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大学物理习题册答案 (2)

练习 十三

(简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成)

一、选择题

1. 一弹簧振子,水平放置时,它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上,试判断下列情况正确

的是

(C)

(A)竖直放置作简谐振动,在光滑斜面上不作简谐振动;

(B)竖直放置不作简谐振动,在光滑斜面上作简谐振动;

(C)两种情况都作简谐振动;

(D)两种情况都不作简谐振动。

解:(C)

竖直弹簧振子: m d 2 x dt 2

? ?k(x ? l) ? mg

? ?kx( kl ? mg ), d 2 x dt 2

??2x ? 0

弹簧置于光滑斜面上: m d 2 x ? ?k(x ? l) ? mg sin? ? ?kx dt 2

( kl ? mg ), d 2 x ? ? 2 x ? 0 dt 2

2. 两个简谐振动的振动曲线如图所示,则有

(A)

x

AB

(A) A 超前 π ; (B) A 落后 π ;(C) A 超前 π ; (D) A 落后 π 。

2

2

o

t

解:(A) xA ? Acos?t , xB ? Acos(?t ? ? / 2)

3. 一个质点作简谐振动,周期为T ,当质点由平衡位置向 x 轴正方向运动时,由平衡位置到二分之一最

大位移这段路程所需要的最短时间为:

(B) O

(A) T ; (B) T ; (C) T ; (D) T 。

4

12

6

8

解:(B)振幅矢量转过的角度 ?? ? ? / 6 ,所需时间 t ? ?? ? ? / 6 ? T , ? 2? / T 12

? /3 x

?? /6
A(0)

? A(t)

4. 分振动表式分别为 x1 ? 3cos(50πt ? 0.25π) 和 x2 ? 4cos(50πt ? 0.75π) (SI 制)则它们的合振动表达式

为:

(C)

(A) x ? 2cos(50πt ? 0.25π) ;

(B) x ? 5cos(50πt) ;

?

A

(C) x ? 5cos(50πt ? π ? arctan 1) ; (D) x ? 7 。

?

2

7

?

解:(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算

A2

A ? A12 ? A22 ? 2A1 A2 cos(?20 ? ?10 ) ? 32 ? 42 ? 2 ? 3? 4cos(0.75? ? 0.25? ) ? 5 ;

3? / 4 O

A1 ? /4

x

?0

? tg ?1

A1 sin ?10 A1 cos?10

? ?

A2 sin ?20 A2 cos?20

? tg ?1

3sin(0.25? ) ? 4sin(0.75? ) 3cos(0.25? ) ? 4 cos(0.75? )

?? 2

? tg ?1

1 7

5. 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端,弹簧的伸长分别为 ?l1 和 ?l2 ,且 ?l1 ? 2?l2 ,则

两弹簧振子的周期之比T1 : T2 为

(B)

(A) 2 ; (B) 2 ; (C)1/ 2 ; (D)1/ 2 。

解:(B) 弹簧振子的周期T ? 2?

m k

, k1

?

mg ?l1

,

k2

?

mg ?l2

, T1 T2

?

?l1 ? ?l2

2

6. 一轻弹簧,上端固定,下端挂有质量为 m 的重物,其自由振动的周期为 T.今已知振子离开平衡位置为

x 时,其振动速度为 v,加速度为 a.则下列计算该振子劲度系数的公式中,错误的是:

(B)

(A)

k

?

mv

2 m

a

x

/

xm2 ax ;

(B) k ? mg / x ;

(C) k ? 4?2m / T 2 ;

(D) k ? ma / x 。 解: B

7. 两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同.第一个质点的振动表式为 x1 = Acos(?t + ?).当

第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时,第二个质点正在最大正位移处.则第二个质

点的振动表式为

(A)

x2

?

Acos(?t ? ?

?

1π) ; 2

(B)

(C)

x2

?

A c os (?t

??

?

3π) ; 2

(D)

x2

?

A c os (?t

??

?

1π) 2



(B)

? A1

O

x2 ? Acos(?t ? ? ? ?) 。解:(B)作旋转矢量图

?

2? A2

x

1

8. 一质点沿 x 轴作简谐振动,振动表式为 x ? 4 ?10?2 cos(2?t ? 1 ?) 3
置在 x = -2cm 处,且向 x 轴正方向运动的最短时间间隔为

(SI 制)。从 t =? 0 时刻起,到质点位

A(0)

(C)

(A) 1 s ; (B) 1 s ; (C) 1 s ; (D) 1 s 。

8

6

2

4

解:(C)作旋转矢量图 tmin ? ?? /? ? ? / 2? ? 1/ 2s

4? /3 ? A(t)

? /3

O

x

x (cm)

二、填空题

? A(0)

10

1. 一简谐振动用余弦函数表示,其振动曲线如图所示,则此简谐振 动的三个特征量为 A =______;? =______;? 0=______。
解:由图可知 A ?10cm ? 0.1m,T ?12s ,? ? 2? /T ? ? / 6s?1 , O

5 ? /3

13

x O 1 4710

-10

t (s)

作旋转矢量得?0 ? ? / 3

题1图

2.单摆悬线长 l ,在悬点的铅直下方 l / 2 处有一小钉,如图所示。则单摆的左右两方振动 l

周期之比T1 : T2 为

。解:单摆周期T ? 2? l , T左 ? l左 ? 2 g T右 l右 2

2

l

3.一质点沿 x 轴作简谐振动,振动范围的中心点为 x 轴的原点。已知周期为 T,振幅为 A。

?

