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江西省萍乡市高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 直观图课件 北师大版必修2_图文

§2

直观图

1.了解直观图的作用. 2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图,会画出某些建筑 物或零件的直观图. 3.掌握直观图与原图形之间的转换,并能根据直观图求解原图形 的相关问题.

1.直观图的作用 直观图具有较强的立体感,可以用直观图表示空间图形. 2.用斜二测画法画直观图的规则 (1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时,它们分别对应 x'轴和y'轴,两轴交于点O',使∠x'O'y'=45°,它们确定的平面表示水 平平面. (2)将已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平 行于x'轴和y'轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平 1 行于y轴的线段,长度为原来的 . 2 (4)用斜二测画法画立体图形时,与平面图形相比多画一个与x轴、 y轴都垂直的z轴,并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变,在 直观图中,平面x'O'y'表示水平平面,平面y'O'z'和z'O'x'表示直立平面.

【做一做】 关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是 ( ) A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x'轴,长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y‘轴,长度变为 1 原来的 . 2 C.画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是90° D.画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 答案:C

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

水平放置的平面图形的直观图的画法

【例1】 画水平放置的边长为1 cm的正三角形的直观图. 分析:用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,首先要 在平面图形上建立平面直角坐标系,坐标系建立的是否恰当,会直 接影响到图形的直观性.一般地,要充分利用图形的特征(如对称性) 来建立坐标系.

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :步骤 :(1)如图 ①所示 ,以 BC 边所在的直线为 x 轴 ,以 BC 边上 的高线 AO 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 .画出对应的 x'轴与 y' 轴 ,两轴相交于点 O',且 ∠x'O'y'=45° .

(2)在 x'轴上截取 O'B'=O'C'= 所示 .

3 cm,连接 A'B' ,A'C',则 △A'B'C'即为正三角形 ABC 的直观图 .如图 ② 4

1 cm,在 2

y'轴上截取 O'A'=

1 2

=

题型一

题型二

题型三

题型四

反思用斜二测画法画平面图形的直观图时,抓住“一斜二测”.一斜 指坐标轴成45°.二测指已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中 保持原长度不变,已知图形中平行于y轴的线段,在直观图中长度为 原来的一半.在作图时要注意在原图上建立恰当的直角坐标系,使 整个作图变得简便. 特别提醒同一个图形选取的坐标系不同,得到的直观图可能不同.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练1】 如图所示,画出该水平放置的等腰梯形的直观图, 其中O,E为所在边的中点.

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :(1)建立如图 ①中的坐标系 x'O'y' ,使 ∠x'O'y'=45° . (2)在图 ①中 ,以 O'为中点在 x'轴上取 A'B'=AB.

图①

(3)在 y'轴上取 O'E'= , 以 E'为中点 ,画 C'D' ∥x'轴 ,并使 2 C'D'=CD. (4)连接 B'C' ,D'A' ,去掉辅助线 ,所得的四边形 A'B'C'D'就是水平 放置的等腰梯形 ABCD 的直观图 ,如图 ②所示 .

1

图②

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

空间几何体的直观图

【例2】 画出一个正三棱台的直观图(尺寸:上、下底面边长分别 为1 cm,2 cm,高为2 cm). 分析:先画出上、下底面(正三角形)的直观图,再画出整个正三棱 台的直观图. 解 :(1)画轴,如图 ①所示,以底面 △ABC 的中心 O 为原点 ,OC 所在 直线为 y 轴,平行于 AB 的直线为 x 轴 ,使∠xOy=45° ,垂直于 x 轴的直 线为 z 轴 . (2)画下底面 ,在 xOy 平面上画△ABC 的直观图,在 y 轴上量取

OC=

连接 AC,BC,则△ABC 为下底面三角形的直观图.

3 3 cm,OD = cm.过点 D 作 AB∥x 轴 ,AB=2 cm,且以 D 为中点 , 3 6

题型一

题型二

题型三

题型四

(3)画上底面 ,在 z 轴上截取 OO'=2 cm, 过 O'作 x'轴 ∥x 轴 ,y'轴 ∥y 轴 ,在 y'轴上量取 O'C'=
3 cm,过点 12 3 cm,O'D'= 6

D'作 A'B' ∥x'轴 ,A'B'=1 cm,且以 D'为中点 ,连接 A'C' ,B'C' ,

则 △A'B'C'为上底面三角形的直观图 .

图① 图② (4)连线成图 ,连接 AA' ,BB' ,CC',并擦去辅助线 ,则三棱台 ABC-A'B'C'即为所要画的正三棱台的直观图 ,如图 ②所示 .

题型一

题型二

题型三

题型四

反思画空间几何体的直观图,可先画出底面的平面图形的直观图, 坐标系的建立要充分利用几何体的对称性,再画出z轴.对于图中与x 轴、y轴、z轴平行的线段,在直观图中分别平行于x‘轴、y’轴、z‘轴, 1 与y轴平行的线段,长度变为原来的 ,与x轴、z轴平行的线段,长 2 度保持不变.对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段,可通过确 定端点的办法来解决.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练2】 用斜二测画法画一个上底面边长为1 cm,下底面 边长为2 cm,高为2 cm的正四棱台. 解:(1)画轴.如图①所示,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使 ∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画下底面.在平面xOy上画边长为2 cm的正方形的直观图 ABCD. (3)画上底面.在Oz上截取OO'=2 cm,过O'分别作平行于Ox,Oy的 直线O'x',O'y',在平面x'O'y'上用画正四棱台下底面直观图的方法画 出正四棱台的上底面的直观图.

