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《金融数学》(第二版)练习题(修订版)_图文

孟生旺《金融数学》(第二版)练习题
( 2011. 1. 10 修订)
第 1 章 利息度量
1.1 现在投资$600,以单利计息,2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000,试确定在 3 年后的累积值。 1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和,等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T。 1.3 在零时刻,投资者 A 在其账户存入 X,按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时,投资者B在另一个账户存入 2X,按利率 i(单利)来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息,求 i。 1.4 一项投资以 δ 的利息力累积,27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年,累积值将成为 7.04。求 n。 1.5 如果年名义贴现率为 6%,每四年贴现一次,试确定$100 在两年末的累积值。 1.6 如果 i(m) = 0.1844144 , d (m) = 0.1802608 ,试确定 m。
1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以 δt = t / 6 的利息力累积。在零时刻,分别存入 1 到两个基金中。请问何时两个基金的金额
1

将相等。

1.8

基金

A

以δ t

=

a

+ bt

的利息力累积。基金

B

以δ t

=

g

+

ht

的利息力累积。基金

A

与基金

B

在零时刻和

n

时刻相等。已知 a

>

g

>

0,h>b>

0

。求

n。

1.9

在零时刻将 100 存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率δ支付利息。从 t

=

2

开始,利息按照 δt

=1 1+t

的利息力支付。

在 t = 5 时,存款的累积值为 260。求δ。

1.10 在基金 A 中,资金 1 的累积函数为 t+1,t>0;在基金 B 中,资金 1 的累积函数为1 + t 2 。请问在何时,两笔资金的利息力相等。

1.11

已知利息力为 δt

=2 1+t



第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付

600 元的现值之和,等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X

元的现值。求 X。

1.12

已知利息力为 δ t

=

t3 100

。请求 a?1(3) 。

1.13 资金 A 以 10%的单利累积,资金 B 以 5%的单贴现率累积。请问在何时,两笔资金的利息力相等。

1.14 某基金的累积函数为二次多项式,如果向该基金投资 1 年,在上半年的名义利率为 5%(每半年复利一次),全年的实际利率为 7%,试确定 δ0.5。

1.15

某投资者在时刻零向某基金存入

100,在时刻

3

又存入

X。此基金按利息力

δ t

=

t2 100

累积利息,其中

t

>

0。从时刻

3

到时刻

6

得到的全部利息为

X,

求 X。

1.16 一位投资者在时刻零投资 1000,按照以下利息力计息:

2

δ t

=

???????00..0042t5,,0t

≤ >

t≤ 3

3

求前 4 年每季度复利一次的年名义利率。

1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为 7.5%,求下列两项的和:(1)利息力;(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。

?kt,

1.18

假设利息力为 δt

=

?

? ??

1 25

kt

2

,

0<t ≤5 ,期初存入单位 1 在第 10 年末将会累积到 2.7183。试求 k。
5 < t ≤ 10

1.19

已知利息力为 δt

=

1 2+t

,一笔金额为

1

的投资从 t=0

开始的前

n

年赚取的总利息是

8。试求

n。

1.20 1996 年 1 月 1 日,某投资者向一个基金存入 1000,该基金在 t 时刻的利息力为 0.1(t ?1)2 ,求 1998 年 1 月 1 日的累积值。

1.21 投资者 A 今天在一项基金中存入 10,5 年后存入 30,已知此项基金按单利 11%计息;投资者 B 将进行同样数额的两笔存款,但是在 n 年后存入 10, 在 2n 年后存入 30,已知此项基金按复利 9.15%计息。在第 10 年末,两基金的累积值相等。求 n。

1.22

已知利息力为 δ t

=

2 ,2 t ?1



t

≤10

。请计算在此时间区间的任意一年内,与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。

第 2 章 等额年金
2.1 某人想用分期付款的方式购买一辆现价为 10 万元的汽车,如果他首期支付一笔款项后,在今后的 5 年内每月末付款 2000 元即可付清车款。假设每 月复利一次的年名义利率为 8%,试计算他在首期付款的金额为多少。

3

2.2 某人将在 10 年后退休。他打算从现在开始每年初向一种基金存入 2000 元,如果基金的收益率为 6%,试计算他在退休时可以积存多少退休金。 2.3 某人从 2000 年 3 月 1 日起,每月末可以领取 200 元,2010 年 5 月末是最后一次领取。如果每月复利一次的年名义利率为 6%,试计算:(1)年金 的现值;(2)年金的终值;(3)年金在 2005 年 12 月 31 日的值。 2.4 某人在今后的 20 年内,每年初向一基金存入 10000 元。从第 30 年开始,每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为 6%。(1)如果限期领取 20 年,每次可以领取多少?(2)如果无限期地领下去(当他死亡后,由其继承人领取),每次可以领取多少? 2.5 某人留下了 10 万元的遗产,遗嘱规定,该笔遗产前 5 年的利息收入由其长子领取,第二个 5 年的利息由其次子领取,从第 11 年开始,剩余遗产全 部归第三个儿子。如果年实际利率为 8%,试计算三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额? 2.6 如果年实际利率为 i,那么一笔在 36 年内每年末支付 4000 元的年金,与另一笔在 18 年内每年末支付 5000 元的年金将有相等的现值。试计算 1000 元的投资在年实际利率为 i 时,经过多长时间可以翻番。 2.7 借款人原计划在每月末偿付 1000 元,用 5 年的时间还清贷款。每月复利一次的年名义利率为 12%。如果他现在希望一次性支付 60000 元还清贷款, 他应该在何时偿还? 2.8 投资者每月初往基金存入一笔款项,5 年后可以积存到 60000 元。如果前 2 年每次存入 1000 元,后 3 年每次存入 500 元。试计算每月复利一次的名 义利率。 2.9 投资者每年末向一基金存入 2000 元,如果在前 2 年的投资按 6%的年实际利率计算,在后两年的投资按 5%的年实际利率计算,投资者在第 4 年末 可以积存多少价值? 2.10 一项 10 年期的年金,在前 5 年的每季度末付款 1000 元,后 5 年的每季度末付款 2000 元。如果年实际利率为 5%,试计算该项年金的现值。 2.11 一项每 3 年末支付 1 元的永续年金,其现值为 125/91,试确定年实际利率是多少? 2.12 某人将一笔遗产(每年末可以领取的永续年金)捐赠给了四家慈善机构 A,B,C 和 D。在前 n 年,每次领取的款项由 A、B、C 三家平均分享,n 年以后,剩余部分均由 D 领取。试确定当(1 + i) n 为多少时,A、B、C、D 四家在该遗产中享有的现值相等。假设年实际利率为 8%。 2.13 一项永续年金在每月初付款 1 元,如果每年结转四次利息的年名义利率为 4%,试计算该项年金的现值。
4