(1)若 t = 0 时质点过 x = 0 处且朝 x 轴正方向运动,则振动方程为 x =________。

A(0) ?

(2)若 t = 0 时质点处于 x ? 1 A 处且向 x 轴负方向运动,则振动方程为 x =_____。 O 2

3 ??

x

解:作旋转矢量图,由图可知(1) x ? Acos(2? t ? ? ) ;(2) x ? Acos(2? t ? ? )

?2 A(0)

T2

T3

4.有两个相同的弹簧,其劲度系数均为 k ,(1)把它们串联起来,下面挂一个质量为 m 的重物,此系统作

简谐振动的周期为

;(2)把它们并联起来,下面挂一质量为 m 的重物,此系统作简谐振动的周

期为



解:两个相同弹簧串联, 劲度系数为 k ,T ? 2? 2m ;两个相同弹簧并联,劲度系数为 2k ,T ? 2? m .

2

k

2k

5.质量为 m 的物体和一轻质弹簧组成弹簧振子,其固有振动周期为T ,当它作振幅为 A 的自由简谐振动

时,其振动能量 E =

。解:弹簧振子振动周期T ? 2?

m k

,k

?

4? 2m T2

,振动能量 E

?

1 kA2 2

?

2? 2m T2

A2

6.若两个同方向、不同频率的谐振动的表达式分别为 x1 ? Acos10πt 和 x2 ? Acos12πt ,则它们的合振

动频率为

,拍频为



解:? ? 2?? ,? 1? 5 , ? 2? 6 ,合振动频率? ? ? 2 ? ?1 ? 11 Hz ,拍频 ?? ?? 2 ??1 ?1Hz
22

7.两个同方向的简谐振动曲线如图所示。合振动的振幅为

?

________________,合振动的振动方程为___________________。

A2 (0) ?

解:作旋转矢量图 A2 ? A1 ;

x

?

( A2

?

A1

)

cos?? ?

2? T

t

?

? 2

?? ?

三、计算题

O2 ??
?2

1.质量 m = 10 g 的小球按如下规律沿 x 轴作简谐振动: A1 (0)

x
A2 A1 x-AO1 -A2

x1(t) t T x2(t)

x ? 0.1cos(8?t ? 2 ?) (SI).求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值以及振动的能量。 3

解:圆频率? ? 8? (1/ s) ,周期T ? 2? /? ? 1/ 4(s) ,振幅 A ? 0.1m ,初相?0 ? 2? / 3

振动速度最大值 vmax ? A? ? 0.1?8? ? 0.8? ? 2.5(m / s) ,

加速度最大值 amax ? A? 2 ? 0.1? (8? )2 ? 6.4? 2 ? 63(m / s2 )

振动的能量

E

?

1 2

k A2

?

1 2

mvm2 ax

?

1 2

? 0.01? 2.52

?

3.125?10?2

J

2?. 边长为 l 的一立方体木块浮于静水中,其浸入水中部分的深度为 h0 ,今用手指沿竖直方向将其慢慢压 下,使其浸入水中部分的深度为 h ,然后放手任其运动。若不计水对木块的粘滞阻力,试证明木块作简谐运

动,并求振动的周期T 和振幅 A 。(水和木块的密度分别为 ?1和?2 )

解:木块平衡时: mg ? ?1h0l 2 g ,取液面为坐标原点,向下为 x 轴正向,当木块浸入水中深度增加 x 时

2

m

d2x dt 2

?

?F浮

?

mg

,

? 2l 3

d2x dt 2

?

??1l 2 (x

?

h0 )g

?

? 2l 3 g

?

??1l 2 xg

d2x dt 2

?

?

?1g ?2l

x,

d2x dt 2

?

?

2 0

x

?

0,?

?

?1g ,T ? 2? ? 2?

?2l

?

?2l , ?1g

A ? x02 ? v02 / ? 2 ? h ? h0

3.一水平放置的弹簧振子,振动物体质量为 0.25kg,弹簧的劲度系数 k ? 25N ? m-1 。

(1) 求振动的周期 T 和角频率?; (2) 以平衡位置为坐标原点。如果振幅 A =15 cm,t = 0 时物体位于

x = 7.5 cm 处,且物体沿 x 轴反向运动,求振动的表达式; (3) 求振动速度的表达式。

?

解:(1) 角频率? ? k / m ? 25 / 0.25 ? 10(1/ s) ,T ? 2? /? ? 0.2? (s)

A(0)

(2) 作旋转矢量图,由图可知?0 ? ? / 3 x ? 0.15 cos??10t ? ? ?? (SI 制), ? 3?

(3) v ? ?1.5sin??10t ? ? ?? (SI 制) ? 3?

? /3

O

x

4. 一个弹簧振子作简谐振动,振幅 A ? 0.2m ,如弹簧的劲度系数 k ? 2.0N/m,所系物体的质量

m ? 0.50kg ,试求:(1)当系统动能是势能的三倍时,物体的位移是多少?(2)物体从正的最大位移处

运动到动能等于势能的三倍处所需的最短时间是多少?

