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2016届高考数学一轮复习2.14导数在研究函数中的应用(二)练习理

第十四节 题号 答案 3 导数在研究函数中的应用(二) 2 3 4 5 1 1.曲线 y=x -2x 在点(1,-1)处的切线方程为( A.y=x-2 C.y=2x-3 B.y=-3x+2 D.y=-x 2 2 ) 解析:因为 k=y′|x=1=(3x -4x)|x=1=-1,所以切线的方程为 y+1=-(x-1),即 y=-x,故选 D. 答案:D 2.已知函数 f(x)= 1 ,则 y=f(x)的图象大致为( x-ln (x+1) ) 解析:令 g(x)=x-ln (x+1),则 g′(x)=1- 1 x = , x+1 x+1 由 g′(x)>0,得 x>0,即函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增, 由 g′(x)<0 得-1<x<0,即函数 g(x)在(-1,0)上单调递减, 所以当 x=0 时,函数 g(x)有最小值,g(x)min=g(0)=0, 于是对任意的 x∈(-1,0)∪(0,+∞),有 g(x)≥0,故排除 B、D, 因函数 g(x)在(-1,0)上单调递减,则函数 f(x)在(-1,0)上递增,故排除 C,故选 A. 答案:A 1-x ?1 ? 3.已知 a≤ +ln x 对任意 x∈? ,2?恒成立,则 a 的最大值为( x ?2 ? A.0 B.1 C.2 D.3 ) 1 1-x -x+x-1 1 x-1 ?1 ? 解析:设 f(x)= +ln x,则 f′(x)= + = 2 .当 x∈? ,1?时,f′ 2 x x x x ?2 ? ?1 ? (x)<0,故函数 f(x)在? ,1?上单调递减;当 x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数 f(x)在(1, ?2 ? 2]上单调递增, ∴f(x)min=f(1)=0, ∴a≤0,即 a 的最大值为 0. 答案:A 4.函数 f(x)满足 f(0)=0,其导函数 f′(x)的图象如下图所示,则 f(x)在[-2,1] 上的最小值为( ) A.-1 B.0 C.2 D.3 解析:易知 f(x)为二次函数,且常数项为 0,设 f(x)=ax +bx,则 f′(x)=2ax+b, 2 由图得导函数的表达式为 f′(x)=2x+2,所以 f(x)=x +2x,当 x=-1 时,f(x)在[-2, 2 1]有最小值-1.故选 A. 答案:A 5.已知函数 y=x -3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1 解析:因为三次函数的图象与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图象,可得极大值或 者极小值为零即可满足要求.而 f′(x)=3x -3=3(x-1)(x+1),当 x=±1 时取得极值. 由 f(1)=0 或 f(-1)=0 可得 c-2=0 或 c+2=0,即 c=±2.故选 A. 答案:A e 6.曲线 f(x)= 在 x=0 处的切线方程为________. x-1 e e (x-2) e (0-2) 解析: 由题意得 f(0)= =-1, f′(x)= 故 f′(0)= 2 , 2 =-2, 0-1 (x-1) (0-1) 0 x 0 x 2 3 ) 2 e 所以曲线 f(x)= 在 x=0 处的切线方程为 y+1=-2x,即 2x+y+1=0. x-1 答案:2x+y+1=0 7.已知 f(x)=-x +mx+1 在区间[-2,-1]上的最大值就是函数 f(x)的极大值,则 m 的取值范围是______. m m 解析:f′(x)=m-2x,令 f′(x)=0,则 x= ,由题设得 ∈[-2,-1],故 m∈[-4, 2 2 -2]. 答案:[-4,-2] 1 3 2 8.已知函数 g(x)= ax +2x -2x,函数 f(x)是函数 g(x)的导函数. 3 (1)若 a=1,求 g(x)的单调减区间; (2)若对任意 x1,x2∈R 且 x1≠x2,都有 f? 2 x ?x1+x2?<f(x1)+f(x2),求实数 a 的取值范围. ? 2 ? 2 ? 1 3 2 2 解析:(1)当 a=1 时,g(x)= x +2x -2x,g′(x)=x +4x-2, 3 由 g′(x)<0 解得-2- 6<x<-2+ 6, ∴当 a=1 时函数 g(x)的单调减区间为 (-2- 6,-2+ 6). (2)易知 f(x)=g′(x)=ax +4x-2, 依 题 意 知 f ? 2 2 2 2 ?x1+x2? - f(x1)+f(x2) = a ?x1+x2? + 4× x1+x2 - 2 - ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ax1+4x1-2+ax2+4x2-2 a 2 =- (x1-x2) <0. 2 4 因为 x1≠x2,所以 a>0,即实数 a 的取值范围是(0,+∞). 2a 9.(2013·北京海淀区检测)已知函数 f(x)=x + +1,其中 a>0. x 2 3 (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 y=1 平行,求 a 的值; (2)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值. 2a 2(x -a ) 解析:f′(x)=2x- 2 = ,x≠0. 2 x x (1)由题意可得 f′(1)=2(1-a )=0,解得 a=1, 此时 f(1)=4,在点(1,f(1))处的切线为 y=4,与直线 y=1 平行. 故所求的 a 的值为 1. (2)由 f′(x)=0 可得 x=a,a>0, ①当 0<a≤1 时,f′(x)>0 在[1,2]上恒成立, 3 3 3 3 3 所以 y=f(x)在[1,2]上递增, 所以 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(1)=2a +2. ②当 1<a<2 时, x (1,a) a (a,2) f′(x) - 0 + f(x) 极小值 2 由上表可得 y=f(x)在[1,2]上的最小值为 f(a)=3a +1. ③由

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