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偏微分方程数值解法的研究_图文


第 2 卷 第,期 ( ) 8 9 下  
21 0 2年 9月  

赤 峰 学 院 学 报 (自 然 科 学 版 )   Ju a oC i n nvrt N trl c ne dtn  orl f hf g i sy( a aS i c  io ) n    e U e i u   e E i

V I2   .   o . 8 No 9 Sp 0 2 e .2 1  

偏微分方程数值解法 的研究 
王海林 , 徐  珊 , 宋论 兵 , 全 归 高  
( 玉溪 师 范学 院


物理 系 ,云 南  玉溪

630) 510 

要 :本文将从 两个方面来讨论偏微分 方程 的数值解法 , 其一 为网格 比对数值解法的影响, 其二为不同差分格 式对偏 

微 分 方程 数 值 解 法 的 影 响 , 两个 方 面 都 会 影 响 偏 微 分 方程 数值 解 的 结果 . 这   关 键 词 :偏 微 分 方 程 ; 值 解 ; 定性  数 稳 中图 分 类 号 : 7 . 0152   文献标识码 :  A 文 章 编 号 :6 3 2 0 2 1 )9 0 0 — 2 17 — 6X(0 2 0 — 0 1 0 

随着科学技术 和社 会的发展 ,大量复杂 的计算 问题不  断 出现在人们面前. 在计算机没有 问世之前 , 了解决 某些  为
复杂 的计算 问题 , 不少科学家献 出了大半生 , 甚至毕生 的精  力 ,87年 法 国天 文学 家达拉姆 尼 ( a mn ) 了整整 2   16 D a y花 l 0

区域离散化 , 用平行 直线族 x j,= a把 区域  划 分成若  ihtk , = k "

干个小矩形 , 中 h 一 为空 间步长和时间步长 , 称为网  其 ,称 r  
格 比( 如果 为二阶 的网格 比可表为  等 ) ? 接下来对微 分方 

年的时间 , 求解 了一个天体运动的摄动级数展 开式 Ⅲ 这并  . 但 不是解决复杂 问题 的好 方法 ,于是人们开始研究解决 复杂 

程 离散化 , 由泰勒级数展开 可知 , 在接点(k处 微商和 差商  j) ,
存在如下关系1  3 ] :

计算 问题 的方法 , 了解决一些复杂 的计算 问题 , 为 数值计算 
方法便出现了. 而偏微 分方程 的数值解是其 中一个非常重要 

幽  下  

一 t1u) :a J0, 【 。T f  +(      


、 (  _ 4 r   )

的分支 , 例如要 准确预测天气的变化情况 , 就要求解成千上 
万个 偏微分方程组【 人工求解是很不 现实的 , 1 ] , 因而, 偏微分 

h  
,   ,

【 J0‘ f +(   1 h a 。  x  )  

( …  5 )

方程 的数值解就显得相 当重要 了. 偏微分方程 的数值解法主 
要有 三种 , 限差分法 , 有 变分法 , 有限元 方法 , 用最 普遍的  使

在此记[Ju j u 表示 ux 的近似值 , 样就可 以  u =( J x   k (, j 这
用差商 代替 ( ) 中的微 商 , 1式 即可 以得 到相应 的差分方程 ,   有时候也称为差分格式 :  
+  a :  0 () 6 

是有限差 分法 . 而有限差分法在求解偏微分方程 的时候会存  在 不稳定性 , 以 , 所 需要分析有 限差分法求解偏微 分方程 的 
稳定 性 ,差分方程的稳定性是指研究差分方程 在右端 自由  

项无 误差 的情况下 , 初值 干扰 对差 分方程解的影响 , 它反映  了差分解是否 连续 依赖于初值的情形 , 限差分法 又存在  有
很多种差分格式. 本文将从两个方面讨论偏 微分方程的数值  解法 . 的第一 部分将对有 限差分 法做个简单介绍 , 二  本文 第

最后将边界条件和初始条件离散化后就 可以做数值计  算了.  
2 网 格 比对 偏 微 分 方 程 数 值 解 的 稳定 性影 响   

部分将给 出网格 比对稳 定性 的影响 ,第三部分将给 出具 体  的差分格 式对数值解 的影响 ,第 四部分 内容为本 文的结论 
与 讨论.  
1 有 限差 分 法 简 介   

为了计算方便 , 取方程 ( ) 1 中的 a l这样 方程 ( ) =, 1 对应 
的差 分 方 程 可 以写 为 :  


