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2013年高一年级数学备课组集体教案(1)


2013 年高一年级数学备课组集体教案(1)
主备人:伍双平 第一章 集合与函数概念教材分析 一. 课标要求: 本章将集合作为一种语言来学习,使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调 结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问 题,感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,培养学生分析、比较、归纳的逻辑思 维能力. 4、能在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思 维能力. 6. 理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 . 7. 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号 y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素,了 解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作 用;会求一些简单函数的定义域和值域,并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法) ,并能在实际情境中,恰当地进行选择; 会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性 的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活 中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论,只将集合作为一种语言来学习,要求学生能够使用最基本的集合语言表示 有关的数学对象,从而体会集合语言的简洁性和准确性,发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧 密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,使学生了解集合的含义,理解并掌握集合 间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性基础,再用集 合与对应语言抽象出函数概念,这样比较符合学生的认识规律,同时有利于培养学生的抽象概括的能力, 增强学生应用数学的意识,教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会,并注意运用 Venn 图表达集合 的关系及运算,帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中,要充分体现这种直观的数学思想,发挥图 形在子集以及集合运算教学中的直观作用。 3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题,这一观点,一直贯穿到以后的 数学学习中. 4. 在例题和习题的编排中,渗透了集合中的分类思想,让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广 泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中,一定要循序渐进,从繁到难,逐步渗透这方面的训练 . 5. 教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为 的过于技巧化的训练不做提倡,教师要准确把握这方面的要求,防止拨高教学.
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时间:2013 年 8 月 28 日

6. 函数的表示是本章的主要内容之一,教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法) , 目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念. 在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又 要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法 . 7. 教材将映射作为函数的一种推广,进行了逻辑顺序上的调整,体现了特殊到一般的思维规律,有 利于学生对函数概念学习的连续性 . 8. 教材加强了函数与信息技术整合的要求, 通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息 技术在函数学习中的重要作用. 9. 为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍. 三. 教学内容及课时安排建议 本章教学时间约 13 课时。 1.1 集合 4 课时 1.2 函数及其表示 4 课时 1.3 函数的性质 3 课时 实习作业 1 课时 复习 1 课时 课题 §1.1.1 集合的含义与表示 课时 2 l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性.. 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括, 从而更好地完成本节课的教学目标. 备 2. 教学用具:投影仪. 注

教学目标

教学重难 点分析 学法与教 学用具

四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合 的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的 内容. (二)研探新知 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面 9 个实例: (1)1—20 以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形; (5)海南省在 2004 年 9 月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点;
2

(7)方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的所有实数根; (8)不等式 x ? 3 ? 0 的所有解; (9)国兴中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这 9 个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括 出 9 个实例的特征,并给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这 个集合的元素. 4.教师指出: 集合常用大写字母 A, C, ?表示, B, D, 元素常用小写字母 a, b, c, d ? 表示. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有什么特点?并注 意个别辅导,解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性,即:确定性.互异性和 无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于 3 小于 11 的偶数; (2)我国的小河流. 让学生充分发表自己的建解. 3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子,并说明 理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价. 4.教师提出问题,让学生思考 (1)如果用 A 表示高—(3)班全体学生组成的集合,用 a 表示高一(3)班的一位同 学, b 是高一(4)班的一位同学,那么 a, b 与集合 A 分别有什么关系?由此引导学生 得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A . 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A . (2)如果用 A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合,则中国.日本与集 合 A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示. (3)让学生完成教材第 6 页练习第 1 题. 5.教师引导学生回忆数集扩充过程,然后阅读教材中的相交内容,写出常用数 集的记号.并让学生完成习题 1.1A 组第 1 题. 6.教师引导学生阅读教材中的相关内容,并思考.讨论下列问题: (1)要表示一个集合共有几种方式? (2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对 象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法? 使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。 (四)巩固深化,反馈矫正 教师投影学习: (1)用自然语言描述集合{1,3,5,7,9}; (2)用例举法表示集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 8} (3)试选择适当的方法表示下列集合:教材第 6 页练习第 2 题.
3