2.14 一项永续年金在每月初付款 1000 元,另一项永续年金在每季度末付款 3020 元。当年实际利率为多少时,这两项年金具有相同的现值。
2.15 假设一笔 10000 元的贷款,计划从第 5 年开始在每年末偿还 1000 元,直至还清为止。如果年实际利率为 5%,并要求将不足 1000 元的一次非正规 付款提前在前一年末支付,试计算最后一次付款的时间和金额。

批注: 第二版书稿中有错

2.16 一项年金从 2000 年 1 月 1 日开始,每月末支付 100 元,支付 60 次;这项年金的价值等价于在第 K 月末支付一笔 6000 元的款项。每月复利一次的 名义利率为 12%。求 k。

2.17 如果 a = x , a = y , 试将 d 表示为 x 和 y 的函数。

n

2n

2.18 一位受益人获得了一笔人寿保险金,如果用这笔收入去购买一项 10 年期的期末付年金,每年末的付款为$1538;如果购买 20 年期的期末付年金, 则每年末的付款为$1072。两者的年实际利率均为 i,求 i。

2.19 建立一个基金,在前两年每季度之初存入 100,其后两年每季度之初存入 200,若基金的名义利率为 12%,每月复利一次。请计算第四年末的累积值 为多少?

2.20 每半年复利一次的名义利率为 i,每两年末支付 1 元的永续年金的现值是 5.89。试计算利率 i。

2.21 某人以年实际利率 4%借款 100 元,并承诺分 30 次付清,后二十次的付款是前十次的 2 倍。在第十年末,他可以选择一次性付清全部剩余款项 X , 这会使借款人在十年间获得的年实际利率为 4.5%,求 X 。
2.22 投资者在 t=0 和 t=10 时分别向一项基金投资 12,这项基金以年实际利率 i 计息。利息在年末支付,并以 0.75i 的年实际利率进行再投资。在 t=20 时,再投资利息的累积值为 64,求 i。

2.23 如果利息力为常数 δ = 1 ,求 a 的表达式。

1+ t

n

5

2.24 给定利息力 δ = 1 ,0≤ t ≤5,请计算 s 。

1+ 0.5t

5

∫ 2.25

已知

8
a
0t

dt

= 100 。请计算 a 10



2.26

如果 3a (2) n|

=

2a (2) 2n|

=

45s ( 2 ) 1|

,试计算

i

是多少?

2.27 当 t 为多少时,在时刻 t 支付 1 元相当于将这 1 元在时刻 0 与 1 之间连续支付?

2.28

已知 a = 4 , s =12 ,求利息力。

n

n

2.29 证明下列关系式:

(1) am+n

=a m

+ a vm n

(2) sm+n

=s m

+ (1+ i)m s n

(3) am?n

=a m

(1+ i)n ? s n

0<n< m

(4) sm?n

=s m

? a (1+ i)m n

0<n< m

(5)

1

1 ? v10

=1 s

(s 10

+ 1) i

10

∑15
(6) (s ? s ) = s ? s ? 6

t

t

16

10

t =10

(7) an|

<

a(m) n|

<

an|

<

a(m) n|

<

an|



其中 m > 1。

(8)

s 2n

s

s

+

n
s

s

?

3n
s

=1

n

2n

2n

6

(9)

? ??

a n

?d δ

? ??

(1

+

i

)

=

a n ?1

第 3 章 变额年金
3.1 某投资者在三十年内,每年年末向银行投资1。银行在每年末以年利率 j 支付利息。投资者所得利息立即被再投资,再投资利率为年实际利率 j 。这 2
些利息在三十年之间的积累值为 72.88。求 j 。
3.2 某人希望购买一项年金,该项年金在第一年末的付款为 1000 元,以后每年增加 100 元,总的付款次数为 10 次。如果年实际利率为 5%,这项年金的 现价应该是多少?
3.3 一项永续年金在第一年末支付 1,第二年末支付 2。这样增加下去直至第 n 年末支付 n,然后一直维持每年支付 n,试确定此项年金的现值。
3.4 一项永续年金在第四年初支付 2,第六年初支付 4,第八年初支付 6,第十年初支付 8,年实际利率为 10%,计算其现值 X。
3.5 在年实际利率为 i 时下列两项年金的现值均为 X:年金 A 在每年末支付 55,支付 20 年; 年金 B 支付 30 年期,其中前 10 年每年末支付 30,中间 10 年每年末支付 60,最后 10 年每年末支付 90。求 X。 3.6 一项 9 年期年金的一系列付款为 1,2,3,4,5,4,3,2,1,第一次支付在第二年末,当年实际利率为 i 时该年金的现值为 22。一项 10 期年金的一系列付款为 1,2,3,4,5,5,4,3,2,1, 第一次支付在第一年末,计算该年金在年实际利率 i 下的现值。 3.7 一项年金在第一年末付款 1 元,以后每年增加 1 元,直至第 n 年。从第 n + 1 年开始,每年递减 1 元,直至最后一年付款 1 元。试计算该项年金的现 值是多少?
3.8 一项年金在第一年末的付款为 1000 元,以后每年增长 10%,总的付款次数为 10 次。如果年实际利率为 5%,这项年金的现值是多少?

7

3.9 一项期末付年金,每半年的付款为 800,750,700,…,350, i(2) = 0.16 。若 a = A ,试写出此年金的现值表达式(用 A 表示)。 10 0.08
3.10 一项永续年金,第 5 年和第 6 年末的付款为 1,第 7 年和第 8 年末的付款为 2,第 9 年和第 10 年末的付款为 3,如此下去。计算其现值。
3.11 一项永续年金,从今日开始每 6 个月付款一次。第 1 次付款 1,以后每次均比前次增加 3%。若年实际利率为 8%,试确定此项年金的现值。
3.12 一项永续年金,每四年末付款一次。第一次付款在第四年末,付款额为 1。接下来的每一次付款都比上一次多 5。请计算这项永续年金的现值,已知
v4 = 0.75 。
3.13 小张在第一年的每个季度初存款 1,第二年的每季度初存款 2,以此类推,第八年的每季度初存款 8。假设年实际利率为 8%。在最后一笔存款之后的 一个季度末,小张取出这项存款用于购买一项每年末均支付 X 的永续年金。计算 X。
3.14 小张选择如下方式获得他的 20 年期退休金:从现在开始一个月后每月领取 2000,月度退休金每年增加 3%,每月复利一次的年名义利率为 6%。计算 该项退休金的现值。
3.15 每年初向基金中投入一笔资金,持续 10 年。前 5 次投资金额均为 1000,从第 6 次开始以后每年递增 5%。若基金的实际利率为 8%,试确定第 10 年末 的积累值。
3.16 投资者在时刻 1 收到 400 元,时刻 2 收到 450 元,时刻 3 收到 500 元,依此类推,直到最后一次收到 900 元,假设每个时期的实际利率为 5%,请计 算这些付款在时刻零的现值和在时刻 12 的终值。 3.17 一个现金流的付款如下:现在支付 1000 元,1 年后支付 1070 元,2 年后支付 1140 元,3 年后支付 1210 元,依此类推,直到最后一次支付 1700 元。 假设年实际利率为 8%,试计算这个现金流在时刻零的现值和在第 11 年末的终值。 3.18 小张在第 1 年末收到 500 元,在第 2 年末收到 480 元,在第 3 年末收到 460 元,依此类推,直到最后一次收到 400 元,假设年实际利率为 6%,试计 算这个现金流在第 1 年初的现值和在第 20 年末的终值。 3.19 一个现金流如下:现在支付 50 元,此后每年比上一年减少 10 元直到第 4 年末,然后每年的付款又比前一年增加 10 元,直到第 8 年末。假设年实际 利率为 9%,试计算这个现金流在时刻零的现值。
8