解(1)由题意, Ek

?

3Ep , E

?

Ek

? Ep

? 4Ep

? 4? 1 kx2 2

?

1 kA2 ,得 4x2 2

?

A2

,

x ? ? 1 A ? ?0.1m ?2

(2) 由题意知 ? ? k / m ? 2.0 / 0.5 ? 2(1/ s) ,

A(0)

作旋转矢量图知: ?? ? ? / 3 ,最短时间为 ?t ? ?? /? ? ? / 6(s)

5.有两个同方向、同频率的简谐振动,它们的振动表达式为:

x1

?

0.05 cos

???10t

?

3 4

π

? ??



x2

?

0.06 cos ???10t

?

1 4

π

? ??

(SI

制)

? /3

O

x

(1)求它们合成振动的振幅和初相。(2)另有一个振动 x3 ? 0.07 cos(10t ? ?0 ) ,问 ?0 为何值时,

x1 ? x3 的振幅最大;?0 为何值时, x2 ? x3 的振幅最小。

解:(1)由图可知 A ?

A12

?

A22

? 0.078m ,?0

?

? 4

? tg ?1

5 6

? 84.80

(2)

x1

?

x3

的振幅最大时 ?

0? ?10

?

3? 4

;

x2 ? x3 的振幅最小时? 0??20 ? ??

,?0

?

5 ? , (或 ? 4

3?) 4

练习 十四

? A

? A1

? A2

3? / 4 ? / 4

O

x

平面简谐波、波的能量

一、选择题

1.一个平面简谐波沿 x 轴负方向传播,波速 u ?10m/s。 x ? 0 处,质点振动曲线如图所示,则该波的表

达式(SI 制)为

(B )

y(m)

(A) y ? 2cos(π t ? π x ? π ) ;(B) y ? 2cos(π t ? π x ? π) ;

2 20 2

2 20 2

2 o

123 4

(C) y ? 2sin( π t ? π x ? π) ;(D) y ? 2sin( π t ? π x ? π) 。 ? 2

t(s)

2 20 2

2 20 2

解:(B)由图可知 T

? 4s , x

?

0 处质点振动方程

y0

?

Acos?? 2? ?T

t

? ?0

?? ?

?

2 cos?? ? ?2

t

?? 2

?? ?

O ??

y

?2

A(0)

x=0 处质点在 t=0

时振幅矢量.

波的表达式

y

?

2 cos??? ?? 2

???? t

?

x u

????t

?

?? ?
2 ??

?

2 cos????2

?? t ?

?x 10

??t ?

?

?? 2 ??

?

2 cos????2

t

?

?x 20

?

?? 2 ??

2.一个平面简谐波沿 x 轴正方向传播,波速为 u ?160m/s,t ? 0 时刻的波形图如图所示,则该波的表达

式(SI 制)为

(C)

(A) y ? 3cos(40πt ? π x ? π) ;(B) y ? 3cos(40πt ? π x ? π) ;

42

42

y(m)

u?

3

(C) y ? 3cos(40πt ? π x ? π) ;(D) y ? 3cos(40πt ? π x ? π) 。

42

42

解:(C)由图可知 ? ? 8m, u ? 160m / s ,? ? u / ? ? 20(1/ s) ,? ? 2?? ? 40? (1/ s)

3

o

4

8 x(m)

?O3 ??

y

?2

A(0)

x=0 处质点在 t=0

时振幅矢量.

设 x ? 0 处质点振动方程为 y0 ? Acos?40?t ? ?0 ? ,? t ? 0 时 x ? 0 处质点位移为零且向 y 轴正向运动,

作旋转矢量图知 ? 0

?

?? 2

,

y0

? 3cos?? 40?t ?

?? 2

?? ?

波的表达式

y

?

3

cos??40? ?

?? t ?

?

x 160

?? ?

?

? 2

? ? ?

?

3cos?? ?

40?t

?

? 4

x

?

? 2

?? ?

3?. 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播,在 t = t'时波形曲线如图所示.则y 坐标原点 O 的振动方程



(D)

a

u

(A) y ? a cos[u (t ? t?) ? ?] ;(B) y ? a cos[2? u (t ? t?) ? ?] ;

b

2

b

2

O

x

(C) y ? a cos[? u (t ? t?) ? ?] ;(D) y ? a cos[? u (t ? t?) ? ?]。

b

b

2

b

2

解:(D) 由图可知 ? ? 2b ,? ? v / ? ? v / 2b ,? ? 2?? ? ?v / b

? t ? t? 时 x ? 0处质点位移为零且向 y 轴正向运动,? cos?0 ? 0 , ? sin ?0 ? 0 ,?0 ? ?? / 2

4. 一个平面简谐波在弹性媒质中传播,媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中

(C)

(A)它的势能转o 化成动能;

(B)它的动能转化成势能;

(C)它从相邻的媒质质元获得能量,其能量逐渐增加;

(D)把自己的能o 量传给相邻的媒质质元,其能量逐渐减小。

解:(C)质元的动能 dEk ? v 2 ,势能 dEP ? ??y / ?x?2 ,质元由最大位移处回到平衡位置过程中, v 和 ?y / ?x 由

0 ? 到最大值.
5.一平面简谐波在弹性媒质中传播时,在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处,则它的 ( B ) (A)动能为零,势能最大; (B)动能为零,势能也为零; (C)动能最大,势能也最大;(D)动能最大,势能为零。

解:(B)质元的动能 dEk ? v 2 ,势能 dEP ? ??y / ?x?2 ,质元在最大位移处, v 和 ?y / ?x 均为 0 .

