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第三章 三角函数 章末优化训练


章末优化训练
(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1 3 1. 已知角 2α 的顶点在原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点?- , ?, 且 2α ? 2 2? ∈[0,2π),则 tan α 等于( ) A.- 3 B. 3 3 3 C. D.- 3 3 1 3 解析: 因 2α 的终边经过点?- , ?,且 2α∈[0,2π), ? 2 2? 2 ∴2α= π, 3 π ∴α= , 3 ∴tan α= 3. 答案: B 2.函数中周期为 2 的函数是( ) A.y=2cos2πx-1 B.y=sin2π x+cos 2πx π π? C.y=tan? D.y=sin πxcos πx ?2x+3? π π? π 解析: 因为 y=tan x 的周期为 π,所以 y=tan? ?2x+3?的周期为 T=π=2. 2 答案: C π ? 3.已知 sin(π-α)=-2sin? cos α=( ) ?2+α?,则 sin α· 2 2 A. B.- 5 5 2 2 1 C. 或- D.- 5 5 5 π ? 2 2 2 解析: 由于 sin(π-α)=-2sin? ?2+α??sin α=-2cos α,又 sin α+cos α=1,所以 cos α 1 2 = ,则 sin αcos α=-2cos2α=- ,故选 B. 5 5 答案: B π π? → → → 4.函数 y=tan? OB=( ) ?4x-2?的部分图象如图所示,则(OB-OA)·

A.-4 C.-2

B.2 D.4 → → → 解析: 由题意知 A(2,0),B(3,1),所以(OB-OA)· OB=(1,1)· (3,1)=4,故选 D. 答案: D

1 2 5.化简 =( cos 10° cos 80° sin235° - A.-2

)

1 B.- 2 C.-1 D.1 1-cos 70° 1 1 1 sin235° - - - cos 70° 2 2 2 2 解析: = = =-1.故选 C. cos 10° cos 80° cos 10° · sin 10° 1 sin 20° 2 答案: C 6.若把函数 y= 3cos x-sin x 的图象向右平移 m(m>0)个单位后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) π π A. B. 6 3 2π 5π C. D. 3 6 解析: 目标意识下,逆用三角公式化为一个角的三角函数,选择值验证,y= 3cos x π? π -sin x=2cos? ?x+6?,向右移6个单位后得到 y=2cos x,故选 A. 答案: A 7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,如果 c= 3a,B=30° ,则 C= ( ) A.120° B.105° C.90° D.75° 3 3 解析: 由正弦定理得,sin C= 3sin A,sin C= 3sin(150° -C),sin C= cos C+ sin 2 2 1 3 C,- sin C= cos C,tan C=- 3,又 0° <C<180° ,∴C=120° ,故选 A. 2 2 答案: A 8.一艘轮船按照北偏西 50° 的方向,以 15 海里每小时的速度航行,一座灯塔 M 原来在 轮船的北偏东 10° 方向上,经过 40 分钟,轮船与灯塔的距离是 5 3海里,则灯塔和轮船原来 的距离为( ) A.2 2海里 B.3 海里 C.4 海里 D.5 海里 解析:

如图,由题知 AB=10, BM=5 3,∠MAB=60° . 设 AM=x, 在△ABM 中, BM2=AM2+AB2-2AM· ABcos 60° , 即 75=100+x2-20xcos 60° , 解得 x=5.故选 D. 答案: D

2 ? 9.函数 f(x)=sin2x+2cos x 在区间? ?-3π,θ?上的最大值为 1,则 θ 的值是( A.0 π B. 3

)

π π C. D.- 2 2 解析: 因为 f(x)=sin2x+2cos x=-cos2x+2cos x+1=-(cos x-1)2+2,又其在区间 ?-2π,θ?上的最大值为 1,结合选项可知 θ 只能取-π,故选 D. ? 3 ? 2 答案: D 10.关于函数 f(x)=sin x+cos x,下列命题正确的是( ) A.函数 f(x)的最大值为 2 π B.函数 f(x)的一条对称轴为 x= 4 π C.函数 f(x)的图象向左平移 个单位后对应的函数是奇函数 4 D.函数 y=|f(x)|的周期为 2π π? π 解析: f(x)=sin x+cos x= 2sin? ?x+4?,函数的最大值为 2;一条对称轴为 x=4;向 π 右平移 个单位后对应的函数是奇函数;f(x)的周期为 2π,函数 y=|f(x)|的周期为 π.故选 B. 4 答案: B π? 11.已知 x∈(0,π],关于 x 的方程 2sin? ?x+3?=a 有两个不同的实数解,则实数 a 的取 值范围为( ) A.[- 3,2] B.[ 3,2] C.( 3,2] D.( 3,2) π ? 解析: 令 y1=2sin? ?x+3?,x∈(0,π],y2=a,作出 y1 的图象如图 所示: π? 若 2sin? ?x+3?=a 在(0,π]上有两个不同的实数解,则 y1 与 y2 应有两 个不同的交点,所以 3<a<2,故选 D. 答案: D 3 12.已知 tan α=- ,且 tan(sin α)>tan(cos α),则 sin α 的值为( ) 4 3 3 A.- B. 5 5 3 4 C.± D.- 5 5 解析: ∵sin α,cos α∈[-1,1],且 y=tan x 在[-1,1]上递增, 3 ∴sin α>cos α.而 tan α=- <0, 4 3 ∴sin α>0,且 cos α<0.∴sin α= ,选 B. 5 答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 4 13.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tan α=________. 3 4 4 2tan α 解析: ∵tan(π+2α)=- ,∴tan 2α=- = , 3 3 1-tan2α 1 ∴tan α=- 或 tan α=2. 2