3.20 小张需要在第 10 年末筹集到 80000 元,因此他现在投资 X 元,在 1 年末投资 X-500 元,在第 2 年末投资 X-1000 元,直到第 9 年末投资 X-4500 元,假设年实际利率为 6%,试计算 X 的值。
3.21 某银行有一项特殊业务,如果现在存入银行 X 元,银行将在第 5 年末返还 3000 元,在第 6 年末返还 2900 元,在第 7 年末返还 2800 元,依此类推, 最后一次返还在第 15 年末。假设年实际利率为 6%,试计算 X 的值。
3.22 假设在第 5 年末投资 200 元,在第 6 年末投资 400 元,在第 7 年末投资 600 元,依此类推,最后一次投资发生在第 15 年末。年实际利率为 5%,试 计算这些投资在第 20 年末的终值。
3.23 一项连续支付的年金,第 1 年连续支付 100 元,第 2 年连续支付 110 元,第 3 年连续支付 120 元,依此类推,直到第 10 年连续支付 190 元。假设年 实际利率为 4%,试计算此年金在第 10 年的终值。
3.24 有一项连续年金,第 1 年连续支付 100 元,此后每一年比前一年减少 5 元,直到最后一次支付 65 元,假设年实际利率为 7%,试计算此项年金在第 10 年的终值。
3.25 小张现在 25 岁,他希望在他 65 岁到 90 岁之间每年领取养老金,第一次是在他 65 岁生日时领取 15000 元,之后领取的金额每年比前一年增加 3%, 假设年实际利率为 5%,试计算小张现在要投资多少钱才能满足他的养老金领取需求。
3.26 一项 10 年期连续年金,在时刻 t 的支付率为 ρt = 4t + 3 ,假设利息力为δt = 0.03 + 0.04t ,试求此项年金在时刻零的现值。
3.27 一个现金流从时刻 5 到时刻 10 连续付款,在时刻 t 的支付率为 ρt = 1.2t2 + 2t ,时刻零到时刻 5 的利息力为δt = 0.004t + 0.01 ,时刻 5 到时刻 10 的利息力为 δt = 0.0006t2 + 0.001t ,试计算此现金流在时刻零的现值。
3.28 小张从第 1 年到第 7 年每年末投资 Z 元,年实际利率为 3%,然后又将每年末的利息进行再投资,再投资利率为 5%。在第 7 年末的终值为 X 元。小 王从第 1 年到第 14 年每年末投资 Z 元,年实际利率为 2%,然后又将每年末的利息进行再投资,再投资利率为 3.5%。他在第 14 年末的终值为 Y。试计算 Y/X。
3.29 一项期末付永续年金,前 5 年的付款均为 20 元,从第 6 年开始,付款每年比上一年增长 k%。假设年实际利率为 9%,此项永续年金的现值为 335
9

元,试计算 k 的值。

3.30

一项连续年金,其在时刻

t

的支付率为

9k+tk,其中 0



t

≤ 10

,利息力为
δt

=

1 9+t

,在

10

年后,此项年金的价值

25000

元,试计算

k

的值。

3.31 一项 15 年期的年金,在第 1 年末给付 300 元,第 2 年末给付 280 元,第 3 年末给付 260 元,直到给付金额减少到 160 元,然后每年的给付金额保持 160 元不变,直到 15 年末,假设年实际利率为 5%,试计算此项年金在时刻零的现值。

第 4 章 收益率

4.1 某项目的初始投资为 50000 元,并将产生如下净现金流入:第 1 年末 15000 元,第 2 年末 40000 元,第 3 年末 10000 元。求该项目的收益率。

4.2 投资者将 10000 元存入一家银行,期限为 10 年,年利率为 5%。如果在五年半之内取款,银行将扣除取款额的 6%作为罚金。投资者分别在第 4、5、 6、7 年末取款 k。10 年末,这笔存款的余额为 10000 元。求 k。

4.3 一个投资账户的有关信息如下: 时间
余额(投入或支取之前) 投入 支取

2006.1.1 50000

2006.5.1 75000 15000

2006.9.1 90000
25000

2007.1.1 67000

请计算该账户的币值加权收益率和时间加权收益率之差。

4.4 两项基金的有关信息如下:

日期 2003.1.1

基金 X 投入 支取

投入/支取之前的基金余额 50000

10

2003.3.1 2003.5.1 2003.11.1 2003.12.31

24000 36000

55000 50000 77310 43100

日期
2003.1.1 2003.7.1 2003.12.31

基金 Y 投入 支取
15,000

投入/支取之前的基金余额 100,000 105,000 F

基金 Y 在 2003 年的时间加权收益率等于基金 X 在 2003 年的币值加权收益率。求 F。

4.5 某人 2006 年 1 月 1 日在一个账户投资了 100 元。该年的其他投资信息如下:

2006.4.19

2006.10.30

投入之前的余额

90

110

投入金额

X

X

假设该账户在 2007 年 1 月 1 日的余额为 120 元。该账户在 2006 年的币值加权收益率是 0%,时间加权收益率是 y 。计算 y 。

4.6 1 月 1 日,一个投资账户的余额为 100 元。4 月 1 日,余额上升为 120 元,又存入 D 。10 月 1 日,余额为 100 ,又取出 50 元。第 2 年的 1 月 1 日,
账户余额为 65 元。假设该账户的时间加权收益率为 0%,请计算币值加权收益率。