(五)归纳整理,整体认识 在师生互动中,让学生了解或体会下例问题: 1.本节课我们学习过哪些知识内容? 2.你认为学习集合有什么意义? 3.选择集合的表示法时应注意些什么? (六)承上启下,留下悬念 1.课后书面作业:教师自选 2. 元素与集合的关系有多少种?如何表示?类似地集合与集合间的关系又有 多少种呢?如何表示?请同学们通过预习教材. 自选练习:一、选择题 1.考察下列每组对象,能构成一个集合的是( ) ①某校高一年级成绩优秀的同学;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ③不小于 3 的自然数; ④2008 年北京奥运会比赛金牌获得者. A.③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 解析: ①中“成绩优秀”没有明确的标准,所以不能构成一个集合.②③④ 中的对象都满足确定性与整体性,所以能构成集合.答案: B 2 2 2.由 a,a,b,b,a ,b 构成集合 A,则集合 A 中的元素最多有( ) A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 解析: 根据集合中元素的互异性可知,集合 A 中的元素最多有 4 个,故选 C. 2 3.已知集合 A 是由 0,m,m -3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,则实数 m 的值为( ) A.2 B.3 C.0 或 3 D.0,2,3 均可 2 解析: 因为 2∈A,所以 m=2 或 m -3m+2=2,解得 m=0 或 m=2 或 m=3.又 集合中的元素要满足互异性,对 m 的所有取值进行一一验证可得 m=3,故选 B. 4.已知集合 A 由 x<1 的数构成,则有( ) A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.-1?A 解析: 很明显 3,1 不满足不等式,而 0,-1 满足不等式.答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 2 5.已知集合 A 由元素 1 和 a 构成,实数 a 不能取的值的集合是________. 2 解析: 由互异性知 a ≠1,即 a≠± 1,故实数 a 不能取的值的集合是{1,-1}. 6.如果具有下述性质的 x 都是集合 M 中的元素,其中:x=a+b 2(a,b∈Q), 则下列元素中不属于集合 M 的元素个数是______个. 1 ①x=0, x= 2, x=3-2 2π, x= ② ③ ④ , x= 6-4 2+ 6+4 2. ⑤ 3-2 2 解析: ①当 a=b=0 时,x=0;①正确; ②当 a=0,b=1 时,x= 2,②正确; ③当 a=3,b=-2π 时,b?Q,x=3-2 2π?M,③不正确; 1 ④当 x=3,b=2 时,x=3+2 2= ,④正确; 3-2 2 ⑤x= 6-4 2+ 6+4 2=2- 2+2+ 2=4 当 a=4,b=0 时,x=4,⑤正确.答案: 1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 2 7.已知集合 A 由元素 a-3,2a-1,a -4 构成,且-3∈A,求实数 a 的值. 2 解析: ∵-3∈A,A={a-3,2a-1,a -4}, 2 ∴a-3=-3 或 2a-1=-3 或 a -4=-3. 若 a-3=-3, 则 a=0,此时集合 A={-3,-1,-4},符合题意. 若 2a-1=-3,则 a=-1,此时集合 A={-4,-3,-3}, 不满足集合中元素的互异性. 2 若 a -4=-3,则 a=1 或 a=-1(舍去), 当 a=1 时,集合 A={-2,1,-3},符合题意.
4

综上可知,a=0,或 a=1. 2 8.已知集合 M 中含有三个元素 2,a,b,集合 N 中含有三个元素 2a,2,b ,且 M=N,求 a,b 的值. 解析: 方法一:根据集合中元素的互异性,
?a=2a ? 有? 2 ? ?b=b ?a=b ? 或? ? ?b=2a
2

?a=0 ? ,解得? ? ?b=1

?a=0 ? 或? ? ?b=0

?a=1 ? 4 或? 1 ?b=2 ?
.

.

再根据集合中元素的互异性,得?

? ?a=0 ? ?b=1

?a=1 ? 4 或? 1 ? ?b=2

方法二:∵两个集合相同,则其中的对应元素相同. 2 ?a+b=2a+b ?a+b?b-1?=0 ① ? ? ? ∴ ,即? 2 ? b ? ?2 b ② ?a·=2a· ?ab· b-1?=0 ∵集合中的元素互异,∴a,b 不能同时为零. 1 当 b≠0 时,由②得 a=0,或 b= . 2 当 a=0 时,由①得 b=1,或 b=0 (舍去).
?a=0 ? 1 1 当 b= 时,由①得 a= .当 b=0 时,a=0(舍去).∴? 2 4 ? ?b=1

?a=1 ? 4 或? 1 ?b=2 ?

