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最短路径问题专题课件04(精品)


八年级 数学 人教版 教材 第十三章 第四节 课题学习: 最短路径问题 看图思考:为什么有这种现象发生? 为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象, 你能用数学知识解释这一现象吗? 新 课 引 入 我们把研究关于“两点的所有连 线中,线段最短” “连接直线外一 点与直线上各点的所有线段中,垂线 段最短”等问题,我们称它们为最短 路径问题.最短路径问题在现实生活 中经常碰到,今天我们就通过几个实 际问题,具体体会如何运用所学知识 选择最短路径. 探索新知 问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访 海伦,求教一个百思不得其解的问题: 探索新知 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B 地.到河边什么地方饮马可使 他所走的路线全程最短? 精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗? 追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线. · A· B l 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? (1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A, B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地 到饮马地点,再回到B 地的路程之和; · A· B l 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? (3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上 面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小(如图). B A C l 问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 追问1 对于问题2,如何 将点B“移”到l 的另一侧B′ 处,满足直线l 上的任意一点 C,都保持CB 与CB′的长度 相等? · A · B l 问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 追问2 你能利用轴对称的 有关知识,找到上问中符合条 件的点B′吗? · A · B l 问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 作法: (1)作点B 关于直线l 的对称 点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交 于点C. 则点C 即为所求. · A · B C l B′ 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗? · A · B C l B′ 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗? 证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不 重合),连接AC′,BC′,B′C′. 由轴对称的性质知, BC =B′C,BC′=B′C′ B ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′ · A AC′+BC′= AC′+B′C′. · C′ C B′ 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗? 证明:在△AB′C′中, AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短. · A · B C′

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