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指数与指数函数复习学案


指数与指数函数复习学案
复习目标:1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,掌握指数函数的性质. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.

忆一忆知识要点
1.根式 (1)根式的概念 如果存在实数 x,使得 xn=a (a∈R,n>1,n∈N+),则 x 叫做______________.求 a 的 n 次方根,叫做把__________,称作开方运算.式子 n 叫做________,a 叫做被开方数. (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数, 这时, a 的 n 次方根用符号________表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数 a 的正的 n 次方根用符号________表示,负的 n 次方根用符号________表示.正负两个 n 次 方根可以合写为________(a>0). ③( n a)n=______. n 当 n 为偶数时, an=|a|=________________. n a叫做________,这里

n ④当 n 为奇数时, an= ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念

①正整数指数幂:an= a·· · (n∈N+).②零指数幂:a0=______(a≠0). a?a

? ?? ? ?
n个

③负整数指数幂:a p=________(a≠0,p∈N+). m ④正分数指数幂: a n =________(a>0,m、n∈N+,且 为既约分数). n ⑤负分数指数幂: a ?
? m? ?? ? n?
m



=__________= n

1 am

m (a>0, n∈N+, m、 且 为既约分数). n

⑥0 的正分数指数幂等于______,0 的负分数指数幂____________. (2)有理数指数幂的性质 ①aαaβ=________(a>0,α、β∈Q);②(aα)β=__________(a>0,α、β∈Q); ③(ab)α=________(a>0,b>0,α∈Q).

1

3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

(1)______ (2)________ (3)过定点_______ (4)当 x>0 时,____; (5)当 x>0 时,________; x<0 时,________ (7)在(-∞,+∞)上是 ________

性质

x<0 时,________ (6)在(-∞,+∞)上是 ________

1.用分数指数幂表示下列各式.
3

(1)

x 2 =________;(2) (a ? b)3 ((a+b)>0)=________;(3)
4

m3 =________. m

2.化简[(-2) ] -(-1)0 的值为________. 3. 若函数 y=(a2-1)x 在(-∞, +∞)上为减函数, 则实数 a 的取值范围是____________. 4.若函数 f(x)=ax-1 (a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________. 5.已知 f(x)=2x+2 x,若 f(a)=3,则 f(2a)= 题型一 指数式与根式的计算问题 例1
? 2 3

1 6 2



计算下列各式的值.
1

? 2 a b ab ? 27 ? - (1) ? ? +(0.002) -10( 5-2) 1+( 2- 3)0; (2) 1 1 (a>0,b>0). 1 1 ? ? 4 3 3 4 2 ? 8 ? (a b ) a b

3

2 3

2

探究提高:

2

题型二 例 ( ) 2

指数函数的图象及应用 (1) 函 数 y = xax |x| (0<a<1) 图 象 的 大 致 形 状 是

(2)若函数 y=ax+b-1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则 a、b 的取值范 围是_____________.

(3)方程 2x=2-x 的解的个数是__________

探究提高:

变式训练:k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解?

3

题型三 【例 3】

指数函数的性质及应用 求下列函数的定义域和值域.
- -1

(1)求不等式 a2x 7>a4x

中 x 的取值范围;

1 - 2+ + (2)求 f(x)=?2? x 2x 1 的单调区间、值域.

? ?

探究提高:

变式训练:求下列函数的定义域和值域:

?2? (1) y ? ? ? ?3?

-|x+1|

(2) y ? 2

? x 2 ?3 x ? 4

a 3.函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 ,则 a 的值为__________ 2

4

课后巩固 1. 函数 y=2
x

的值域是 B.[1,+∞) D.[ 2,+∞)

(

)

A.[0,+∞) C.(-∞,+∞)
x

2. 若关于 x 的方程|a -1|=2a (a>0, a≠1)有两个不等实根, a 的取值范围是 则 A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) 3 若函数 f(x)=a|2x A.(-∞,2] C.[-2,+∞)
-b -4|

(

)

B.(0,1) 1 D.?0,2? ? ?

1 (a>0, a≠1), 满足 f(1)= , f(x)的单调递减区间是 则 9 B.[2,+∞) D.(-∞,-2]

(

)

4.函数 f(x)=ax 确的是

的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列结论正 ( B.a>1,b>0 D.0<a<1,b<0 )

A.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0 5.已知 a=

5-1 ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的大小关系 2

为________. a 6.函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 ,则 a 的值为__________. 2

?1? 7.函数 y= ? ? ?2?

- x 2 +2x

的值域是

8.已知函数 f(x)=ax+b (a>0 且 a≠1)的图象如图所示,则 a+b 的 值是_______ 9.函数 y=a2x
-2

(a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若直线 l:mx+ny-1=0 经过点 A,则

坐标原点 O 到直线 l 的距离的最大值为________. 10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

5

11.已知函数 f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=λ·3ax-4x 的定义域为[0,1]. (1)求 a 的值. (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数 λ 的取值范围.

12.已知函数 f(x)=

a - (ax-a x) (a>0,且 a≠1). a2-1

(1)判断 f(x)的单调性; (2)验证性质 f(-x)=-f(x), x∈(-1,1)时, 当 并应用该性质求 f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的范围.

6


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