1 又 α 在第二象限,∴tan α=- . 2 1 答案: - 2 AC 14.在锐角△ABC 中,BC=1,∠B=2∠A,则 =________. cos A AC BC AC 1 AC 解析: 由正弦定理得: = ,所以 = ,故 =2. sin B sin A sin 2A sin A cos A 答案: 2 π 15 .若 是函数 f(x) = sin 2x + acos2x(a ∈ R ,为常数 ) 的零点,则 f(x) 的最小正周期是 4 ________. π? π 2 π 解析: 由题意得 f? ?4?=sin2+acos 4=0, 1 ∴1+ a=0,∴a=-2. 2 ∴f(x)=sin 2x-2cos2 x π? =sin 2x-cos2x-1= 2sin? ?2x-4?-1, ∴f(x)的最小正周期为 π. 答案: π 16.给出下列命题: 1 1 ①半径为 2,圆心角的弧度数为 的扇形面积为 ; 2 2 1 1 π ②若 α、β 为锐角,tan(α+β)= ,tan β= ,则 α+2β= ; 2 3 4 ③若 A、B 是△ABC 的两个内角,且 sin A<sin B,则 BC<AC; ④若 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 a2+b2-c2<0,则△ABC 是 钝角三角形.其中真命题的序号是________. 1 2 1 1 解析: ①中,S 扇形= α· R = × ×22=1, 2 2 2 ∴①不正确. ②中,由已知可得 tan(α+2β)=tan[(α+β)+β] 1 1 + 3 2 tan?α+β?+tan β = = =1. 1 1 1-tan?α+β?tanβ 1- × 3 2 1 又 α、β 为锐角,tan(α+β)= >0, 2 π ∴0<α+β< , 2 1 π 又由 tan β= <1,得 0<β< , 3 4 3 π ∴0<α+2β< π,∴α+2β= .∴②正确. 4 4 BC AC ③中,由 sin A<sin B? < (2R 为△ABC 的外接圆半径) 2R 2R ?BC<AC.∴③正确. ④中,由 a2+b2-c2<0 知 cos C<0, ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形,∴④正确. 答案: ②③④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)

17.(12 分)在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sin C=2sin A. (1)求 AB 的值; π? (2)求 sin? ?2A-4?的值. AB BC 解析: (1)在△ABC 中,根据正弦定理, = . sin C sin A sin C 于是 AB= BC=2BC=2 5. sin A (2)在△ABC 中,根据余弦定理, AB2+AC2-BC2 2 5 得 cos A= = . 2AB· AC 5 5 于是 sin A= 1-cos2A= . 5 4 从而 sin 2A=2sin A· cos A= , 5 3 cos 2A=cos2 A-sin2 A= . 5 π? π π 2 所以 sin? ?2A-4?=sin 2Acos4-cos 2Asin4= 10 . 18.(12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示.

(1)求 ω、φ 的值; π? (2)设 g(x)=f(x)f? ?x-4?,求函数 g(x)的单调递增区间. 【解析方法代码 108001047】 π π? 2π 解析: (1)由图可知 T=4? ?2-4?=π,ω= T =2, π? 又由 f? ?2?=1 得,sin(π+φ)=1,sin φ=-1. π ∴|φ|<π,∴φ=- . 2 π? (2)由(1)知 f(x)=sin? ?2x-2?=-cos 2x. ?2x-π??=cos 2xsin 2x 因为 g(x)=(-cos 2x)? - cos 2?? ? ? 1 = sin 4x, 2 π π 所以 2kπ- ≤4x≤2kπ+ , 2 2 kπ π kπ π 即 - ≤x≤ + (k∈Z). 2 8 2 8 kπ π kπ π? 故函数 g(x)的单调增区间为? ? 2 -8, 2 +8?(k∈Z). 19.(12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边长,已知 2sin A= 3cos A. (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. 【解析方法代码 108001048】 解析: (1)由 2sin A= 3cos A两边平方,得 2sin2A=3cos A, 即(2cos A-1)(cosA+2)=0.