4.7 2008 年 1 月 1 日,某投资者向基金投入 1000 元,第二笔投资发生在 2008 年 7 月 1 日,直至 2009 年 1 月 1 日,基金的账面余额为 2000 元。已知该 基金在过去一年的时间加权收益率为 10%,币值加权收益率为 9%,求投资者在 2009 年前六个月获得的年实际收益率。

4.8 某账户在 1 月 1 日的账面余额为 75 元,12 月 31 日的账面余额为 130 元。每月末存入该账户的资金为10 元,并分别在 2 月 28 日,6 月 30 日,10
月 15 日和 10 月 31 日从账户中取走了 5 元、25 元、8 元和 35 元。求该账户在这一年中的币值加权收益率。

4.9 某投资者于 1 月 1 日在一个账户中投资 50 元,下表为该投资账户一年中的余额变化:

日期

投资前的余额

3 月 15 日

40

新增投资额
20

删除的内容: 2007

11

6月1日

80

80

10 月 1 日

175

75

6 月 30 日,账面余额为157.50 元,12 月 31 日,账面余额为 X 。如果把前六个月的时间加权收益率用年实际收益率表示,则其等于全年的时间加权

收益率。求 X 。

4.10 某投资基金在年初的余额为 20000 元。在每季度末,收到一笔新增投资 1000 元。在这些现金流发生之后的基金价值为 23000,24800,25000 及 25100 元。请计算该基金的时间加权收益率。

4.11 一个投资者购买了一项 5 年期的金融产品,该产品满足下述条件:(1) 该投资者在 5 年内的每年初可以获得 1000 元;(2) 这些款项将按年利率 4% 计息,并在每年末,所获利息又以 3%的年利率进行再投资。如果该投资者需要获得 4%的年收益率,请计算该投资者应该支付的购买价格。

4.12 某投资者在 20 年内每年初向银行存入 500 元,银行以 i% 的年利率在每年末支付利息。这些利息以 (i / 2)% 的年利率进行再投资。整个投资在 20 年中的年实际收益率为 8%。请计算 i 。

4.13 投资者 A 以年利率 10%投资 1000 元,期限为 10 年。每年末支付利息,利息以年利率 i 进行再投资。10 年末,利息的积累值为 1500 元。投资者 B 在 20 年的每年末投资 150 元,年利率为 12%。每年末支付利息,利息以年利率 i 进行再投资。求 20 年后 B 的利息积累值。

4.14 某投资者的初始投资为 12,10 年末又投资 12,这些投资以年实际利率 i 计息。利息按年度支付,并以 0.75i 的年实际利率进行再投资。在 20 年末, 再投资利息的积累值为 64 元,求 i 。

4.15 某投资人分别在 1999 年, 2000 年和 2001 年的年初投资了 1000 元。请根据下表的数据计算该投资者在 2001 日历年度所获得的利息。

原始投资的

投资年度利率

投资组合利率 投资组合利率的

日历年度 y

i 1y

i 2y

i y+2

日历年度 y + 2

1999

9.00%

10.00%

11.00%

2001

2000

7.00%

8.00%

2001

5.00%

4.16 假设市场的无风险利率为 5%,债券 A 的面值为 1000 元,期限为一年,违约概率为 1%,如果发行人希望按面值发售债券,试计算该债券的息票率 至少应为多少?如果投资者要求购买该债券的期望收益等于 8%的无风险利率所产生的收益,试计算息票率应为多少?

