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高中数学导数知识点归纳2


高中数学选修 2----2 知识点
第一章 导数及应用

一.导数概念的引入 1. 导 数 的 物 理 意 义 : 瞬 时 速 率 。 一 般 的 , 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 , 即 f ?( x0 ) = lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

P 时,直线 PT 与曲线相切。容易 2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 P n 趋近于
知道,割线 PP n 的斜率是 kn ?

f ( xn ) ? f ( x0 ) P 时,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导 ,当点 P n 趋近于 xn ? x0 f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) xn ? x0

数就是切线 PT 的斜率 k,即 k ? lim

?x ?0

3. 导函数:当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x ) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数有 时也记作 y? ,即 f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

二.导数的计算 1)基本初等函数的导数公式: 2 若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x
?

? ?1

;

3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 5 若 f ( x) ? a ,则 f ?( x) ? a ln a
x x x x 6 若 f ( x) ? e ,则 f ?( x) ? e

1 x ln a 1 8 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? x
x 7 若 f ( x) ? loga ,则 f ?( x ) ?

2)导数的运算法则 2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x)

3. [

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

3)复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下'关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减. Ps:二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数 y=f(x)的导

数 y'=f'(x)仍然是 x 的函数,则 y'=f'(x)的导数叫做函数 y=f(x)的二阶导数。 几何意义 (1)切线斜率变化的速度 (2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)
2.函数的极值(局部概念)与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; (3) 若 f'(x)=0,则在该点函数不增不减,可能为极值,也可能就为一过渡点。 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的是一个最大值,最 小的是最小值.

可导奇函数的导函数的是偶函数 可导偶函数的导函数的是奇函数
III. 求导的常见方法: ① 常用结论: (ln | x |) ' ?
1 . x

②形如 y ? ( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 或 y ? 形式.

( x ? a1 )( x ? a 2 )...( x ? a n ) 两边同取自然对数,可转化求代数和 ( x ? b1 )( x ? b2 )...( x ? bn )

③无理函数或形如 y ? x x 这类函数,如 y ? x x 取自然对数之后可变形为 ln y ? x ln x ,对两边求导可得

y' 1 ? ln x ? x ? ? y ' ? y ln x ? y ? y ' ? x x ln x ? x x . y x

导数中的切线问题
1:已知切点,求曲线的切线方程 2:已知斜率,求曲线的切线方程 3:已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法. 4:已知过曲线外一点,求切线方程
y ? f ?( x)

1.

函数 f ( x) 的定义域为开区间 (? ,3) ,导函数 f ?( x) 在

3 2

3 (? ,3) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 的单调增区间是 2
_____________
y

2. 如图为函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象,f '( x) 为函数 f ( x) 的导
函数,则不等式 x ? f '( x) ? 0 的解集为_____ _
- 3

o

3

x

3. 若 函 数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的 图 象 的 顶 点 在 第 四 象 限 , 则 其 导 函 数 f '( x) 的图象是( )

4. 函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导函数 f '( x) 的图象是如图所示的一条直 线,则 y ? f ( x) 图象的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
y ? f ?( x)

y
5. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 . f ?( x) 为 f ( x) 的导函 已 知 函 数 y ? f ?( x) 的 图 象 如 右 图 所 示 . 若 两 正 数 a , b 满 足 数,

O

x

f (2a ? b) ? 1 ,则
A. ( ,

1 1 ) 3 2

b?2 的取值范围是 ( ) a?2 1 1 B. (??, ) ? 3, ?? ? C. ( , 3) 2 2

D. (??, ?3)

5.(2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能 是( )

6.

函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 x 的图象大致是 ( ) 2
y y y

y

O

x

O

x
O

x

O

x

7.

A. B. D. C. 设 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ' ( x) 的图像画在同一个直角坐标系中,不可能
正确的是( )

A. B. C. D. 8. 如右图所示是某一容 器的三视图, 现向容器中匀速注水, 容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

h

h

h

h

正 视图

侧 视图

O

t

O

t

O

t

O

t

俯 视图


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