题,一般从两个方面确认.

(1)首先要保证元素的无重复性,否则不是排列问题; (2)其次是保证选出的元素在被安排时的有序性, 否则不是排列问 题,而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位 置,看结果是否变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.

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例1 判断下列问题是否是排列问题.

1.2.1(一)

(1)从 1、2、3、4 四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少 种不同的可能? (2)从 1、2、3、4 四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少
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种不同的可能? (3)会场有 50 个座位,要求选出 3 个座位安排 3 位客人就座,有 多少种不同的方法?



(1)不是,由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做

加法时与两元素位置无关.
(2)是,做除法时,两元素谁做除数,谁做被除数不一样. (3)是,“入座”问题同“排队”一样,与顺序有关,故选 3 个座 位安排 3 位客人是排列问题.

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1.2.1(一)

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小结

判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序, 有顺序

且是从 n 个不同的元素中任取 m (m≤n)个不同的元素的问题就是 排列,否则就不是排列.

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跟踪训练 1 判断下列问题是否是排列问题:

1.2.1(一)

(1)某班共有 50 名同学,现要投票选举正、副班长各一人,共有多 少种可能的选举结果? (2)从 2,3,5,7,9 中任取两数分别作对数的底数和真数, 有多少不同对
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数值? (3)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得多少个 不同的点的坐标?



(1)是.选出的 2 人,担任正、副班长任意,即与顺序有关.

(2)是. 显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系, 即与顺序有关.
(3)是.点的坐标与横、纵坐标的取值的不同有关系,即与顺序有关.

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探究点二 问题 排列的列举问题

1.2.1(一)

对于简单的排列问题,怎样写出从 n 个不同元素中取出 m

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个元素的所有排列? 答 可以借助于树形图写出所有排列.把同一元素为首的若干排列 按一定的顺序一一写出来,为了省略前面与上一行相同的元素而画 出的像树枝一样的图形,能很好的表达排列中各元素的先后顺序, 利用树形图具体地列出各种情况,可避免排列的重复或遗漏.

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例2 写出下列问题的所有排列:

1.2.1(一)

(1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个 不同的两位数? (2)写出从 4 个元素 a,b,c,d 中任取 3 个元素的所有排列. 分析 (1)利用好树形图确保勿重勿漏;(2)注意最后列举. 解 (1)由题意作树形图,如图

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故所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有 12 个.
(2)由题意作树形图,如图

故所有的排列为:abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca, bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba, dbc,dca,dcb,共有 24 个.

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1.2.1(一)

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小结

在写出所要求的排列时, 可采用“树形”图或“框”图一一

列出,一定保证不遗漏.

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跟踪训练 2 写出下列问题的所有排列:

1.2.1(一)

(1)北京、 广州、 南京、 天津 4 个城市相互通航, 应该有多少种机票? (2)A、B、C、D 四名同学排成一排照相,要求自左向右,A 不排第 一,B 不排第四,共有多少种不同的排列方法?
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(1)列出每一个起点和终点情况,如图所示,共有 12 种机票.

故符合题意的机票种类有: 北京广州,北京南京,北京天津,广州南京,广州天津,广州北京, 南京天津,南京北京,南京广州,天津北京,天津广州,天津南京, 共 12 种.

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1.2.1(一)

(2)因为 A 不排第一,排第一位的情况有 3 类(可从 B、C、D 中任选 一人排),而此时兼顾分析 B 的排法,列树图如图.
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所以符合题意的所有排列是: BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD, CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA 共 14 种.

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探究点三 问题 1 排列数公式的推导及应用

1.2.1(一)

3 由例 2 中两个问题知:A2=4×3=12,A4=4×3×2=24, 4

2 你能否得出 A2 的意义和 An的值? n


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2 由 An的意义:假定有排好顺序的 2 个空位,从 n 个元素 a1,

a2,?,an 中任取 2 个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种 填法就得到一个排列;反过来,任一个排列总可以由这样的一种填
2 法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数 An.由分步乘法

计数原理知完成上述填空共有 n(n-1)种填法,所以 A2=n(n-1). n

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问题 2

1.2.1(一)

m 由以上规律, 你能写出 An 吗?有什么特征?若 m=n 呢?