6.频率为 100 Hz,传播速度为 300 m/s 的平面简谐波,波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π / 3 ,

则此两点相距

(C)

(A) 2.86 m; (B) 2.19 m; (C) 0.5 m; (D) 0.25 m。

解:(C) 波长 ? ? u /? ? 300/100 ? 3m, ? ? 2? , x ? ?? , 3/ x ? 2? /(? / 3) , x ? 0.5m

7.在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波强度之比是 I1 : I2 ? 4 ,则两列波的振幅之比 A1 : A2 为

(A) 4 ; (B) 2 ; (C)16 ; (D)0.25。

(B)

解:(B)波强 I ? 1 ?A2? 2u , I1 ? A12 ? 4

2

I 2 A22

8.在下面几种说法中,正确的是:

(C)

(A)波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的;

(B)波源振动的速度与波速相同;

(C)在波传播方向上,任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后;

(D)在波传播方向上,任一质点的振动位相总是比波源的位相超前。

解:(C)在波传播方向上,任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后

二、填空题

1. 产生机械波的必要条件是



。解:波源,介质.

2. 一平面简谐波的周期为 2.0s ,在波的传播路径上有相距为 2.0cm 的 M 、N 两点,如果 N 点的位相比

M 点位相落后 π ,那么该波的波长为 6

,波速为



解: ? ? 2? , x ? ?? ,

? ?x

?

2? ??

,?

?

2? ??

?x

?

2? ? /6

?

2

?

24cm

,u

?

?

/T

? 12cm/

s

3. 我们

(填能或不能)利用提高频率的方法来提高波在媒质中的传播速度。

解:不能.波速由媒质的性质决定.

4. 处于原点( x ? 0 )的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为 y ? Acos(Bt ? Cx) ,其中 A 、B 、C

皆为常数。此波的速度为

;波的周期为

;波长为

;离波源距离

为 l 处的质元振动相位比波源落后

;此质元的初相位为



解: y ? Acos(Bt ? Cx) ? AcosB(t ? x ) ? Acos?(t ? x) , u ? B / C ,T ? 2? /? ? 2? / B ,

B/c

u

? ? uT ? 2? / C , ?? / 2? ? l / ? , ?? ? 2?l / ? ? Cl ,初相 ? Cl

4

5.

一平面简谐波沿 x 轴正向传播,波动方程为 y ?

Acos[?(t

?

x) u

?

π] 4

,则

x

?

L1

处质点的振动方程



,x ? ?L2 处质点的振动和 x ? L1 处质点的振动的位相差为?2 ? ?1 ?



解:波方程中

x

用特定值表示后即表示特定质点振动方程

y1

?

A c os [? (t

?

L1 u

)

?

?] 4

?

A c os?1

y2

?

A c os [? (t

?

L2 u

)?

?] 4

?

Acos?2 ,?2

? ?1

?

?(L2 ? u

L1 )

6.一平面简谐波(机械波)沿 x 轴正方向传播,波动表达式为 y ? 0.2 cos(?t ? 1 ?x) (SI 制),则 x = -3 m 2

处媒质质点的振动加速度 a 的表达式为____________________________。

解: a

?

?2 y ?t 2

?

?0.2?

2

cos(π

t

?

1π 2

x) ,

a

x??3

?

?0.2?

2

cos(π

t

?

3π ) 2

?

?0.2?

2

sinπ

t

三、计算题

1.一平面简谐波,振动周期 T ? 0.5 s,波长? = 10m,振幅 A = 0.1m。当 t = 0 时,波源振动的位移恰好
为正方向的最大值。若坐标原点和波源重合,且波沿 x 轴正方向传播,求:(1)波源的振动表达式;(2)简谐 波的波动表达式;(3) x1 = ? /4 处质点,在 t2 = T /2 时刻的位移和振动速度。
解:由题意可知? ? 2? /T ? 4? (1/ s) , u ? ? /T ?10/ 0.5 ? 20m/ s

(1) 设波源的振动表达式为 y ? 0.1cos(4?t ? ?0 ) ,?t ? 0, y0 ? 0.1m ,?0.1 ? 0.1cos?0 ,?0 ? 0 , y ? 0.1cos4?t (2) 波动表达式 y ? 0.1cos4? (t ? x / 20) (SI 制)

(3) 将 x1 ? 2.5m,t2 ? 0.25s 代入波动表达式得: y ? 0.1cos4? (0.25 ? 2.5/ 20) ? 0.1cos0.5? ? 0 振动速度 v ? ?y / ?t ? ?0.4? sin 4? (t ? x / 20)

将 x1 ? 2.5m,t2 ? 0.25s 代入, v ? ?0.4? sin 4? (0.25 ? 2.5/ 20) ? ?0.4? sin 0.5? ? ?0.4? (m/ s)