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第 5 章 债务偿还
5.1 一笔贷款在 n 年内分期偿还,每年末的偿还金额为 X 元,n > 5,且已知: (1)第一期付款的利息金额为 604.00 元。 (2)第三期付款的利息金额为 593.75 元。 (3)第五期付款的利息金额为 582.45 元。 试计算 X。
5.2 一笔 35 年期的贷款以等额分期方式偿还,每年末偿还一次。第 8 次分期付款的利息金额为 135 元。第 22 次分期付款的利息金额为 108 元。请计算 第 29 次分期付款的利息金额。
5.3 一笔 10000 元的 30 年期贷款,年实际利率为 5%,以等额分期方式偿还,每年末偿还一次。试求分期付款中利息金额最接近于付款金额三分之一的 年份。
5.4 一笔 10 年期的贷款,在每年末偿还 R 元。已知: (1)在头 3 年中,偿还的本金金额总和为 290.35。 (2)在最后 3 年中,偿还的本金金额总和为 408.55。 请计算在整个偿还期内,支付的利息金额为多少。
5.5 按年实际利率 i 偿还一笔 1000 元的贷款。已知: (1)在第 6 年末偿还第一笔款项。 (2)然后每年末等额偿还一次,在第 15 年末可以偿清这笔贷款(即一共偿还 10 次)。 (3)在第 10 年末的付款结束后,未偿还本金余额为 908.91。 试计算第 5 年末的未偿还本金余额。
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5.6 一笔 20000 元的贷款,期限为 4 年,年实际利率为 8%。借款人必须在每年末偿还 1600 元的利息,并建立一笔偿债基金用于清偿贷款本金,偿债基 金的利率与贷款利率相同。试计算下列各项:
(1)借款人第 2 年末向偿债基金的储蓄额; (2)偿债基金在第 2 年末的余额; (3)第 2 年末的贷款净额。
5.7 假设偿债基金的年实际利率为 7%,重新计算 5.6 题的有关结果。
5.8 有两笔贷款的本金均为 20000 元,期限均为 4 年,但偿还方式不同。第一笔贷款采用偿债基金方式,贷款利率为 8%,偿债基金利率为 7%。第二笔 贷款采用等额分期偿还方式。试计算当第二笔贷款的利率为多少时,两笔贷款对借款人而言是等价的。
5.9 一笔 10 年期的贷款在每年末偿还一次,年贷款利率为 5%。第一次的付款为 200 元,后来的每笔付款均比前一年多 10 元。请计算第 5 次付款的利 息是多少。
5.10 一笔 125000 元的 30 年期贷款在每月末偿还一次,每年的月偿还金额相等。每一年的月偿还额较前一年高出 2%。第一年的月偿还额为 R 元,年实 际利率为 5%,求 R。
5.11 银行有一笔10000 元的 20 年期贷款,该笔贷款在每年末偿还1000 元。如果银行把每次的偿还额立即按 5% 的实际利率进行再投资,试确定银行在 这 20 年的实际年收益率。
5.12 一笔金额为 A 的 n 年期贷款,在每年末偿还 1,年利率为 i。若所有分期付款的本金部分的现值之和为 P。求 (Ia) 的表达式。 n
5.13 某人有一笔 55000 的抵押贷款,每月末需偿还 500.38,共需偿还 n 年。每月复利一次的年名义利率为 i。借款人因故没有偿还第一期付款,但其 余各笔均按时偿还了。由于没有偿还第一期付款,故在第 n 年末还欠 3077.94。试计算利率 i。
5.14 某人自 2000 年 1 月 1 日起以年实际利率 5%偿还一笔 20000 元的 30 年期贷款,每年末偿还一次。该人自 2010 年 1 月 1 日起又以年实际利率 7%偿 还另一笔 10000 元的 20 年期贷款,也在每年末偿还一次。试计算在 2010 年偿还的两笔贷款的本金之和。
5.15 一笔 50000 的贷款分 10 次按年偿还。第一笔付款 X 在贷款后 6 个月末支付,以后每隔一年偿还一次,每次的偿还金额均为 2X。假设前 4.5 年的 年实际利率是 5%,随后变为 3%。试计算 X。
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5.16 一笔 1000 元的贷款将以每月复利一次的名义利率 12%计息,在 6 个月内的每月末分期偿还。前三次每次支付 X,后三次每次支付 3X。试求第三次 支付的本金金额与第五次支付的利息金额。
5.17 一笔 1000000 元的 30 年期贷款将按月等额偿还,每月末偿还一次,每月复利一次的名义利率为 X%。在第 69 期的还款额中,利息金额占 94.473%, 在第 70 期的还款额中,利息金额占 94.418%。 试求 X。
5.18 一笔 1000 元的 30 年期贷款按年分期偿还,每年末偿还一次,年实际利率为 8%。前 10 期的偿还金额均等于应付利息,第 11 至 20 期的偿还金额等 于应付利息的两倍,后 10 期的偿还金额等于 X。试求 X 的值。
5.19 一笔 15 年期的贷款,年还款额为 1000 元,年实际利率为 5%。在第 5 次还款之后调整了偿还方式。调整后,第 6 次偿还 800 元,第 7 次偿还(800+K) 元,以后每次付款比前一次均增加 K,还款期不变。求调整后的最后一次偿还额。
5.20 两笔金额相等的 30 年期贷款,均以 8%的利率按年分期偿还,每年末偿还一次。贷款 L 将等额分期偿还。贷款 N 每期偿还的本金金额相等,同时 根据未偿还本金余额支付相应的利息。在第 t 年末,贷款 L 的偿还额首次超过贷款 N,求 t。
5.21 一笔 8000 元的 10 年期贷款按年偿还,每年末偿还一次,年利率为 7%。偿还 4 次以后,借款人要求分 4 次偿还剩余的债务。新的偿还方式使贷款 人在整个 8 年期获得了 8%的年收益率。试确定调整偿还方式以后,借款人增加了多少付款。
5.22 一笔 100000 元的 30 年期贷款,偿还方式满足下述条件: (1)第一年末偿还 X 元。 (2)后来的 19 年,每年末的偿还金额要比上一年增加 100 元。在最后十年,各年的偿还额保持在前一年的水平不变。 (3)年实际利率为 5%。 求 X。
5.23 某人从银行获得一笔贷款,期限为 4 年,年实际利率为 8%。借款人用偿债基金方法偿还,每年末支付的总金额(包括当期的利息和向偿债基金的 储蓄两部分)依次为 2000 元,3000 元,4000 元,5000 元,偿债基金的年实际利率为 7%。试计算贷款本金为多少?
5.24 一笔 10000 元的贷款,期限为 5 年,年实际利率为 8%。借款人必须在每年末向贷款人支付当年的利息 800 元,并每隔半年向偿债基金储蓄一次。 该偿债基金每年结转 4 次利息的年名义利率为 6%,试计算下列各项:
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(1)借款人第 2 年末向偿债基金的储蓄额; (2)偿债基金在第 2 年末的余额; (3)第 2 年末的贷款净额。
第 6 章 债券和股票
6.1 债券的面值为 1000 元,年息票率为 5%,期限为 5 年,到期按面值偿还。假设现行的市场年利率为 6%,试计算下列各项: (1)债券的价格 (2)第二年末的账面值 (3)第二年的利息收入
6.2 债券的面值为 1000 元,息票率为 6%,期限为 5 年,到期按面值偿还。投资者所要求的收益率为 8%,试计算债券在购买 9 个月后的价格和账面值。
6.3 债券的面值为 1000 元,期限为 5 年,到期按面值偿还,年息票率为 6%。如果发行价格为 950 元,试计算该债券的收益率。 6.4 假设 6.3 题中的息票收入只能按 5%的利率投资,试重新计算该债券的收益率。 6.5 一种面值为 100 的 100 年期债券,到期按面值偿还。已知该债券第一个十年的年息票率为 10%,第二个十年的息票率为 9%,第三个十年的息票率 为 8%,…,最后一个十年的息票率为 1%。如果年收益率为 5%时,求该债券的购买价格。
