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【优教通,备课参考】2014年高中数学同步教案:第2章 算法初步 算法的概念(北师大版必修3)


算法的概念
教学目标: (1)了解算法的含义,体会算法的思想。 (2)能够用自然语言叙述算法。 (3)掌握正确的算法应满足的要求。 (4)会写出解线性方程(组)的算法。 (5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 教学重点: 算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。. 教学难点: 把自然语言转化为算法语言。. 学法: 1、写出的算法,必须能解决一类问题(如:判断一个整数 n(n>1)是否为质数;求任意一 个方程的近似解;??),并且能够重复使用。 2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。 3、要保证算法正确,且计算机能够执行,如:让计算机计算 1×2×3×4×5 是可以做到 的,但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。 教学过程 一、章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系,它们的基础都是“算法”。 算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算 法概念。但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。如,做四则运算要先乘 除后加减,从里往外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具 体体现。广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使 用说明书是操作洗衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。在数学中,主要研究计算机能实现 的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。(古代的计算工具: 算筹与算盘. 20 世纪最伟大的发明:计算机,计算机是强大的实现各种算法的工具。) 例 1:解二元一次方程组:

? x ? 2 y ? ?1 ? ?2 x ? y ? 1

① ②

分析:解二元一次方程组的主要思想是消元的思想,有代入消元和加减消元两种消元的
-1-

方法,下面用加减消元法写出它的求解过程. 解:第一步:② - ①×2,得: 5y=3; 第二步:解③得 y ? ③

3 ; 5

第三步:将 y ?

3 1 代入①,得 x ? . 5 5

学生探究:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善? 老师评析:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的 解法。下面写出求方程组的解的算法: 例 2:写出求方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 ?a 2 x ? b2 y ? c 2

① ②

?a1 b2 ? a 2 b1 ? 0? 的解的算法.
③ 第二步:解

解:第一步:②× a1 - ①×a2,得: ?a1 b2 ? a 2 b1 ? y ? a1 c 2 ? a 2 c1 ③得 y ?

a 1 c 2 ? a 2 c1 a c ? a 2 c1 c ?b y ;第三步:将 y ? 1 2 代入①,得 x ? 1 1 a1 b2 ? a 2 b1 a1 b2 ? a 2 b1 a1

算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或 步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应 当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一 个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一 步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性: 求解某一个问题的解法不一定是唯一的, 对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要 经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 例题讲评: 例 3、任意给定一个大于 1 的整数 n,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判断. 分析:(1)质数是只能被 1 和自身整除的大于 1 的整数. (2)要判断一个大于 1 的整数 n 是否为质数,只要根据质数的定义,用比这个整数小
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的数去除 n,如果它只能被 1 和本身整除,而不能被其它整数整除,则这个数便是质数. 解:算法:第一步:判断 n 是否等于 2.若 n=2,则 n 是质数;若 n>2,则执行第二步. 第二步:依次从 2~(n-1)检验是不是 n 的因数,即整除 n 的数.若有这样的数,则 n 不 是质数;若没有这样的数,则 n 是质数. 说明:本算法是用自然语言的形式描述的.设计算法一定要做到以下要求: (1)写出的算法必须能解决一类问题,并且能够重复使用.(2)要使算法尽量简单、步骤尽 量少.(3)要保证算法正确,且计算机能够执行.利用 TI-voyage200 图形计算器演示:(学生 已经被吸引住了) 例 4、.用二分法设计一个求方程 x ? 2 ? 0 的近似根的算法.
2

分析:该算法实质是求 2 的近似值的一个最基本的方法. 解:设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过 0.005,算法: 第一步:令 f ? x ? ? x 2 ? 2 .因为 f ?1? ? 0, f ?2? ? 0 ,所以设 x1=1,x2=2. 第二步:令 m ?

x1 ? x 2 ,判断 f(m)是否为 0.若是,则 m 为所求;若否,则继续判断 2

f ? x1 ? ? f ?m ? 大于 0 还是小于 0.
第三步:若 f ? x1 ? ? f ?m ? ? 0 ,则 x1=m;否则,令 x2=m. 第四步:判断 x1 ? x2 ? 0.005是否成立?若是,则 x1、x2 之间的任意值均为满足条件的 近似根;若否,则返回第二步. 练习 1:写出解方程 x -2x-3=0 的一个算法。 练习 2、求 1×3×5×7×9×11 的值,写出其算法。 练习 3、有蓝和黑两个墨水瓶,但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中,黑墨水错装在 了蓝墨水瓶中,要求将其互换,请你设计算法解决这一问题。 小结 1、算法概念和算法的基本思想 (1)算法与一般意义上具体问题的解法的联系与区别; (2)算法的五个特征。 2、利用算法的思想和方法解决实际问题,能写出一此简单问题的算法
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3、两类算法问题 (1)数值性计算问题,如:解方程(或方程组),解不等式(或不等式组),套用公式 判断性的问题,累加,累乘等一类问题的算法描述,可通过相应的数学模型借助一般数学计 算方法,分解成清晰的步骤,使之条理化即可。 (2)非数值性计算问题,如:排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型, 通过模型进行算法设计与描述。 作业:

-4-


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