2.一振幅为 0.1m,波长为 2 m 的平面简谐波。沿 x 轴正向传播,波速为 1m/s。t = 2s 时,x=1m 处的质点

处于平衡位置且向正方向运动。求:(1)原点处质点的振动表达式;(2)波的表达式;(3)在 x = 1.5m 处质点

的振动表达式.
解:由题意可知 A ? 0.1m,? ? 2m,u ?1m / s ,

p0 u p

T ? ? / u ? 2(s) ,? ? 2? /T ? ? (1/ s)

O 1m x x

(2)设 x=1m 处的质点振动表达式 y1 ? Acos(?t ? ?0 ) ? 0.1cos(?t ? ?0 ) 因为 t = 2s 时,该质点处于平衡位置且向正方向运动

所以 0.1cos(2? ? ?0 ) ? 0 , ? 0.1? sin(2? ? ?0 ) ? 0 ,?0 ? ?? / 2 , y1 ? 0.1cos(?t ? ? / 2)

波的表达式为

y

?

0.1cos??? ?

?? ?

t

?

x ?1?? 1?

?

? 2

? ? ?

?

0.1cos????

?t

?

x??

? 2

? ??

(SI

制)

(1) 令 x ? 0 得, y ? 0.1cos(?t ?? / 2) (SI 制)

(3) 令 x ?1.5m得, y ? 0.1cos?? ?t ?1.5?? ? / 2? ? 0.1cos(?t ?? ) (SI 制)

u?

b

a

5m

3. 一平面简谐波在介质中以速度 u ? 20m/s沿 x 轴负方向传播,如图所示。已知 a 点的振动表式为 ya ? 3cos4πt (SI 制)。
(1)以 a 为坐标原点写出波动表达式。 (2)以距 a 点 5m 处的 b 点为坐标原点,写出波动表达式。

解:(1) y ? 3cos 4? (t ?

x ) ? 3cos 4? (t ?

x ) ? 3cos(4?t ? ?x ) (SI 制)

20

20

5

b p ua

(2) y ? 3cos[4? (t ? 5 ? x)] ? 3cos(4?t ? ?x ? ? ) (SI 制)

20

5

4.某质点作简谐振动,周期为 2 s,振幅为 0.06 m,t = 0 时刻,质点的位移为

Ox x b p ua

0.03 m,且向正方向运动,求:(1) 该质点的振动表达式;(2) 此振动以速度 u=2m/s O x

x

沿 x 轴负方向传播时,波的表达式;

(3) 该波的波长。

解:(1) 由题意可知 A ? 0.06m,? ? 2? /T ? ? (1/ s) ,

设振动表达式为 y ? 0.06 cos(?t ? ?0 ) ,
? t = 0 时刻,质点的位移为 0.03 m,且向正方向运动,? cos?0 ? 0.5, ? sin?0 ? 0 ,?0 ? ?? / 3
y ? 0.06cos(?t ?? / 3)

5

(2) 波的表达式 y ? 0.06cos[? (t ? x / 2) ?? / 3] ? 0.06cos[? (t ? x / 2) ?? / 3](SI 制)

(3) 波长 ? ? uT ? 4m

y(m)

5.一列沿 x 正向传播的简谐波,已知 t1 ? 0 和 t2 ? 0.25s 时的波形 0.2

如图所示。(假设周期T ? 0.25s )试求 (1) P 点的振动表达式;(2)此波的波动表式;

o

P

(3)写出 o 点振动方程并画出 o 点的振动曲线。

? 0.2

解:由图可知

0.45m

t1 ? 0 x(m)
t2 ? 0.25s

T ? 4? 0.25 ? 1s , ? ? 0.6m , v ? ? /T ? 0.6m/ s ,? ? 2? / T ? 2? (1/ s) y(m)

(1) P 点振动表达式 yP ? Acos(?t ? ?P0 ) ? 0.2cos(2?t ?? / 2) (SI 制)

O

(2) 波动表式 y ? 0.2 cos[2? (t ? x ? 0.3) ? ? ] ? 0.2cos[2? (t ? x ) ? ? ] (SI 制)

t(s)

0.6 2

0.6 2

(3) O 点振动方程

yO

?

0.2 cos(2?t

?

?) 2

(SI

制)

6.一平面简谐声波,沿直径为 0.14m 的圆柱形管行进,波的强度为 9.0?10?3W/m2,频率为 300Hz,波速

为 300m/s。问:(1)波的平均能量密度和最大能量密度是多少?(2)每两个相邻的、相位差为 2π 的同相

面间有多少能量?

解(1)

I

?

1 2

?A2? 2u

?

w u, w

?

I

/u

?

9.0 ?10?3

/ 300 ?

3.0 ?10?5

J

? m?3

,

wm a x

?

2w

?

6.0 ?10 ?5

J

? m ?3

(2)V ? s?,, w ? wV ? 1 ?d 2?w ? 4.62?10?7 J 4

练习 十五

知识点:波的干涉、驻波、多普勒效应

一、选择题

1.如图所示,两列波长为? 的相干波在 P 点相遇.波在 S1 点振动的初相是??1, S1 到 P 点的距离是 r1;波在 S2 点的初相是??2,S2 到 P 点的距离是 r2,以 k 代表零

S1

r1

P

或正、负整数,则 P 点是干涉极大的条件为:

()

(A) r2 ? r1 ? k? ;

(B) ?2 ? ?1 ? 2k? ;

S2

r2

(C) ?2 ? ?1 ? 2?(r2 ? r1) / ? ? 2k? ; (D) ?2 ??1 ? 2π(r1 ? r2 ) / ? ? 2kπ 。

解:(D)

y1 p

?