6.6 一种在年末分红的股票,当年的利润为 J,利润在今后的每一年内都会以 10%的速度增长,在接下来的五年内没有分红,五年后将每年利润的 50% 分红,如果实际收益率为 21%,请计算投资者的理论购买价格。
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6.7 一家公司利润的季度增长率为 2%,每季度该公司打算拿出利润的 30%作为股票的分红。在某个季度初,一个投资者购买了此公司的股票以获得 10% 的年收益率(每半年复利一次)。该股票的第一次分红是在该季度末,分红金额为 3.00。请计算该股票的理论价格。
6.8 一种 n 年期附有 8%年度息票率的债券,面值为 1000。此债券在第三年末的账面值为 1099.84,在第五年末的账面值为 1082.27。求此债券的价格。
6.9 已知下述债券有相同的收益率且面值均为 1000: (1)一种 10 年期债券,年息票率为 8%,每半年支付一次息票,债券的折价为 X (2)一种 10 年期债券,年息票率为 9%,每半年支付一次息票,债券的溢价为 Y (3)一种 10 年期债券,年息票率为 10%,每半年支付一次息票,债券的溢价为 2X 请计算 Y 的值。
6.10 一个卖空的投资者以每股 10 的价钱出售 500 股股票。一年后,每股的价钱降到 7.50,此时该投资者补进 500 股该股票。假设交易保证金为 50%, 保证金的利率为 5%。该股票在每季度每股分红 0.1。请计算该投资者卖空的收益率。
6.11 某投资者在年初购买了两种债券。债券 X 是 14 年期的债券,面值为 1000,年息票率为 10%,年收益率为 8%。债券 Y 是 14 年期的债券,面值为 F, 年息票率为 6%,购买价格为 P,年收益率也为 8%。在第六年,债券 X 的账面调整值等于债券 Y 的账面调整值(注:这里的账面调整值是指年初账面值 和年末账面值之差的绝对值),请计算 P 的值。
6.12 在 2002 年 1 月 1 日购买了一支普通股票,它将在 2011 年 12 月 31 日之前每年末分红 15,从 2012 年开始,分红每年增加 K%,K < 6。在年收益率 为 8%时的理论购买价为 200.90,求 K 的值。
6.13 一项面值为 1000 元的债券,年息票率为 8%,每半年支付一次息票,到期偿还 1100 元。以价格 P 购买此债券将产生 6%的年收益率(每半年复利 一次)。偿还值的现值为 190,求价格 P。
6.14 三种债券有同样到期偿还值和到期时间。第一种债券的年息票为 40,以价格 P 出售;第二种债券的年息票为 30,以价格 Q 出售;第三种债券的年 息票为 80。所有的价格计算都基于相同的收益率,并且所有的息票具有相同的支付频率。求第三种债券的价格。
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6.15 一项 10 年期债券的面值为 1000 元,年息票率为 r, 每年末支付一次息票,偿还值为 1100。如果以价格 P 出售,将产生 4%的年实际收益率;如果
以价格(P ? 81.49)出售,将产生 5% 的年实际收益率;;如果以价格 X 出售,将产生 r 的年实际收益率。请计算 X。
6.16 债券的面值为 10000 元,年息票率为 6%,每半年末支付一次息票。债券在到期前 2 年零 4 个月被出售。售价将使购买者获得 4%的年名义收益率 (每半年复利一次)。请确定理论方法和半理论方法计算的债券价格差异。
6.17 债券的期限为 20 年,面值为 1000 元,在每年末支付息票,到期偿还 1050。如果以价格 P 出售可以产生 8%的年实际收益率。第一次支付的息票为 50,以后每次支付的息票比上一次增长 3%。求价格 P。
6.18 投资者购买了一个面值为 1000 元的 10 年期债券,息票率为 8%,每半年末支付一次息票。如果债券在到期时按面值偿还,将产生 7%的名义收益 率(每半年复利一次)。如果债券在第 5 年末被赎回,为了保证产生相同的收益率,最小的赎回值为 X。求 X。
第 7 章 远期、期货和互换
7.1 假定 X 公司的股票是 60 元并且不派发股利,年实际利率是 10%。请画出该股票多头的回收图和盈亏图。并请验证如果 1 年后的股票价格是 66 元, 则盈亏为零。 7.2 应用 7.1 题的信息,画出该股票空头的回收图和盈亏图。请验证当一年后的价格是 66 元时,盈亏为零。 7.3 假定 A 公司的股票今天是 105 元,并且预期每季度派发股利 1.70 元,第一次是在 3 个月以后,最后一次恰在交割股票前。无风险连续复利利率是 1.5%。如果要求现在支付远期合约的价格,请计算该股票一年期的远期价格(即预付远期的价格)是多少? 7.4 如果股票的价格是 105 元,每日复利一次的年名义收益率是 2%,日股利是多少?如果我们在年初持有一单位股票,假设股利收益全部再投资于该 股票,年末将会持有多少单位的股票?如果想在年末持有一单位股票,那么在年初我们应该投资多少? 7.5 股票的价格是 70 元,连续复利率是 6%。(1)如果股利为零,6 个月期的远期价格是多少?(2)如果 1 年期的远期价格是 72 元,年度的连续股利
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收益率是多少? 7.6 X 公司股票的现货价格是 105 元,无风险连续复利利率是 6%,该股票在未来一年没有分红。针对下列两种情况,你将如何进行套利?
(1)假定你观察到 6 个月的远期价格是 115 元。 (2)假定你观察到 6 个月的远期价格是 107 元。 7.7 如果 1 年期和 2 年期的远期石油价格分别为 23 美元/桶和 24 美元/桶,且 1 年期和 2 年期的即期利率分别是 5% 和 5.5%。则 2 年期的互换价格是多 少? 7.8 如果 1 年期、2 年期和 3 年期的石油远期价格分别是每桶 22 美元、23 美元和 24 美元。即期利率分别为:1 年期 5%,2 年期 5.5%,3 年期 6%。请 计算:(1)3 年期的互换价格是多少?(2)开始于一年后的一个 2 年期的互换价格是多少? 7.9 考虑 7.8 中 3 年期的石油互换。如果一个交易商支付固定价格并收到浮动价格。在这个仓位中,什么样的石油远期合约将对石油价格风险套保?请 验证锁定的净现金流的现值为零。 7.10 在 7.9 题中,如果作为固定价格的支付者,在第一次互换结算后相对于远期价格多支付了多少?第二次互换结算后累积多支付了多少?第三次后 呢?
第 8 章 期权
8.1 假定一份 1 年期的远期合约,价格是 60 元。1 年后当股票价格分别是 50 元、55 元、60 元、65 元和 70 元时的回收各是多少? (2)假定买进一份 1 年期的执行价格是 60 元的看涨期权,如果 1 年后标的资产具有和上面同样的价格时,该看涨期权的回收是多少?
8.2 (1)假定在远期价格是 60 元时做空一份远期,那么 1 年后当股票价格分别是 50 元、55 元、60 元、65 元和 70 元时的回收各是多少? (2)假定买进一份 1 年期的执行价格是 60 元的看跌期权,如果 1 年后标的资产具有和上面同样的价格,该看跌期权的回收是多少?
8.3 假定 X 公司的股票不派发股利且现在的价格是 60 元。1 年后交割的远期价格是 63 元。如果买进股票或远期合约都没有什么好处,那么 1 年期的实
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际利率是多少?