+  

:  0

() 7 

考虑偏微分方程 中最 简单 的一维对流方程 的初边值 问 
题:  
I+ 旦u =   a 一 0
d   x d   x

取函数 ‘x 1 ≤0 P) , (:   取函数 ‘x   P) (= 对上述定 解问题进行数 值解 ,  




:> ,上 定 问 进 数 解 x 对述 解题行 值 , 0  

ft X1   ∈D


() 1 

分别取网格 比为   =., =., =. 可得如图 1   1   1 } 0, 1 n  0 n  9 的函 n
数 图象.   由图可见 , 当网格 比为  = .时方程 的解不稳定 , 11 网格 

uxo ‘x (,=p ) ) ( 
u一,= 0I 0 ( t u ,=   l) )

x 一, ∈(l) 1  
t 0r ∈【,] | 

() 2 
() 3 

要利用数值方法求解上述定解 问题 ,首先需要对定解 

比为  = .和}= .时方程的解相对比较稳定. 1 0 n  1 9 0   1  

基 金 项 目 : 溪师 范学 院 大 学 生 创新 性 实验 计 划项 目(0 1 7  玉 2 1B1 )

万方数据

图 3 L F格 式    —

X 

图 1 其 中实线代表网格比为  = ., 1   1
n 

虚线代表网格 比为  0 , T= . 点线代表 网格 比为F 1   9 T= . 0
n  /  1

由上面的计算可知 网格 比会影响方 程数值解 的稳定性 .  

这里 只是直观的给出方程数值解的稳定性 的状况 . 数值解 的 
稳定性 的分析可 以采用 F u e 方法 , r启示性方法 , or r i Hi t 能量  不等式方法等  .  
3 不 同 差分 格 式 下 的 偏 微 分 方 程数 值 解 

图 4 — 格式   L w

对于不同的差分格式下的偏微分方程 的数值解依然采 
用方程( )分别采用下面的 四种差分格式做差分 : 1,  
() 1迎风格式的差分方程 可以写为 :  
k l +  k   k   k  

+a  
下  n 

=0  

() 8 
^  

( ) - (a — f d cs格式的差 分方程可 以写为 : 2 L F Lx F er h) i i  
kl 1 +    k   k
+  T  Z  h


图 5 B a — r ig 式    em Wam n 格
。  

() 9 

图 4 图 5出现 了震 荡 , 2 图 3比较平滑 , 是 由于差分  , 图 , 这
格 式 不 同所 导 致 的 .  
4 结论 与 讨 论 

( )- L xWedo) 3 L W(a— n rf格式的差分方程可以写为 :  
u 

ku  (一- a k2+  () +   u u 2 +  《) 1  l一 kk T   = + 。   一    2   0



从上面 的计算可知 , 运用有限差分法求解偏微分方程 ,   网格比会对方程 的解的稳定性存在影响. 而不 同的差分格式 

( ) em Wamn 格式的差分方程可 以写为  4 B a — r ig
u+= k aT k k j   —    l
Uj l _

)T 2。】 一  ku k   t ku) a 一- 一    

() 1  1

会 使得 方程 的解存在微小 差异 , 并且其稳定状况也不 一样 ,   因而 , 在解决实 际问题 的过程 中, 求解偏微分方程 的需要注 

意选择合适 的网格 比及适 当的差分方法 ,这样对 于偏微分 
方程的求解 是有帮助 的.  

参考文献 :  

[ ] 煦 . 算 机 数 值 计 算 方 法 及 程 序 设 计 [ ] 京 : 械 工  1周 计 M . 北 机
业 出版 社 .0 4  20.

[ ] 长 发, 红 . 微 分 方 程 数 值 解 法[ . 汉 : 中科 技 大  2徐 李 偏 M】 武 华
学 出版社 。0 0 20.  

图 2 迎 风 格 式 

[] 3 陆金 甫 , . 微 分 方程 数 值 解 法[ ] 京 : 华 大 学 出 关治 偏 M . 北 清  
版 社 .0 4 20 .  

图 2 图 3图 4 图 5 、 、 、 分别 为上述 四种差 分格式对应 的 

数 解 函 图 . 过 中 h.,格 取 =5 值 的 数 象 算 程 取 = 1 比 } 0, 计 0 网 O .  
上 图为对 时间计算 10步后所得到 的函数 图象 , 0 由图可知 ,  

[ ] e e u R J Nu r a 4 LV q e . me cl i  Me o s o Co s vt n t d h  fr ne a o   r i
L ws a .Ba e:Bik usr V e a sl r ha e  f g, 1 0. l 99  



万方数据

2 一 

偏微分方程数值解法的研究
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 王海林, 徐珊, 宋论兵, 高全归 玉溪师范学院物理系,云南玉溪,653100 赤峰学院学报:自然科学版 Journal of Chifeng College :Natural Science Edition 2012(18)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_cfxyxb201218002.aspx


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