A1 cos???2? (t

?

r1 u

)

?

?1

? ??

?

A1

cos?1 ,

y2 p

?

A2

cos???2? (t

?

r2 u

)

?

?2

? ??

?

A2

cos ? 2

?? ? ?2

? ?1

? ?2

? ?1 ? 2?

r2 ? r1 ?

? ?2

? ?1 ? 2?

r1 ? r2 ?

? 2k?

2.两个相干波源的相位相同,它们发出的波叠加后,在下列哪条线上总是加强的?

()

(A)两波源连线的垂直平分线上; (B)以两波源连线为直径的圆周上;

(C)以两波源为焦点的任意一条椭圆上;(D)以两波源为焦点的任意一条双曲线上。

解: (A) ??

? ?20

? ?10

? 2?

r2 ? r1 ?

,对相干波源,? 20

? ?10 ,在垂直平线上 r2

? r1, ??

? 0.

3.平面简谐波 x ? 4sin(5πt ? 3πy) 与下面哪列波干涉可形成驻波?

()

(A) y ? 4sin 2π(2.5t ?1.5x) ; (B) y ? 4sin 2π(2.5t ?1.5x) ;

(C) x ? 4sin 2π(2.5t ?1.5y) ; (D) x ? 4sin 2π(2.5t ?1.5y) 。

解:(D)波方程 x ? 4sin(5?t ? 3?y) 中, x 为各质点相对平衡位置的位移, y 为质点平衡位置的坐标.

4.在驻波中,两个相邻波节间各质点的振动

()

(A) 振幅相同,相位相同; (B) 振幅不同,相位相同;

(C) 振幅相同,相位不同; (D) 振幅不同,相位不同。

解: (B) 相邻波节间各质点的振动振幅不同,相位相同。

5. 在波长为? 的驻波中,两个相邻波腹之间的距离为

()

(A) ??/4; (B) ??/2;

(C) 3??/4;

(D) ??。

解: (B) 两个相邻波腹(波节)之间的距离为??/2。

6?. 一机车汽笛频率为 750 Hz,机车以时速 90 公里远离静止的观察者.观察者听到的声音的频率是(设空

气中声速为 340 m/s).

()

(A) 810 Hz; (B) 699 Hz; (C) 805 Hz; (D) 695 Hz。

6

解: (B)? ? ?

u? ??

?

u (u ? u源)T

?

u? u ? u源

?

340 ? 750 340 ? 25

? 699 Hz

7?. 设声波在媒质中的传播速度为 u ,声源的频率为 vS ,若声源 S 不动,而接收器 R 相对于媒质以速度?R

沿 S 、 R 连线向着声源 S 运动,则接收器 R 接收到的信号频率为:

()

(A) vS ;

(B)

u

? ?R u

vS



(C)

u

??R u

vS ;

(D)

u

u ??R

vS



解: (B)观察者收到的信号频率=测得的波速与波长的比值? ? ? u? ? u ? v观 ? u ? v观 ?

?? uT

u

二、填空题

1.设 S1 和 S2 为两相干波源,相距 0.25? , S1 的相位比 S2 的相位超前 0.5? 。若两波在 S1 与 S2 连线方向 上的强度相同均为 I 0 ,且不随距离变化。则 S1 与 S2 连线上在 S1 外侧各点合成波的强度为_____,在 S2
外侧各点合成波的强度为_______________。

解:

S1 外侧 ??

? ?20

? ?10

? 2?

r2

? ?

r1

? ?0.5? ? 2? 0.25? ? ?? ,波的强度为零 ?

S2

外侧 ??

? ?20

? ?10

? 2?

r2

? r1 ?

?

?0.5?

? 2?

? 0.25? ?

?

0 ,波的强度为 4I0

2.简谐驻波中,在同一个波节两侧距该波节的距离相同的两个媒质元的振动相位差为________。解: ?

3. 一驻波表式为 y ? 4 ?10?2 cos 2πx cos400t(SI 制),在 x ? 1/ 6(m) 处的一质元的振幅为



振动速度的表式为



解: A ? 4 ?10?2 cos?2? ?1/ 6? ? 2 ?10?2 m , x ? 1/ 6m 处质点振动方程为 y ? 2 ?10 ?2 cos 400t ,质点速度的表式

v ? ?8sin 400t ( SI 制). 4. (a)一列平面简谐波沿 x 正方向传播,波长为 ? 。若在 x ? 0.5? 处质点的振动方程为 y ? Acos?t ,

则该平面简谐波的表式为



(b)如果在上述波的波线上 x ? L ( L ? 0.5? )处放一垂直波线的波密介质反射面,且假设反射波

的振幅衰减为 A? ,则反射波的表式为

( x ? L )。

解: (a) y ? Acos???t ? x ? ? / 2 ??

?

u?

?

A cos???t ?

?

?x u

?

?? 2u

?? ?

?

A cos???t ?

?

2?x ?

?

?

?? ?

x

O ?/2 P

x

(b)

y

?

A?

c os???? ??? t

?

L

?? u

/

2

?