题型一

题型二

题型三

题型四

(4)连线成图.依次连接AA',BB',CC',DD',整理(去掉辅助线,将被遮 挡部分改成虚线)得到正四棱台的直观图,如图②所示.

图①

图②

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

直观图的还原

【例3】 如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测画法下 的直观图,C'A'=2,B'D'∥y'轴,且B'D'=1.5. (1)画出△ABC; (2)求△ABC的面积. 分析:解答本题的关键是点B位置的还原.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)步骤:①画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A'; ②在x轴上取OD=O'D',过点D作DB∥y轴,并使DB=2D'B'. ③连接AB,BC,即得到△ABC,如图. (2)∵B'D'∥y'轴,∴BD⊥AC. 又B'D'=1.5,且A'C'=2, ∴BD=3,AC=2.

∴S△ABC = 2 · AC=3.
反思若一个平面多边形的面积为 S 原 ,它的斜二测画法的直观图 的面积为 S 直,则有 S直 =
2 原. 4

1

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 如图所示,一个水平放置的图形的直观图,其中 ∠D'A'O'=∠O'B'C'=45°,A'D'=B'C'=C'D'=1,那么原平面图形的面积 是( )

A.2+ 2

B.

1+ 2 2

C.

2+ 2 2

D.1+ 2

解析由题意, 可得 AD=2A'D'=2, 且 AD⊥AB. 又 AB=A'B'=1+ 2, CD=C'D'=1, 所以原图形的面积为 1 ×(1+ 2+1)×2=2+ 2, 故选 A. 2
答案A

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易错辨析

易错点 :不能正确地由直观图还原到原图而致误 【例 4】 如图所示是直观图,则其平面图形的面积为 (

)

A.3

B.

错解 :B 错因分析 :错解中错误地把该图认为是原平面图形,按 △O'A'B'
1 的面积计算为 × 2

3 2 C. 6D. 3 2

2

2 × 3 × sin 45° =

3 2 . 2

题型一

题型二

题型三

题型四

正解:实际上,该图为直观图,必须先根据直观图还原平面图形,再 利用三角形的面积公式求解.原平面图形如图所示,即Rt△OAB,其 1 中OA=O'A',OB=2O'B',故其平面图形的面积为 × 3 × 4 = 6, 故选C.
2

答案:C

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 4】 已知梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形, 且梯形 O'A'B'C' 的面积为2 2, 则原梯形的面积为 .

题型一

题型二

题型三

题型四

解析:

如图所示. 由斜二测画法原理知, 直观图与原图中梯形的上底与 下底的长度是相同的, 原梯形的高 OC 是直观图中 O'C'的 2 倍, O'C' 是直观图 O'A'B'C'的高的 2倍, 由此 OC 为直观图高的 2 2倍. 由梯形的面积公式及 S 梯 形 O'A'B'C'=2 2, 得S 梯 形 OABC=2 2 × 2 2 = 8.
答案:8

1

2

3

4

5

1.有下列叙述: ①相等的角,在直观图中仍相等; ②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等; ③若两条线段互相平行,则在直观图中对应的线段仍互相平行; ④若两条线段互相垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:从原图到直观图只能保证平行的线段仍互相平行,故只有③ 正确. 答案:B

1

2

3

4

5

2.如图所示,正方形O'A'B'C'的边长为1,它是水平放置的一个平面图 形的直观图,则原图形的周长为( ) A.6 B.8
C.2+ 3 2 答案:B D. 2 + 2 3

1

2

3

4

5

3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2, 则AB边上的中线的实际长度为 .

解析:原图是 AC=3,BC=4, ∠BCA=90°的直角三角形,故斜边 AB 上 的中线长为2 × 32 + 42 = 2.
答案:2
5

1

5

1

2

3

4

5

4.关于利用斜二测画法画直观图有下列结论: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. 其中正确的是 . 解析:斜二测画法保持平行性和相交性不变,即平行直线的直观图 还是平行直线,相交直线的直观图还是相交直线,故①②正确;但是 用斜二测画法画直观图时平行于y轴的线段,在直观图中长度为原 来的一半,则正方形的直观图不是正方形,菱形的直观图不是菱形, 所以③④错误. 答案:①②

1

2

3

4

5

5.画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定). 分析:利用斜二测画法画空间几何体的直观图. 解:(1)画轴.如图①所示,画x轴、y轴、z轴,使 ∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画底面.如图①所示,以O为中心,在xOy平面内,画出正方形的直 观图ABCD. (3)画顶点.如图①所示,在z轴上截取OS,使OS等于要画的正四棱锥 的高.

图①

图②

1

2

3

4

5

(4)连线成图.连接SA,SB,SC,SD,擦去辅助线(坐标轴),得到正四棱 锥S-ABCD的直观图,如图②所示.

图①

图②