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2019年人教A版选修1-2高中数学过关测试(五) 综合法和分析法 及答案

过关测试(五) 综合法和分析法 一、选择题 1.下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分 析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法.其 中正确的语句有( A. 2 个 C. 4 个 解析:选 C ①②③⑤正确. 2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是( A.f(x)= 1 ) B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1) ) B.3 个 D.5 个 x C.f(x)=ex 解析:选 A 本题就是找哪一个函数在(0,+∞)上是减函数,A 项 ?1? 1 中,f′(x)=? ?′=- 2<0, ?x? x 1 ∴f(x)= 在(0,+∞)上为减函数. x 1 1 3.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值 a b 为( ) B.4 1 D. 4 3是 3a 与 3b 的等比中项? 3a·3b=3? 3a+b=3? a+b A. 8 C. 1 解析:选 B =1, 因为 a>0,b>0, 所以 ab≤ a+ b 1 1 = ? ab≤ , 2 2 4 1 1 a+ b 1 1 所以 + = = ≥ =4. a b ab ab 1 4 4.A,B 为△ABC 的内角,A>B 是 sin A>sin B 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C 若 A>B,则 a>b, 又 ,∴sin A>sin B; sin A sin B = ) a b 若 sin A>sin B,则由正弦定理得 a>b,∴A>B. 5.已知 f(x)=ax+1,0<a<1,若 x1,x2∈R,且 x1≠x2,则( A. B. C. D. ) f x1 + f x2 2 ≤f? =f? ≥f? >f? ?x1+x2? ? ? 2 ? ?x1+x2? ? ? 2 ? ?x1+x2? ? ? 2 ? ?x1+x2? ? ? 2 ? f x1 + f x2 2 f x1 + f x2 2 f x1 + f x2 2 解析:选 D 因为 x1≠x2, 所以 = f x1 + f x2 2 2 > ax1+1+ax2+1 ax1+1·ax2+1 =a x1+x2 2 +1=f? ?x1+x2? ?, ? 2 ? 所以 f x1 + f x2 2 >f? ?x1+x2? ?. ? 2 ? 二、填空题 6.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明 过程“对函数 f(x)=x-xln x 取导得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1) 时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用 了______________的证明方法. 解析:该证明过程符合综合法的特点. 答案:综合法 7.如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a,b 应满足的条件是 ________. 解析:a a+b b>a b+b a ?a a-a b>b a-b b ?a( a- b)>b( a- b) ?(a-b)( a- b)>0 ?( a+ b)( a- b)2>0, 故只需 a≠b 且 a,b 都不小于零即可. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 1 π 3π 8. 已知 sin θ+cos θ= 且 ≤θ≤ , 则 cos 2θ=________. 5 2 4 1 解析:因为 sin θ+cos θ= , 5 所以 1+sin 2θ= 1 , 25 所以 sin 2θ=- 因为 24 . 25 π 3π ≤θ≤ , 2 4 3π . 2 7 . 25 所以 π≤2θ≤ 所以 cos 2θ=- 1-sin22θ=- 答案:- 7 25 三、解答题 9.求证:2cos(α-β)- α-β sin β = . sin α sin α 证明:要证原等式成立,只需证: 2cos(α-β)sin α-sin(2α-β)=sin β, 左边=2cos(α-β)sin α-sin[(α-β)+α] =2cos(α-β)sin α-sin(α-β)cos α-cos(α-β)·sin α =cos(α-β)sin α-sin(α-β)cos α =sin β=右边. 所以原等式成立. 10.设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 (2)当 1<x<3 时,f(x)< x- x+ 5 . 3 证明:(1)记 g(x)=ln x+ x-1- (x-1), 2 则当 x>1 时, g′(x)= + - <0. x 2 x 2 又 g(1)=0, 故 g(x)<0, 3 即 f(x)< (x-1). 2 (2)记 h(x)=f(x)- 1 1 则 h′(x)= + - x 2 x = 2+ x - 2x 54 x+ 2 1 1 3 x- x+ 5 54 x+ , 2 < x+ 5 54 - 4x x+ 2 x+ 3-216x = . 2 4x x+ 令 p(x)=(x+5)3-216x, 则当 1<x<3 时, p′(x)=3(x+5)2-216<0, 因此 p(x)在(1,3)内单调递减, 又 p(1)=0, 则 p(x)<0, 故 h′(x)<0. 因此 h(x)在(1,3)内单调递减, 又 h(1)=0, 则 h(x)<0, 故当 1<x<3 时, f(x)< 9 x- x+ 5 .

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