答 Am=n(n-1)(n-2)?(n-m+1)(m,n∈N*,m≤n). n
(1)公式特征: 第一个因数是 n, 后面每一个因数比它前面一个少 1, 最后一个因数是 n-m+1,共有 m 个因数;
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(2)全排列:当 n=m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列.
n 全排列数:An=n(n-1)(n-2)?2· 1=n!(叫做 n 的阶乘).

另外,我们规定 0!=1.
n! An n 所以 Am=n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= = n-m. n ?n-m?! An-m

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例3 2A5+7A4 8 8 (1)计算: 8 5 . A8-A9

1.2.1(一)

m (2)求证:An+1=mAm-1+Am. n n

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4 2A5+7A8 8 (1)解 5 A8-A9 8 2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 = 8×7×6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5 8×7×6×5×?8+7? = =1. 8×7×6×5×?24-9? ?n+1?! n! m m (2)证明 ∵An+1-An = - ?n+1-m?! ?n-m?! ? n! ? n+1 n! m ? ? -1?= = · · ?n-m?! ?n+1-m ? ? ?n-m?! n+1-m n! =m· =mAm-1, n ?n+1-m?!

∴Am+1=mAm-1+Am. n n n

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1.2.1(一)

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小结

利用排列数公式进行运算时,要注意排列数之间的关系,两

种形式中, 一种形式用于化简, 证明等, 而另一种形式常用于求解.

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跟踪训练 3

1.2.1(一)

(1)某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 10 个队参加, 每


队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛? (2)解不等式:Ax>6Ax 2. 9 9 解
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(1)任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛,对应于从

2 10 个元素中任取 2 个元素的一个排列. 因此, 比赛的总场次是 A10=

10×9=90.

9! 6×9! (2)原不等式即 > , ?9-x?! ?9-x+2?! 其中 2≤x≤9,且 x∈N*.
即(11-x)(10-x)>6,x2-21x+104>0.
∴(x-8)(x-13)>0.∴x<8 或 x>13, 但 2≤x≤9,x∈N*.∴2≤x<8,x∈N*. 故 x=2,3,4,5,6,7.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.2.1(一)

1.下列问题属于排列问题的是
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( A )

①从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地; ②从 10 个人中选 2 人去扫地; ③从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队; ④从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数作幂运算. A.①④ B.①② C.④ D.①③④

解析 根据排列的定义,选出的元素有顺序的才是排列问题.

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1.2.1(一)

2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( C ) A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲 B.甲乙丙,乙丙甲
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C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙 D.甲乙,甲丙,乙丙

解析 选出两人,两人的不同站法都要考虑.

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1.2.1(一)

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3. m∈N*, m<15, 设 且 则(15-m)(16-m)?(20-m)等于( C ) A.A6 -m 15 C.A6 -m 20 B.A15-m 20-m D.A5 -m 20

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1.2.1(一)

4.8 种不同的菜种,任选 4 种种在不同土质的 4 块地上,有 ________种不同的种法.(用数字作答) 1 680 解析 将 4 块不同土质的地看作 4 个不同的位置,从 8 种不

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同的菜种中任选 4 种种在 4 块不同土质的地上,则本题即为 从 8 个不同元素中任选 4 个元素的排列问题.所以不同的种
4 法共有 A8=8×7×6×5=1 680(种).

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1.2.1(一)

1.排列有两层含义:一是“取出元素”,二是“按照一定顺
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序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素 与它所排的“位置”有关,所以,取出的元素与“顺序” 有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准. 2.排列数公式有两种形式,可以根据要求灵活选用.


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