?9.(10 分)数集 A 满足条件:若 a∈A,则

1 ∈A(a≠1). 1-a

(1)若 2∈A,试求出 A 中其他所有元素; (2)自己设计一个数属于 A,然后求出 A 中其他所有元素; (3)从上面的解答过程中,你能悟出什么道理?并大胆证明你发现的“道理”. 1 1 1 1 解析: (1)2∈A,则 ∈A,即-1∈A,则 ∈A,即 ∈A,则 ∈A, 1-2 1+1 2 1 1- 2 1 即 2∈A,所以 A 中其他所有元素为-1, . 2 1 2 (2)如:若 3∈A,则 A 中其他所有元素为- , . 2 3 1 a-1 (3)分析以上结果可以得出:A 中只能有 3 个元素,它们分别是 a, , , 1-a a 且三个数的乘积为-1. 1 1 证明如下:若 a∈A,a≠1,则有 ∈A 且 ≠1, 1-a 1-a 1 a-1 a-1 所以又有 = ∈A 且 ≠1, 1 a a 1- 1-a 1 1 1 2 进而有 =a∈A.又因为 a≠ (因为若 a= ,则 a -a+1=0,而方 a-1 1-a 1-a 1-

a

1 a-1 1 2 程 a -a+1=0 无解). 故 ≠ 所以 A 中只能有 3 个元素, 它们分别是 a, , 1-a a 1-a
5

a-1 且三个数的乘积是-1. a
一、选择题 1.下列表示同一个集合的是( )

A.M={(2,1),(3,2)},N={(1,2),(2,3)} B.M={2,1},N={1,2} C.M={3,4},N={(3,4)} D.M={y|y=x +1},N={(x,y)|y=x +1} 解析: 只有 B 项的两个集合的元素是相同的. 2.方程组?
?x+y=2 ? ?x-2y=-1 ?
2 2

,的解集是( B.{1}

) D.{(x,y)|(1,1)}

A.{x=1,y=1}

C.{(1,1)}

解析; 方程组的解集中元素应是有序数对形式, 排除 A, 而 D 中的条件是点(1,1), B, 不含 x,y,排除 D. 3.设 a,b 都是非零实数,则 y= + + 可能取的值组成的集合为( |a| |b| |ab| A.{3} B.{3,2,1} C.{3,1,-2} D.{3,-1}

a

b

ab

)

解析: ①当 a>0,b>0 时,y=3;②当 a>0,b<0 时,y=-1;③当 a<0,b >0 时,y=-1;④当 a<0,b<0 时,y=-1. 4.集合 A={y|y=x +1},集合 B={(x,y)|y=x +1}(A,B 中 x∈R,y∈R).选项 中元素与集合的关系都正确的是( A.2∈A,且 2∈B C.2∈A,且(3,10)∈B ) B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B D.(3,10)∈A,且 2∈B
2 2

解析: 集合 A 中元素 y 是实数,不是点,故选项 B,D 不对.集合 B 的元素(x,y) 是点而不是实数,2∈B 不正确,所以 A 错. 二、填空题 5.已知集合 A={1,2,3},B={1,2},C={(x,y)|x∈A,y∈B},用

列举法表示集合 C=________. 解析: ∵C={(x,y)|x∈A,y∈B}, ∴满足条件的点为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2). 6.定义集合运算 A*B={Z|Z=xy,x∈A,y∈B}.设 A={1,2},B={0,2},则集合

A*B 的所有元素之和为________.
解析: ∵A*B={0,2,4},所以集合 A*B 的所有元素之和为 6. 三、解答题 7.下面三个集合: A={x|y=x +1};B={y|y=x +1};
2 2

C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?
(2)它们各自的含义是什么? 解析: (1)在 A、B、C 三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素 互不相同,所以它们是互不相同的集合.

