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对数与对数的运算的教学设计(杨晖)


《对数与对数运算(第一课时) 》教学设计
广州市荔湾区汾水中学 杨晖

教材 新课标人教版高中教材数学必修 1 课题 2.2.1 对数与对数运算第一课时 教学目标 (一) 知识与能力
1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系; 2.理解和掌握对数的性质; 3.掌握对数式与指数式的关系。

(二)过程与方法
通过与指数式的比较,引出对数定义与性质

(三)情感、态度和价值观
1.对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力; 2.通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质; 3.在学习过程中培养学生探究的意识; 4.让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力。

教学内容分析 教学重点 教学难点 教学模式
讲练结合 对数式与指数式的互化以及对数性质 推导对数某些性质

教学语言
普通话

教学主题
掌握对数的基本知识,即对数产生的意义、概念等基础知识,求对数及对 数式与指数式间转化等基本技能的掌握

教学程序
1.问题的提出 2.知识铺垫 3.概念讲解

4.知识的探究 5.课堂练习 6.小结—作业。

教学过程
(一)引入
问题 1.庄子:一次之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取 4 次还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺? 问题 2.假设 2006 年我国国民生产总值为 a 亿元, 如果每年的平均增长率为 8% , 那么经过多少年我国的国民生产总值是 2006 年的 2 倍? 3.概念的引入对数的运算:类比乘方运算和开方运算得到对数的运算实质是已 知幂和底数求指数

(二)背景介绍
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(Napier,1550~1617)他 发明了供天文计算作参考的对数,并于 1614 年在爱丁堡出了 《奇妙的对数定律说明书》 ,公布了他的发明.恩格斯把对数的 发明与解析几何的创始,微积分的建立并称为 17 世纪数学史 三大成就. 伽利略说,给我空间、时间及对数,我可以创造 整个宇宙。布里格斯(常用对数表的发明者)说,对数的发 明延长了天文学家的寿命。

(三)对数概念
一般地,若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作

x ? loga N , a 叫做对数的底数,N 叫做真数.
称 a x ? N 为指数式,称 x ? loga N 为对数式 我们可以由指数式得到对数式,也可以由对数式得到指数式: x a

a ? N ?l o g N ? x
6 ( 2 ) ?2 ?

练习题:例 1 指数式化为对数式:
(1)54 ? 625 (3)3a ? 7

1 64

1 (4)( ) m ? 5.73 3

解: 对数式是
2 ( 1 ) l o g 6? 5 (4 ) l o g ? 2 2 5 1 64 4

(3) log ?a 27 3

(4) log 1 5.73 ? m
3

(四)探究 1. 想一想 x ? loga N 中底数 a 有没有什么限制呢? N 有没有什么 限制呢?
(教师活动)引导学生通过等价关系,理解等价关系的定义。 (学生活动)前面可以推出后者,后者也可以推出前者。 (教师活动) a x ? N 中 a 有什么限制呢? (学生活动) 1) x ? N 中的 a ? 0且a ? 1 。 ( a 因此, a N ? x 也要求 a ? 0且a ? 1 log (教师活动) a x ? N 中 N 有什么限制呢? (学生活动) (2)因为 a ? 0且a ? 1 时有 a x ? N ? 0 。因此, log a N ? x 中真数
N ? 0 (教师活动)总结:即是说负数与零一定没有对数。

综合下来: a ? 0且a ? 1 , N ? 0 。
2. loga a ? ? (a ? 0且a ? 1) , loga 1 ? ? (a ? 0且a ? 1) (学生活动) 研究 loga a ? ? (教师活动) “?”代表值是多少我们不知道,是否可以用 x 代替? (学生活动)假设 loga a ? x 。 (教师活动)对数不好研究,我们是否又可以改写成指呢? (学生活动)化为指数式为 a x ? a ,可以知道 x ? 1 (教师活动)类比上面研究过程,研究 loga 1 ? ? (学生活动)改写后 a 0 ? 1 , (a ? 0且a ? 1) 这是恒成立式子。所以有 loga 1 ? 0 所 以有 loga 1 ? 0

综合我们有: loga a ? 1 (a ? 0且a ? 1) , loga 1 ? 0 (a ? 0且a ? 1) , 3. a
loga N

? ? (a ? 0且a ? 1, N ? 0)

(教师活动)从式子 a x ? N ? x ? loga N 中,你还能看出什么,能不能考虑用 互换关系? (学生活动) a x ? N ? x ? loga N 必然成立。 (教师活动)是否可以将 x ? loga N 代入 a x ? N 中? (学生活动)所以有 a loga N ? N 于是我们有: aloga N ? N (强调指数底和对数底相同时就可以用该公式) 总结:性质 1: loga 1 ? 0 (a ? 0且a ? 1) 性质 2: loga a ? 1 性质 3: a loga N ? N

(a ? 0且a ? 1) (a ? 0且a ? 1, N ? 0)

(五)常用对数和自然对数的引入 两种特殊的对数:板书:常用对数 log10 N记为lg N; 自然对数 loge N记为ln N;
(教师活动) (1) 即是说:a ? 10 ,我们得到对数 log10 N 。称 log10 N 为常用对数。 通常简写成 lg N (教师活动)为什么 10 为底的对数叫做常用对数? (学生活动)想其他 2 为底的对数为什么不可以称为常用对数? (教师活动)常用对数有常用对数表可查,常用对数表是前人经验总结出来的。 (教师活动)当 a ? e=2.71828… 时,得到对数 loge N ,称 log e N 为自然对数。通 常写成 ln N (学生活动)为什么 e 为底的对数叫做自然对数? (教师活动) e 这个符号由欧拉(Leonhard Euler 1707-1783)在 1727 年首先引入, 其地位 e 的最重要性质是以其为底的指数函数的导数等于其本身,这有点类似于

像乘法运算中的 1 的地位。 练习题:求下列各式的值:

(1)3log3 1 ? ________ (2)eln2 ? ________ (3)lg100 = ________
(六)评价与小结
1.对数定义(关键) 2.指数式与对数式互换(重点) 3.求值(重点)

(七)作业:
学习与评价 P56

(八)板书设计
2.2.1 对数与对数运算 一.导入
ax ? N

x=?

二.概念的理解

a x ? N ?l o g N ? x a
三.重要的性质 1: loga 1 ? 0 (a ? 0且a ? 1) 2: loga a ? 1 3: a loga N ? N 四.应用举例 (九)教学反思: 对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中,以双基为教学主题,采用讲讲练 练的教学程序, 运用指数式与对数式的转化策略,通过教师的讲对数的数学史激 发学生好奇,从实际问题导入对数概念、对数符号,理解对数的意义,通过典型 例题的讲授,充分揭示对数式与指数式间的关系,掌握求对数值的方法,通过学 生典型习题的练, 使学生进一步理解对数式与指数式间的关系,掌握求对数的一 些方法,在讲练结合中实现教学目标。

(a ? 0且a ? 1) (a ? 0且a ? 1, N ? 0)


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