8.4 假定股票的当前价格是 105 元,年实际利率为 6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图: (1)期权费为 8.57 元,执行价格为 100 元的看涨期权。 (2)期权费为 5.67 元,执行价格为 105 元的看涨期权。 (3)期权费为 3.53 元,执行价格为 110 元的看涨期权。

8.5 假定股票的当前价格是 105 元,年实际利率为 6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图: (1)期权费为 0.98 元,执行价格为 100 元的看跌期权。 (2)期权费为 2.71 元,执行价格为 105 元的看跌期权。 (3)期权费为 5.20 元,执行价格为 110 元的看跌期权。

8.6 以 100 元买进 A 公司股票,同时买进一个执行价格为 105 元的 1 年期的看跌期权,看跌期权的期权费为 7.20 元,实际年利率是 5%。试计算此仓位 的回收和盈亏。

8.7 以 105 元做空 A 公司的股票,并卖出一个执行价格为 105 元的 1 年期的看跌期权,该期权的期权费为 7.20 元,实际年利率是 5%。试计算此仓位回 收和盈亏。

8.8 年实际利率是 5%,A 公司股票的 1 年期的远期价格是 105 元,1 年后到期的股票的期权费如下表:

执行价格

看涨期权

看跌期权

95

10.45

0.93

100

8.11

3.35

105

7.20

7.20

110

5.12

9.88

115

3.60

13.12

假定以 100 元买进 A 公司的股票,并买进一个执行价格为 95 元的看跌期权,构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证:用 90.48 元购买零息债券,

并买进一个执行价格为 95 元的看涨期权,可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。

8.9 应用 8.8 题的有关数据。假定以 100 元做空 A 公司的股票,并买进一个执行价格为 95 元的看涨期权,请构造这个仓位的回收和盈亏表。请验证: 借入 90.48 元,并买进一个执行价格为 95 元的看跌期权,可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。

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8.10 应用 8.8 题的有关数据。假定以 100 元做空 A 公司的股票,并买进一个执行价格为 105 元的看涨期权,请构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证: 借入 100 元,并买进一个执行价格为 105 元的看跌期权,可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。
8.11 应用 8.8 题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收:(1)以 100 元买进 A 股票;(2)买进一个执行价格为 95 元的 A 股票的看涨 期权,卖出一个执行价格为 95 元的看跌期权,并贷出 90.48 元。
8.12 应用 8.8 题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收:(1)以 100 元做空 A 股票;(2)卖出一个执行价格为 105 元的 A 股票的看涨 期权,买进一个执行价格为 105 元的看跌期权,并借入 100 元。
8.13 应用 8.8 题的有关数据。假定 1 年期的看涨期权的期权费是 9.31 元,在相同执行价格上的看跌期权的期权费是 1.69 元,试求这个执行价格是多少?
8.14 应用 8.8 题的有关数据。买进一个执行价格为 95 元的股票看涨期权,并卖出一个执行价格为 100 元的股票看涨期权,请构造该投资策略的回收图 和盈亏图。请验证:买进一个执行价格为 95 元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为 100 元的看跌期权可以得到相同的盈亏。看涨期权和看跌期权的差 价组合的回收之差是如何产生的?
8.15 应用 8.8 题的有关数据。买进一个执行价格为 105 元的股票看涨期权,并卖出一个执行价格为 95 元的股票看涨期权,请构造该投资策略的回收图 和盈亏图。请验证:买进一个执行价格为 105 元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为 95 元的看跌期权可以得到相同的盈亏。这些仓位的初始成本之差 是多少?
8.16 应用 8.8 题的有关数据。假定买进一个执行价格为 95 元的看跌期权和卖出一个执行价格为 105 元的看涨期权。画出这个仓位的盈亏图。净期权费 是多少?如果要在保持看跌期权的执行价格为 95 元时构造一个零成本的衣领,应该如何改变看涨期权的执行价格?
8.17 应用 8.8 题的有关数据。如果投资 100 元在 A 股票上,买进一个执行价格为 95 元的看跌期权并卖出一个执行价格为 115 元的看涨期权。画出这个 仓位的盈亏图。如何变化可以实现一个零成本衣领?
8.18 应用 8.8 题的有关数据。计算并画出下列仓位的盈亏图: (1) 执行价格为 105 元的 A 股票跨式; (2) 签出执行价格为 95 元的 A 股票跨式; (3) 同时执行(1)和(2)交易。
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8.19 应用 8.8 题的有关数据。买进一个执行价格为 95 元的看涨期权和卖出一个执行价格为 100 元的看涨期权,卖出一个执行价格为 95 元的看跌期权和 买进一个执行价格为 100 元的看跌期权。 (1) 验证这一系列交易不存在 A 股的价格风险; (2) 这个仓位的初始交易成本是多少? (3) 1 年后该仓位的价值是多少?
8.20 应用 8.8 题的有关数据。计算下列比率差价组合的盈亏: (1) 买进一个执行价格为 95 元的看涨期权,卖出两个执行价格为 105 元的看涨期权。 (2) 买进两个执行价格为 95 元的看涨期权,卖出三个执行价格为 105 元的看涨期权。 (3) 买进 n 个执行价格为 95 元的看涨期权和卖出 m 个执行价格为 105 元的看涨期权,使得该仓位的期权费为零,这时 n/m 满足什么条件?
8.21 应用 8.8 题的有关数据。计算并分别画出下列交易的盈亏图: (1) 买进一个 95 元的看涨期权,卖出两个 100 元的看涨期权,买进 105 元的看涨期权。 (2) 买进一个 95 元的看跌期权,卖出两个 100 元的看跌期权,买进 105 元的看跌期权。 (3) 买进股票,买进 95 元的看跌期权,卖出两个 100 元的看涨期权,买进 105 元的看涨期权,其中股票的价格是 90.47 元。 从盈亏图中可以看出上述交易组合是哪种衍生产品?
8.22 假设股票没有红利支付,股票的现价为 50 元,该股票欧式看跌期权的执行价格为 50 元,有效期为 3 个月,无风险年收益率为 10%,年波动率为 30%。请计算该股票欧式看跌期权的价格。
8.23 在 8.24 题中,如果股票在两个月后预期支付的红利为 1.5 元,请重新计算该股票欧式看跌期权的价格。
8.24 一个无红利股票的欧式看跌期权,有效期为 3 个月,目前的股票价格和执行价格均为 50 美元,无风险年利率为 10%,波动率为每年 30%,请按时 间间隔为一个月来构造二叉树模型,为期权定价。
8.25 一个两个月期基于某股票指数的欧式看涨期权,执行价格为 500,目前的指数为 495,无风险年利率为 10%,指数红利率为每年 4%,波动率为每 年 25%。构造一个四步(每步为半个月)的二叉树树图,为期权定价。
22