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(2)集合 A 的代表元素是 x,满足 y=x +1, 故 A={x|y=x +1}=R. 集合 B 的代表元素是 y,满足 y=x +1 的 y≥1, 故 B={y|y=x +1}={y|y≥1}. 集合 C 的代表元素是(x,y),满足条件 y=x +1,即表示满足 y=x +1 的实数对(x,
2 2 2 2 2

2

y);也可认为满足条件 y=x2+1 的坐标平面上的点.
因此,C={(x,y)|y=x +1}={点 P∈平面 α|P 是抛物线 y=x +1 上的点}. 8.选择适当的方法表示下列集合. (1)由方程 x(x -2x-3)=0 的所有实数根组成的集合; (2)大于 2 且小于 6 的有理数; (3)由直线 y=-x+4 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合. 解析: (1)方程的实数根为-1,0,3,故可以用列举法表示为{-1,0,3},当然也可 以用描述法表示为{x|x(x -2x-3)=0},有限集. (2)由于大于 2 且小于 6 的有理数有无数个,故不能用列举法表示该集合,但可以用 描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6},无限集. (3)用描述法表示该集合为
2 2 2 2

M={(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N}或用列举法表示该集合为
{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.

教学反思

课题

§1.1.2 集合间的基本关系

课时

2

教学目标

1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用 venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想 . (2)体会类比对发现新结论的作用. 重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点:难点是属于关系与包含关系的区别 1.学法:让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论,发现集合间 的基本关系.
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教学重难 点分析 学法与教 学用具





2.学用具:投影仪. 四.教学思路 (—)创设情景,揭示课题 问题 l:实数有相等.大小关系,如 5=5,5<7,5>3 等等,类比实数之间的关 系,你会想到集合之间有什么关系呢? 让学生自由发言,教师不要急于做出判断。而是继续引导学生;欲知谁正确, 让我们一起来观察.研探. (二)研探新知 投影问题 2:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1) A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2)设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合, 为这个班学生的全体组 B 成的集合; (3)设 C ? {x | x是两条边相等的三角形}, D ? {x | x是等腰三角形}; (4) E ? {2, 4,6}, F ? {6, 4, 2} . 组织学生充分讨论.交流,使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系,从 而类比得出两个集合之间的关系: ①一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元 素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为 B 的子集. 记作: A ? B

(或B ? A)

读作:A 含于 B(或 B 包含 A). ②如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等. 教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间 有什么类似之处,强化学生对符号所表示意义的理解。并指出:为了直观地表示集 合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图。如图 l 和图 2 分别是表示问题 2 中实例 1 和实例 3 的 Venn 图. B

A(B) 图1 图2

投影问题 3:与实数中的结论“若 a ? b, 且b ? a, 则a ? b ”相类比,在集合中, 你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比,思考得出结论: 若 A ? B, 且B ? A, 则A ? B . 问题 4: 请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例, 并用 Venn 图表 示. 学生主动发言,教师给予评价. (三)学生自主学习,阅读理解 然后教师引导学生阅读教材第 7 页中的相关内容,并思考回答下例问题: (1)集合 A 是集合 B 的真子集的含义是什么?什么叫空集? (2)集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别? (3)0,{0}与 ? 三者之间有什么关系?
8

(4)包含关系 {a} ? A 与属于关系 a ? A 正义有什么区别?试结合实例作出解释. (5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗? (6)能否说任何一人集合是它本身的子集,即 A ? A ? (7)对于集合 A,B,C,D,如果 A ? B,B ? C,那么集合 A 与 C 有什么关系? 教师巡视指导,解答学生在自主学习中遇到的困惑过程,然后让学生发表对上 述问题看法. (四)巩固深化,发展思维 1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题: 例 1.某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格。若用 A 表示 合格产品,B 表示质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.则下列包 含关系哪些成立?