L

? u

x

? ? ?

??

? ??

?

A cos???t ?

?

2?x ?

?

4?L ?

?? ?

5.一驻波方程为 y ? Acos2πxcos100πt (SI 制),位于 x1 ? 3 / 8m 的质元与位于 x2 ? 5 / 8m 处的质元的振

动位相差为



解:

y

x1

?

Acos 3? 4

cos100?t

?

?

2 Acos100?t , 2

y x2

? A cos 5? cos100?t ? ? 8

2 A cos100?t ;位相差为 0 2

6?. 一汽笛发出频率为 700Hz 的声音,并且以15m/s的速度接近悬崖。由正前方反射回来的声波的波长为

(已知空气中的声速为 330m/s)



解: ?? ? (u ? u源)T ? (u ? u源)/? ? 315 / 700 ? 0.45m

三、计算题

1.波速为 u ? 0.20m ?s?1 的两列平面简谐相干波在 P 点处相遇,两个波源 S1 和 S2 的振动表式分别为 y10 ? 0.1cos 2? t (SI 制)和 y20 ? 0.1cos(2? t ? π) (SI 制)。已知 PS1 ? 0.40m , PS2 ? 0.50m ,求:
(1)两列波的波函数;(2)两列波传播到 P 点的位相差;(3)干涉后 P 点的振动是加强还是减弱,以及 P 点合振幅。

解:(1)设 r1 为空间某点到波源 S1 的距离, r2 为空间某点到波源 S1 的距离,则 y1 ? 0.1cos2? (t ? r1 / 0.2) ? 0.1cos(2?t ?10?r1) (SI 制), y2 ? 0.1cos[2? (t ? r2 / 0.2) ?? ] ? 0.1cos(2?t ?10?r2 ?? ) (SI 制)

7

(2)在两波相遇处 ??

? ?20

? ?10

? 2?

r2

? r1 ?

??

? 2?

0.50 ? 0.40 0.2

?

0

(3) ?? ? 0 ,P 点的振动加强,合振幅为 0.2m

2. 在弹性媒质中有一沿 x 轴正向传播的平面波,其表达式为 y ? 0.01cos(4t ?π x ?π / 2) (SI 制)。若在 x =

5.00 m 处发生固定端反射,设反射波的强度不变,试写出反射波的表达式。 解: 入射波引起分界面处质点的振动方程

y ? 0.01cos(4t ? 5π ?π / 2) ? 0.01cos(4t ? 5.5π )

设反射波的表达式为 y ? 0.01cos(4t ?π x ? ?0 ) 反射波引起分界面处质点的振动方程 y ? 0.01cos(4t ? 5? ? ?0 ) ,反射波比入射波在分界面处引起质 点的分振动相位落后 ?

4t ? 5? ? ?0 ? (4t ? 5.5? ) ? ?? ?0 ? ?11.5? y ? 0.01cos(4t ?π x ?11.5? ) ? 0.01cos(4t ?π x ?? / 2)

3.设入射波的表达式为

y1

?

Acos2?( x ?

?

t T

) ,在

x

=

0

处发生反射,反射点为一固定端。设反射时无

能量损失,求:(1) 反射波的表达式;(2) 合成的驻波的表达式;(3) 波腹和波节的位置。

解: (1)入射波引起分界面处(x=0)质点的振动方程 y10 ? Acos2π t /T

反射波比入射波在 x=0 处引起质点的分振动相位落后?
反射波引起 x=0 处质点的振动方程 y20 ? Acos?2π t /T ?? ?

反射波的表达式为

y2

?

A

cos???2π

?? ?

t T

?

x ?

?? ?

??

? ??

(2)

y

?

y1

?

y2

?

2Acos?? 2? ?

x ?

?

? 2

?? cos?? 2? ??

t T

?? 2

?? ?

(3)波节 x ? k ? k ? 0,1,2? ;波腹 x ? (2k ?1) ? k ? 0,1,2?

2

4

4?. 一声源的频率为1080Hz ,相对于地以 30m/s的速率向右运动。在其右方有一反射面相对于地以

65m/s的速率向左运动。设空气中的声速为 331m/s。求

(1)声源前方空气中声波的波长;

(2)每秒钟到达反射面的波数;

(3)反射波的速率。

解:(1) ?? ? (u ? u源)T ? (u ? u源)/? ? 301 /1080 ? 0.279 m

(2)? ? ? u? ? u ? v观 ? 331? 65 ?1080 ? 1421Hz ?? (u ? v源)T 331? 30

(3)反射波的速率为 331m/s。
5?. 如图所示,试计算:

(1)波源 S 频率为 2040Hz ,以速度?S 向一反射面接近,观察者在 A 点听得拍音的频率为 ?v ? 3Hz ,

求波源移动的速度大小?S 。设声速为 340m/s 。

(2)若(1)中波源没有运动,而反射面以速度? ? 0.20m/s向观察者 A 接近。观察者在 A 点所听得

的拍音频率为 ?v ? 4Hz ,求波源的频率。

解:

(1)? 1

??? ?

u? ??

?

u (u ? vs )T

?

340 340 ? vS

? 2040

?2

??? ?

u? ??

?

u (u ? vs )T

?

340 340 ? vS

? 2040

反射面

A

S

??

??2

??1

?