第 9 章 利率风险
9.1 假设 n 年期债券的年名义息票率等于年名义收益率,均为 y(m) ,请证明该债券的马考勒久期为 MacD = a(m) 。 n
9.2 某 15 年期的零息债券到期支付 1000,该债券每月复利一次的年名义收益率为 12%。试计算该债券的修正久期。 9.3 假设年实际收益率为 10%,试计算 5 年期零息债券的修正久期。 9.4 已知年息票率为 5%的 10 年期债券的年实际收益率为 6%, 试计算该债券的修正久期。 9.5 已知年息票率为 6%的四年期债券的实际收益率为 3%,试计算该债券的修正久期。 9.6 某 20 年期的零息债券到期支付 1000,该债券的年名义收益率为 12%,每年复利 2 次。试计算该债券的修正久期。 9.7 某 2 年期债券年息票率为 10%,每半年付息一次,债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为 12%,每年复利 2 次,试计算该债券的修正久 期。 9.8 某 30 年期债券年息票率为 8%,每半年付息一次,债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为 8%,每年复利 2 次。试计算该债券的修正久 期。 9.9 已知当收益率为 8%时,某 20 年期债券的价格为 125.31。当收益率下降为 7.75%时,该债券的价格将上升至 127.64。当收益率上升至 8.25%时,该 债券的价格将降为 122.95。试计算该债券的有效久期。 9.10 已知某 10 年期债券的价格为 75.98,年息票率为 6%,收益率为 8%,马考勒久期为 8.517。试计算当收益率下降为 7.85%时该债券的价格。 9.11 某 5 年期债券年息票率为 8.0%,每半年付息一次。已知现在的收益率为 7.0%时,债券的价格为 104.876。当收益率上升 50 个基点时,该债券的价 格将下降为 100.214.。当收益率下降 50 个基点时,该债券的价格将上升为 109.573。试计算该债券的有效久期和有效凸度。
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9.12 利用习题 9.11 计算得到的有效久期和有效凸度,试估计当收益率上升 100 个基点时债券的新价格。

9.13 一项永续年金在每年年末支付 1,年实际收益率为 6%,试计算该永续年金的价格、修正久期和凸度。

9.14 某 10 年期债券的修正久期为 8.67,凸度为 43.51。试估计当债券价格上升 50 个基点时,债券价格变化的百分比。

9.15 某保险公司已确认在 10 年末将有一笔 15000 元的债务支出,为了偿还这笔负债,该公司计划将 3473.95 元投资于 5 年期的零息债券,将 3473.95 元 投资于 15 年期的零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为 8%。请问该公司的投资策略是否能达到免疫的目的。

9.16 某保险公司已确认在 5 年末将有一笔 20000 的债务支出,为了偿还这笔负债,该公司可供选择的投资方案只有购买 4 年期零息债券和 10 年期零息 债券。所有债券和负债的年实际收益率均为 10%。为了达到免疫的目的,该公司应如何分配在这两种债券上的投资?

9.17 公司未来负债的现金流如下表所示:

年度

1

2

3

4

5

负债的现金流

1794

6744

144

3144

824

可供该公司投资的资产如下:

(1)年息票率为 5%的 1 年期债券;

(2)年息票率为 10%的 2 年期债券;

(3)年息票率为 4%的 4 年期债券;

(4)年息票率为 3%的 5 年期债券;

每种债券的面值均为 100 元,年实际收益率为 5%。

如果该公司打算通过现金流匹配策略管理利率风险,请计算应该如何购买这三种债券?

24

第 10 章 利率的期限结构

10.1 假设各债券的面值均为 100 元,收益率与息票率如下表所示,请计算各债券的价格。

到期日

年息票率

实际年收益率

1

11.00%

8.00%

2

5.00%

9.00%

3

15.00%

10.00%

10.2 给定以下各年的即期利率。请计算年息票率为 10%,面值为 100 元的 3 年期债券的价格。 时间 实际年即期利率

1

5.000%

2

6.000%

3

8.000%

10.3 根据题 10.1 的收益率曲线,计算 1 年、2 年和 3 年期的年即期利率。

10.4 根据题 10.3 计算的即期利率,请计算可应用于第 1、2、3 年的远期利率 f0 、 f1 、 f2 。

10.5 假设 5 年期的即期利率为 r5 = 8%,请根据下表的收益率曲线,计算每年支付 40 元的 5 年期期初付年金的现值。 到期日 年息票率 年实际收益率

1

5.000%

2

7.000%

3

8.000%

4

6.000%

5

10.000%

4% 5% 5.5% 6% 7%

10.6 给定以下远期利率表。求年息票率为 10%,面值为 100 元的 3 年期债券的价格。

t

ft

0

7%

25

1

5%

2

10%

10.7 由下表所示的平价收益率曲线,计算可应用于第 1、2、3 年的远期利率 f0 , f1, f2 。
到期日 年息票率 实际的年收益率

1

4.000%

2

6.000%

3

8.000%

5.000% 7.000% 9.000%

10.8 根据下表给定的远期利率,请计算 1 年、2 年和 3 年期的即期利率。

t

ft

0

6.000%

1

5.000%

2

10.000%

10.9 下表是 3 个支付年息票债券的收益率,年息票率未知。请计算 1 年期、2 年期和 3 年期的即期利率。

到期日

年息票率 实际年收益率

1

x

20%

2

y

20%

3

z

20%

10.10 利用题 10.9 的信息,计算可应用于第 1,2,3 年的远期利率 f0 、 f1 、 f2 。

10.11 支付年息票债券的价格如下表所示,请计算年息票率为 15%,面值为 100 元的 3 年期债券的价格。

到期日

年息票率 100 元面值债券的价格

1

10.000%

106

2

5.000%

95

3

9.000%

102

10.12 假设 5 个零息票债券的价格如下表所示,请确定适用于 3 到 4 年的实际年远期利率 f3 的值。

26

到期日 每 100 元面值债券的价格

1

96

2

91

3

82

4

75

5

65

10.13 假设 1 年期的即期利率为 5%。适用于 1 到 2 年的远期利率 f1 为 7%。支付年息票的 3 年期的平价债券的实际年收益率为 8%。求 3 年期的即期利率。

10.14 年息票率为 6%的 2 年期债券的实际年收益率为 10%,其面值为 100 元。1 年期的即期利率为 7.0%,2 年期的即期利率为 9.0%。请确定一个投资策略, 使得通过买入或卖出 1 个该 2 年期债券获得无风险的套利收益。

10.15 年息票率为 12%的 1 年期债券的实际年收益率为 12%。年息票率为 10%的 2 年期债券的实际年收益率为 15%。各债券的面值均为 100 元。
(1)请计算 2 年期的即期利率 r2。 (2)某投资者希望按(1)中计算的即期利率 r2 投资 1000 元,投资期限为两年。假设投资者无法找到愿意接受该笔投资的机构,请问如何通过买 入或卖出上述 1 年期和 2 年期的债券实现投资者的目标收益。

10.16 假设题 10.15 中的投资者找到了愿意接受 1000 元两年期投资的机构,且该机构愿意为这项两年期投资支付 20%的利率。由题 10.15 计算的 2 年期 即期利率,投资者意识到存在套利机会。投资者找不到一个机构愿意按题 10.15 计算的 2 年期即期利率提供贷款,但可以买入或卖出前述的 1 年期和 2 年 期债券。请确定一个投资策略,使得投资者可以获得 35 元的套利收益。

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