A ? B, B ? A, A ? C, C ? A
试用 Venn 图表示这三个集合的关系。 例 2 写出集合{0,1,2)的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 2.学生做教材第 8 页的练习第 l~3 题,教师及时检查反馈。强调能确定是真子 集关系的最好写真子集,而不写子集. (五)归纳整理,整体认识 1.请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些,所涉及到的主要数学思想方法 又那些. 2. 在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出. (六)布置作业 第 13 页习题 1.1A 组第 5 题. 自选练习:一、选择题 1.集合 A={x|0≤x<3 且 x∈Z}的真子集的个数是( A.5 B.6 C.7 D.8
3

)

解析: 由题意知 A={0,1,2},其真子集的个数为 2 -1=7 个,故选 C. 2.在下列各式中错误的个数是( )

①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}?{0,1,2}; ④{0,1,2}={2,0,1};⑤{0,1}?{(0,1)};⑥??{0} A.1 B.2 解析: C.3 D.4

①正确;②错.因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系;③正确;

④正确.两个集合的元素完全一样.⑤错,⑥正确. 3.已知集合 A={x|ax +2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取 值是( A.1 ) B.-1 C.0,1 D.-1,0,1
2 2

解析: 因为集合 A 有且仅有 2 个子集,所以 A 仅有一个元素,即方程 ax +2x+a =0(a∈R)仅有一个根. (1)当 a=0 时,方程化为 2x=0,此时 A={0},符合题意. (2)当 a≠0 时,由 Δ=2 -4··=0,即 a =1,∴a=± aa 1.
2 2

9

此时 A={-1},或 A={1},符合题意.∴a=0 或 a=± 1.
2010 2011 4.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0, ,b?,则 b -a =(

? ?

b a

? ?

)

A.1 B.-1

C.2
? ?

D.-2

解析: 由{1,a+b,a}=?0, ,b?,可知 a≠0,则只能 a+b=0.
?

b a

?

?a+b=0, ?b 则有以下对应关系:①? =a, a ?b=1 ?
解①得?
?a=-1, ? ?b=1, ?

?a+b=0, ?b=a, 或②? b ?a=1. ?
2010

符合题意;②无解.所以 b

-a

2011

=2.

二、填空题 5.已知?不等于{x|x -x+a=0},则实数 a 的取值范围是________. 解析: ∵?不等于{x|x -x+a=0},∴方程 x -x+a=0 有实根, 1 2 ∴Δ=(-1) -4a≥0,a≤ . 4 6.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m },若 B?A,则实数 m=________. 解析: ∵B?A,∴m =2m-1,即(m-1) =0∴m=1,当 m=1 时,A={-1,3,1},
2 2 2 2 2 2

B={3,1}满足 B?A.
三、解答题 7.下图所示的 Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五 种几何图形之间的关系,问集合 A,B,C,D,E 分别是哪种图形的集合?

解析: 观察 Venn 图,得 B、C、D、E 均是 A 的子集,且有 E?D,D?C. 梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故 A={四边形}; 梯形不是平行四边形,而菱形、正方形是平行四边形, 故 B={梯形},C={平行四边形};正方形是菱形,故 D={菱形},E={正方形}. 8.已知三个集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -ax+(a-1)=0},C={x|x -2x +b=0},问同时满足 B?A,C?A 的实数 a,b 是否存在?若存在,求出 a,b 所有 值;若不存在,请说明理由. 解析: 由题意 A={1,2},B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}, 若 a-1=1,则 B={1},满足 B?A,∴a=2. 若 a-1≠1,则 B={1,a-1},显然不满足 B?A,∴a=2. 又∵C?A,∴C=?或{1}或{2}或{1,2}.当 C=?时,Δ=4-4b<0,即 b>1.
10
2 2 2

?1+1=2 ? 当 C={1}时,? ? ?1×1=b ? ?1+2=2 当 C={1,2}时,? ?1×2=b ?

?2+2=2 ? ,∴b=1.当 C={2}时,? ? ?2×2=b

,不成立.

,不成立.综上所述,同时满足 B?A,C?A 的实数 a,

b 为 a=2,b≥1.
? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)如果集合 A 有下述性质:“若 2k∈A,则 2k-1∈A 且 2k+1∈A”,则称 子集 A?M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}是“好子集”(空集和 M 都是好子集),问:

M 中有多少个包含有 2 个偶数的好子集?
解析: 含有 2 个偶数的好子集 A,有两种不同的情形: ①两偶数是相邻的,有 4 种可能: (2,4)、(4,6)、(6,8)、(8,10),每种情况下必有 3 个奇数相随,如(2,4).2∈A,4∈

