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「精品」人教A版高中数学选修1-1课件双曲线的第二定义-精品课件_图文

1.2.2 双曲线的 简单几何性质(2)

复习

性 质 图象

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

双曲线

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? 0,b ? 0)

y2 a2

?

x2 b2

?1

(a ? 0,b ? 0)

y
x?a

o


x x ? ?a

y y?a

o x y ? ?a

关于 坐标 轴和

(?a,0) y ? ? b x
a

e? c a

原点

(其中

都对 称

(0,?a) y ? ? a x c2 ? a2 ?b2)

b

例1 点 M (x,y)与定点F (c,0)的距离和它到定直线l : x ? a2 的 c

距离的比是常数 c (c ? a ? 0),求点M的轨迹 .

a

解:设 d是点M到直线 l的距离,则

l' y l

由题意知

|

MF d

|

?

c a

d .M



(x ? c)2 ? y2 | x ? a2 |

?

c. a

.

.

F’ O

F

x

c

化简 (c2 ? a2 )x2 ? a2 y2 ? a2 (c2 ? a2 ) .



c2 ? a2

? b2 ,则

方程化为

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? 0,b ? 0)

? 点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 2a、2b的双曲线 .

双曲线的第二定义:

动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比

是常数 e ? c (e ? 1),则这个点的轨迹是椭圆 . a

l'

y

定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的

l
d .M

准线,常数e是双曲线的离心率 .

对于双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1,

.

.

F’ O

F

x

右焦点F2 (c,0),对应的右准线方程是

x

?

a2 c

.

左焦点F1(?c,0)对应的左准线方程是

x

?

?

a2 c

.

焦点在y轴上的双曲线的准线方程是:y ? ? a2 c

例2 已知双曲线 x2 - y2 a2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0)的焦点F(1 ? c,0)F2 (c,0),

P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点,求证:| PF1 |? a ? ex0 ,

| PF2

|? ?a ? ex0

其中e为双曲线的离心率。 l'

y

l

证明:?双曲线的左准线为x ? ? a2

P.

c

?由整双理曲得线:的| P第F1二|?定ex义0 ?得a:x|0P?F1ac|2

?

c a

.
F1 O

.
F2

x

由双曲线的第一定义得:|PF2 |?| PF1 | ?2a ? ex0 ? a

| PF1 |min ? c ? a
说明:|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径,此公式称为焦半径公式

双曲线第二定义的应用

P(x0,y0)是双曲线

x a

2 2



y b

2 2

=1

(a>0,

b>0)上的一点,F1,F2是左、右焦点,

则∣PF1∣=?∣PF2∣=?

当P在右支上时,∣PF1∣=ex0+a, ∣PF2∣=ex0-a

当P在左支上时,∣PF1∣=-ex0-a, ∣PF2∣=-ex0+a

例3.已知双曲线 y2 12

- x2 13

? 1上支有不同的三点A(x1,y1),B(x0,6),

C(x2,y2 )与焦点F(1 0,5)的距离成等差数列,(1)求y1+y2的值;

(2)求证:线段AC的中垂线经过某一定点,并求出这个点的坐标.

解解: (2):A(C1的) y中1垂?线y方2 程?:1y2? 6

?

x1 ? x2 y2 ? y1

(x

?

x1

? x2 2

)

即: y ? 6 ? x1 ? x2 x ? x12 ? x22 (1) y2 ? y1 2( y2 ? y1)



???1y212

? ?

y22

- x12 13
- x22

??12 13

?1 ,? x12
?1

?

x22

?

13 12

(

y12

?

y22 ), 又y1

?

y2

? 13,

? x12 ? x22 ? 13(2), 把(2)代入(1)得,y ? 6 ? x1 ? x2 x ? 13

y1 ? y2

y2 ? y1 2

即y- 25 2

?

x1 ? x2 y2 ? y1

x,则AC的中垂线恒过点(0,225 ).

例4.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能

沿AP,BP运到P处,PA=100m,PB=150m?APB=60 ,

M

试证明怎样运土才能最省工.

解 : 设M是沿AP,BP到P同样近的点.

MA ? AP ? MB ? BP A O

B

? MA ? MB ? BP ? AP ?P 50,

又 AB ?

AP 2 ?

2
BP

?2

AP

BP cos 60

? 50

7

则 M A ? MB < AB ,分界线是以A,B为焦点双曲线

的右支, 分界线方程是 x2 ? y 2 ? 1( x ? 25), 625 3750
运土时,将双曲线左侧的土沿AP运到P处,将 双曲线右侧的土沿BP运到P处。

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作业: P56 : 5题, 6题,测试反馈10