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2019年高三数学(理科)人教A版一轮课时分层训练73绝对值不等式Word版含解析

课时分层训练(七十三) 1.已知|2x-3|≤1 的解集为[m,n]. (1)求 m+n 的值; (2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. [解] 绝对值不等式 (对应学生用书第 278 页) (1)由不等式|2x-3|≤1 可化为-1≤2x-3≤1, 得 1≤x≤2, ∴m=1,n=2,m+n=3. (2)证明:∵|x- a|< m= 1, ∴|x|= |x-a +a|≤|x-a|+ |a|< |a|+1 ,即 |x|< |a| +1. 2.已知函数 f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为 a. (1)求实数 a 的值; (2)解不等式 f(x)≤5. 【导学号:97190401】 [解] (1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,从而解得 a=2. (2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2| ?-2x+6,x≤2, =?2,2<x≤4, ?2x-6,x>4. 1 故当 x≤2 时,令-2x+6≤5,得2≤x≤2, 当 2<x≤4 时, 显然不等式成立, 11 当 x>4 时,令 2x-6≤5,得 4<x≤ 2 , ? ?1 ? ? 11 ? 故不等式 f(x)≤5 的解集为?x?2≤x≤ 2 ?. ? ? ? ? ? 3.(2018· 武汉调研)(1)求不等式|x-5|-|2x+3|≥1 的解集; 1 (2)若正实数 a,b 满足 a+b=2,求证: a+ b≤1. [解] 3 (1)当 x≤-2时,-x+5+2x+3≥1, 解得 x≥-7, 3 ∴-7≤x≤-2; 3 当-2<x<5 时,-x+5-2x-3≥1, 1 3 1 解得 x≤3,∴-2<x≤3; 当 x≥5 时,x-5-(2x+3)≥1,解得 x≤-9,舍去. 1 综上,-7≤x≤3. ? ? ? ? 1 ? 故原不等式的解集为?x?-7≤x≤3 ?. ? ? ? ? ? (2)证明:要证 a+ b≤1,只需证 a+b+2 ab≤1, 1 1 即证 2 ab≤2,即证 ab≤4. 1 1 而 a+b=2≥2 ab,∴ ab≤4成立. ∴原不等式成立. 2 ? 2a +1? ?+|x-a|(a>0). 4.(2018· 东北三省四市模拟(一))已知函数 f(x)=?x+ a ? ? (1)证明:f(x)≥2 3; (2)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥5 的解集. [解] (1)证明:由题知 2 2 ? 2a +1? ?2a +1 ? ?+|x-a|≥? f(x)=?x+ +a? a ? ? ? a ? 1 =3a+a≥2 3. (2)当 a=1 时,f(x)=|x+3|+|x-1|, 解不等式|x+3|+|x-1|≥5, ?x≤-3, ?-3≤x≤1, ?x≥1, 得? 或? 或? ?-2x-2≥5 ?4≥5 ?2x+2≥5, 7 3 解得 x≤-2或 x≥2, ? ? ? ? 7 3 ? 所以原不等式的解集为?x?x≤-2或x≥2 ?. ? ? ? ? ? 5.(2018· 石家庄质检(二))设函数 f(x)=|x-1|-|2x+1|的最大值为 m. 【导学号:97190402】 (1)作出函数 f(x)的图象; (2)若 a2+2c2+3b2=m,求 ab+2bc 的最大值. [解] ? ? 1 (1)f(x)=? -3x,-2<x<1, ? ?-x-2,x≥1, 1 x+2,x≤-2, 画出图象如图, 3 (2)由(1)知 m=2. 3 3 ∵2=m=a2+2c2+3b2=(a2

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