A,则 1∈A,3∈A,5∈A,余下的 3 个奇数 7,9,11,可能不在 A 中,也可能有一个,
两个,三个在 A 中,共有 8 种结果. ∴这样的好子集共有 4×8=32(个). ②两偶数不相邻,有 6 种可能: (2,6),(2,8),(2,10),(4,8),(4,10),(6,10), 每种情形必有 4 个奇数相随,如(2,6),其中 2∈A,6∈A, 则 1∈A,3∈A,5∈A,7∈A, 余下的 2 个奇数 9,11 可能不在 A 中,也可能一个、两个在 A 中. ∴这样的好子集有 6×4=24 (个). 综上可知,M 中有 32+24=56(个)包含 2 个偶数的好子集.

教学反思

课题

§1.1.3 集合的基本运算

课时

2

教学目标

1. 知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法
11

学生通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确. 教学重难 点分析 学法与教 学用具 重点:交集与并集,全集与补集的概念. 难点:理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系. 1.学法:学生借助 Venn 图,通过观察.类比.思考.交流和讨论等, 理解集合的基本运算. 2.教学用具:投影仪. 备 注

四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 问题 1: 我们知道, 实数有加法运算。 类比实数的加法运算, 集合是否也可以 “相 加”呢? 请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A.B 之间的关系吗? (1) A ? {1,3,5}, B ? {2, 4,6}, C ? {1, 2,3, 4,5,6}; (2) A ? {x | x是理数}, B ? {x | x是无理数}, C ? {x | x是实数} 引导学生通过观察,类比.思考和交流,得出结论。教师强调集合也有运算,这 就是我们本节课所要学习的内容。 (二)研探新知 l.并集 —般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集. 记作:A∪B. 读作:A 并 B. 其含义用符号表示为:

A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B}
用 Venn 图表示如下:

A

B

请同学们用并集运算符号表示问题 1 中 A,B,C 三者之间的关系. 练习.检查和反馈 (1)设 A={4,5,6,8),B={3,5,7,8),求 A∪B. (2)设集合 A A ? {x | ?1 ? x ? 2}, 集合B ? { x |1 ? x ? 3}, 求A ? B. 让学生独立完成后,教师通过检查,进行反馈,并强调: (1)在求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次. (2)对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题. 2.交集 (1)思考:求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗? 请同学们考察下面的问题,集合 A.B 与集合 C 之间有什么关系?
12

① A ? {2, 4,6,8,10}, B ? {3,5,8,12}, C ? {8}; ② A ? {x | x是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}. B={ x | x 是国 兴中学 2004 年 9 月入学的高一年级同学},C={ x | x 是国兴中学 2004 年 9 月入学的 高一年级女同学}. 教师组织学生思考.讨论和交流,得出结论,从而得出交集的定义; 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交 集. 记作:A∩B. 读作:A 交 B 其含义用符号表示为:

A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}.
接着教师要求学生用 Venn 图表示交集运算. A B

(2)练习.检查和反馈 ①设平面内直线 l1 上点的集合为 L1 ,直线 l1 上点的集合为 L2 ,试用集合的运算 表示 l1 的位置关系. ②学校里开运动会,设 A={ x | x 是参加一百米跑的同学},B={ x | x 是参加二百 米跑的同学},C={ x | x 是参加四百米跑的同学},学校规定,在上述比赛中,每个 同学最多只能参加两项比赛,请你用集合的运算说明这项规定,并解释集合运算 A ∩B 与 A∩C 的含义. 学生独立练习, 教师检查, 作个别指导.并对学生中存在的问题进行反馈和纠正. (三)学生自主学习,阅读理解 1.教师引导学生阅读教材第 11~12 页中有关补集的内容,并思考回答下例问 题: (1)什么叫全集? (2)补集的含义是什么?用符号如何表示它的含义?用 Venn 图又表示? (3)已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 8}, 求?R A . (4)设 S={ x | x 是至少有一组对边平行的四边形},A={ x | x 是平行四边形}, B={ x | x 是菱形},C={ x | x 是矩形},求 B ? C , 痧 , AB
S

A.