1 π π 解得 cos A= >0,∵0<A< ,∴A= . 2 2 3 2 b + c2-a2 m 而 a2-c2=b2-mbc 可以变形为 = , 2bc 2 m 1 即 cos A= = ,∴m=1. 2 2 1 3 (2)由(1)知 cos A= ,则 sin A= . 2 2 b2+c2-a2 1 又 = ,∴bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即 bc≤a2. 2bc 2 bc a2 3 3 3 故 S△ABC= sin A≤ · = , 2 2 2 4 3 3 ∴△ABC 面积的最大值为 . 4 π π? 20. (12 分)已知向量 a=(1+cos(2x+φ), 1), b=(1, a+ 3sin(2x+φ))? ?φ为常数且-2<φ<2?, 函数 f(x)=a· b 在 R 上的最大值为 2. (1)求实数 a 的值; π (2)把函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,可得函数 y=2sin2x 的图象,求函数 y=f(x) 12 的解析式及其单调增区间. 解析: (1)f(x)=1+cos(2x+φ)+a+ 3sin(2x+φ) π 2x+φ+ ?+a+1. =2sin? 6? ? 因为函数 f(x)在 R 上的最大值为 2, 所以 3+a=2,即 a=-1. π? (2)由(1)知:f(x)=2sin? ?2x+φ+6?. π? π 把函数 f(x)=2sin? ?2x+φ+6?的图象向右平移12个单位可得函数 y=2sin(2x+φ)=2sin 2x, ∴φ=2kπ,k∈Z. π π 又∵- <φ< ,∴φ=0. 2 2 π? ∴f(x)=2sin? ?2x+6?. π π π 因为 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ 2 6 2 π π ?kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 3 6 π π? 所以,y=f(x)的单调增区间为? ?kπ-3,kπ+6?,k∈Z. 21.(12 分)如图,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60° ,半径为 2,在 弧 AB 上有一动点 P, 过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C, 设∠AOP =θ, 求△POC 面积的最大值及此时 θ 的值. 【解析方法代码 108001049】 解析: 因为 CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60° -θ, ∴∠OCP=120° . 在△POC 中,由正弦定理得 OP CP 2 CP = ,∴ = , sin 120° sin θ sin∠PCO sin θ 4 所以 CP= sin θ. 3 OC 2 又 = , sin?60° -θ? sin 120°

4 sin(60° -θ). 3 因此△POC 的面积为 1 S(θ)= CP· OCsin 120° 2 1 4 4 3 = · sin θ· sin(60° -θ)× 2 3 2 3 4 4 3 1 = sin θsin(60° -θ)= sin θ? cos θ- sin θ? 2 ?2 ? 3 3 2 1 = [cos(2θ-60° )- ],θ∈(0° ,60° ). 2 3 ∴OC= 3 . 3 22.(14 分)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(-1,1),n 3 ? = cos Bcos C,sin Bsin C- ?,且 m⊥n. 2? ? 所以当 θ=30° 时,S(θ)取得最大值为 (1)求 A 的大小; (2)现给出下列四个条件: ①a=1;②b=2sin B;③2c-( 3+1)b=0;④B=45° . 试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC 的面积. 3 解析: (1)∵m⊥n,∴-cos Bcos C+sin Bsin C- =0. 2 3 即 cos Bcos C-sin Bsin C=- , 2 3 ∴cos(B+C)=- . 2 ∵A+B+C=180° ,∴cos(B+C)=-cos A, 3 ∴cos A= ,A=30° . 2 (2)方案一:选择①③可确定△ABC. ∵A=30° ,a=1,2c-( 3+1)b=0. ? 3+1 ?2-2b· 3+1b· 3, 由余弦定理 12=b2+? ? 2 2 ? 2 b? 6+ 2 整理得 b2=2,b= 2,c= . 2 6+ 2 1 3+1 1 1 ∴S△ABC= bcsin A= × 2× × = . 2 2 2 2 4 方案二:选择①④可确定△ABC. ∵A=30° ,a=1,B=45° ,∴C=105° . 又 sin 105° =sin(60° +45° ) =sin 60° cos 45° +cos 60° sin 45° 6+ 2 = . 4 a b asin B sin 45° ∵ = ,∴b= = , sin A sin B sin A sin 30° ∴b= 2. 6+ 2 1 1 ∴S△ABC= absin C= ×1× 2× 2 2 4



3+1 4


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