在学生阅读.思考的过程中,教师作个别指导,待学生经过阅读和思考完后,请 学生回答上述问题,并及时给予评价. (四)归纳整理,整体认识 1.通过对集合的学习,同学对集合这种语言有什么感受? 2.并集.交集和补集这三种集合运算有什么区别? (五)作业 1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律?
13

2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集.交集和补集的现实含义. 3.书面作业:教材第 14 页习题 1.1A 组第 7 题和 B 组第 4 题. 自选练习: 、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若集合 A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},则集合 A∩B=( A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1}C.{x|-2<x<2} 解析: 如图,∴A∩B={x|0<x<1},故选 D. 2.已知集合 M={1,2,3},N={2,3,4},则( A.M? N B.N? M C.M∩N={2,3} ) )

D.{x|0<x<1}

D.M∪N={1,4}

解析: M∩N={1,2,3}∩{2,3,4}={2,3}.故选 C. 1 2 2 3. A={x|2x -px+q=0}, ={x|6x +(p+2)x+5+q=0}, A∩B={ }, A∪B 设 B 若 则 2 等于( )
?1 ? ?1 1? B.? ,-4?C.? , ? ?2 ? ?2 3? ?1? D.? ? ?2?

?1 1 ? A.? , ,-4? ?2 3 ?

?1? 1 1 1 2 2 解析: ∵A∩B=? ?, ∴ ∈A, ∈B.将 分别代入方程 2x -px+q=0 及 6x +(p 2 2 2 ?2?

?1-1p+q=0, ?2 2 +2)x+5+q=0 联立,得? 3 1 ?2+2?p+2?+5+q=0. ?

∴?

? ?p=-7, ? ?q=-4.

?1 1? 1 2 2 ∴A={x|2x +7x-4=0}={-4, },B={x|6x -5x+1=0}=? , ?. 2 ?2 3? ?1 1 ? ∴A∪B=? , ,-4?,故选 A. ?2 3 ?

4.设集合 A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若 A∩B=?,则 实数 a 的取值范围是( ) D.{a|2≤a≤4}

A.{a|0≤a≤6} B.{a}a≤2 或 a≥4}C.{a|a≤0 或 a≥6}

解析: A={x|a-1<x<a+1}若 A∩B=?则 a+1≤1 或 a-1≥5∴a≤0 或 a≥6.故选 C. 二、填空题 5.已知集合 A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则 m=________. 解析: 由集合元素的性质知 m=3. 6.集合 M={x|-2≤x<1},N={x|x≤a},若??M∩N,则 实数 a 的取值范围为________. 解析: ∵??M∩N,∴M∩N≠?如图:∴a≥-2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知集合 A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求 A∩B,A∪B; (2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 A∪C=C,求实数 a 的取值范围. 解析: (1)∵B={x|x≥2},
14

∴A∩B={x|2≤x<3},A∪B={x|x≥-1}, (2)∵C={x|x>- },A∪C=C?A? C,∴- <-1,即 a>2. 2 2 8.已知集合 A={-4,2a-1,a },B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的 a 的 值:(1)9∈(A∩B);(2){9}=A∩B. 解析: (1)∵9∈(A∩B)∴9∈A,且 9∈B. ∴2a-1=9 或 a =9, ∴a=5 或 a=± 3. 当 a=3 时,B={-2,-2,9},违反了元素互异性,故舍去; 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},满足 9∈(A∩B); 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},满足 9∈(A∩B). 综上所述,a=-3 或 a=5 时,有 9∈(A∩B). (2)∵{9}=A∩B, ∴9∈(A∩B),且 9 是 A 与 B 的唯一公共元素. 由(1)知 a=-3 时,A∩B={9};
2 2

a

a

a=5 时,A∩B={-4,9}.
∴a=-3 时,有{9}=A∩B. ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)若集合 A={x|x -ax+a -19=0},B={x|x -5x+6=0},C={x|x +2x -8=0},求 a 的值使得??(A∩B)与 A∩C=?同时成立. 解析: B={x|x -5x+6=0}={2,3},
2 2 2 2 2

C={x|x2+2x-8=0}={-4,2},
∵??(A∩B),A∩C=?, ∴A 与 B 有公共元素而与 C 没有公共元素. ∴3∈A 将 x=3 代入方程 x -ax+a -19=0, 得 a -3a-10=0,解得 a=5 或 a=-2. 若 a=5,则 A={x|x -5x+6=0}={2,3}, 此时 A∩C={2}≠?,舍去; 若 a=-2,则 A={x|x +2x-15=0}={-5,3}, 此时 A∩C=?,满足要求. 综上可知,a=-2. 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={9},则
2 2 2 2 2

A=(

) B.{3,7,9} D.{3,9}
15

A.{1,3} C.{3,5,9}

解析:

由韦恩图知 A={3,9},故选 D. 答案: D 2.已知 A={x|x-2<0},B={x|x+1>0},则(?RA)∩B=( A.{x|x≥2} C.{x|-1<x<2} 解析: A={x|x<2},B={x|x>-1} ?RA={x|x≥2},?RA∩B={x|x≥2},故选 A. 答案: A 3. B.{x|x>-1} D.{x|x<2} )

设全集 U 是实数集 R,M={x|x<-2 或 x>2},N={x|1≤x≤3}.如图所示,则阴影 部分所表示的集合为( A.{x|-2≤x<1} C.{x|x≤2 或 x>3} 解析: ) B.{x|-2≤x≤3} D.{x|-2≤x≤2}

阴影部分所表示的集合为?U(M∪N)=?U{x|x<-2 或 x≥1}={x|-2≤x<

1}.故选 A. 答案: A 4.已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围 是( ) B.a<1 D.a>2

A.a≤2 C.a≥2 解析: ∵B={x|1<x<2}, ∴?RB={x|x≥2 或 x≤1}. 如右图, 若要 A∪(?RB)=R,必有 a≥2. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.如果 S={x∈N|x<6},A={1,2,3},B={2,4,5},那么(?SA)∪(?SB)=________. 解析: ∵S={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5}. ∴?SA={0,4,5},?SB={0,1,3}.
16

∴(?SA)∪(?SB)={0,1,3,4,5}. 答案: {0,1,3,4,5} 6.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A}, 则集合?U(A∪B)中的元素个数为________. 解析: A={1,2},B={2,4}, ∴A∪B={1,2,4},?U(A∪B)={3,5} 答案: 2 三、解答题 (每小题 10 分,共 20 分) 7. 已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, ={3,4,5}, ={4,7,8}, A∩B, ∪B, UA)∩(? A B 求: A (?
U
2

B),A∩(?UB),(?UA)∪B.

解析: 方法一:A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8}. ∵?UA={1,2,6,7,8},?UB={1,2,3,5,6}, ∴(?UA)∩(?UB)={1,2,6},A∩(?UB)={3,5},(?UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.

方法二:A∩B,A∪B,A∩?UB 求法同方法一, (?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={1,2,6}, (?UA)∪B=?U(A∩(?UB))={1,2,4,6,7,8}. 方法三:画出 Venn 图,如图所示,观察此图可得:A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8}, (?UA)∩(?UB)={1,2,6},

A∩(?UB)={3,5},(?UA)∪B={1,2,4,6,7, 8}.
8.已知 U=R,A={x|x +px+12=0},B={x|x -5x+q=0},若(?UA)∩B={2}, (?UB)∩A=4,求 A∪B. 解析: 由(?UA)∩B={2}, ∴2∈B 且 2?A, 由 A∩(?UB)={4}, ∴4∈A 且 4?B, 分别代入得{4 +4p+12=0?2 -5×2+q=0
2 2 2 2

∴p=-7,q=6; ∴A={3,4},B={2,3}, ∴A∪B={2,3,4}. ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)学校向 50 名学生调查对 A,B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人数 是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成; 另外,对 A,B 都不赞成的学生数比对 A,B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人,问
17

对 A,B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? 3 解析: 赞成 A 的人数为 50× =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如图所示. 5

记 50 名学生组成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A;赞成事件 B 的学生 全体为集合 B. 设对事件 A,B 都赞成的学生人数为 x,则对 A,B 都不赞成学生人数为 +1,赞成 A 3 而不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x,依题意(30-x)+

x

? ? (33-x)+x+? +1?=50,解得 x=21. ?3 ?
x
所以对 A,B 都赞成的学生有 21 人,都不赞成的有 8 人.

教学反思

18


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