340 340 ? vS

? 2040

?

340 340 ? vS

? 2040

?

2 ?340 ? vs 340 2 ? vs2

? 2040

?3

vS ? 0.25m / s

(2)?1

? 2040

,? 2

??? ?

u? ??

?

u?v (u ? v)T

?

340 340

? 0.2 ?? ? 0.2

8

??

??2

??1

?

340.2 339.8

??

??

?

4

,?

? 3398Hz

练习 十九

知识点:理想气体状态方程、温度、压强公式、能量均分原理、理想气体内能

一、选择题

1. 容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体,温度为T,分子质量为m,则分子速度在x方向的分量

平均值为 (根据理想气体分子模型和统计假设讨论)

()

(A)?x

?

1 3

8kT πm



(B)?x

?

8kT 3πm



(C) ? x

?

3k T 2m



(D)?x

?0。

解:(D)平衡状态下,气体分子在空间的密度分布均匀,沿各个方向运动的平均分子数相等,分子速度在各个方

向的分量的各种平均值相等,分子数目愈多,这种假设的准确度愈高.

2. 若理想气体的体积为V,压强为p,温度为T,一个分子的质量为m,k为玻耳兹曼常量,R为摩尔气体常

量,则该理想气体的分子数为

()

(A)pV/m; (B)pV/(kT); (C)pV/(RT); (D)pV/(mT)。

解: (B)理想气体状态方程 pV ? M RT ? Nm RT ? N R T ? NkT

M mol

N Am

NA

3.根据气体动理论,单原子理想气体的温度正比于

()

(A)气体的体积;

(B)气体的压强;

(C)气体分子的平均动量;(D)气体分子的平均平动动能。

解:

(D) ? k

?

1 mv2 2

?

3 kT 2

(分子的质量为 m)

4.有两个容器,一个盛氢气,另一个盛氧气,如果两种气体分子的方均根速率相等,那么由此可以得出下

列结论,正确的是

()

(A)氧气的温度比氢气的高; (B)氢气的温度比氧气的高;

(C)两种气体的温度相同; (D)两种气体的压强相同。

解:(A)

?k

? 1 mv2 ? 3 kT , mO2

2

2

mH2

? TO2 TH 2

(分子的质量为m)

5.如果在一固定容器内,理想气体分子速率都提高为原来的2倍,那么

()

(A)温度和压强都升高为原来的2倍;

(B)温度升高为原来的2倍,压强升高为原来的4倍;

(C)温度升高为原来的4倍,压强升高为原来的2倍;

(D)温度与压强都升高为原来的4倍。

解:(D)根据公式 p ? 1 nmv2 , p ? nkT 即可判断. (分子的质量为 m) 3

6.一定量某理想气体按 pV2=恒量的规律膨胀,则膨胀后理想气体的温度

()

(A)将升高; (B)将降低; (C)不变; (D)升高还是降低,不能确定。

解:(B) pV2=恒量, pV/T=恒量,两式相除得VT=恒量

二、填空题

1.质量为 M,摩尔质量为 Mmol,分子数密度为 n 的理想气体,处于平衡态时,状态方程为_______________, 状态方程的另一形式为_____________,其中 k 称为____________常数。

解: pV ? M RT ; p ? nkT ;玻耳兹曼常数 M mol

2.两种不同种类的理想气体,其分子的平均平动动能相等,但分子数密度不同,则它们的温度



压强

。如果它们的温度、压强相同,但体积不同,则它们的分子数密度

,单位体积

的气体质量

,单位体积的分子平动动能

。(填“相同”或“不同”)。

解:

平均平动动能 ? k

?

1 mv2 2

?

3 kT , 2

p

?

nkT ?相同,不同;相同,不同;相同.

(分子的质量为 m)

3.理想气体的微观模型:

(1)___________________________________;(2)____________________________________;

(3)____________________________。简言之理想气体的微观模型就是____________________。

解: (1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计.(2)气体分子的运动服从经典力学规律.在

碰撞中,每个分子都可以看作完全弹性的小球.(3)除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。简言之:

气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性分子的集合。

4.氢分子的质量为 3.3?10?24g,如果每秒有 1023 个氢分子沿着与容器器壁的法线成 45?角方向以 105cm/s

9

的速率撞击在 2.0cm2 面积上(碰撞是完全弹性的),则由这些氢气分子产生的压强为_________________。

解: 2Nmv cos? S

?

2 ?10 23 s ?1 ? 3.3?10 ?27 kg ?10 3 ms ?1 ? 0.707 2 ?10 ?4 m2

? 2.33 ?10 3 N

/ m2

(分子的质量为 m)

5.宏观量温度 T 与气体分子的平均平动动能 ? k 的关系为 ? k =___,因此,气体的温度是_______的量度。

解: ? k

?

3 kT , 2

分子的平均平动动能(分子无规则热运动的程度)

6?.储有氢气的容器以某速度 v 作定向运动,假设该容器突然停止,气体的全部定向运动动能都变为气体

分子热运动的动能,此时容器中气体的温度上升 0.7 K ,则容器作定向运动的速度 v =__________m/s,容器

中气体分子的平均动能增加了__________J。

解: 1 Mv2 ? M i R?T ,v ?

2

M mol 2

iR?T ? M mol

5? 8.31? 0.7 2 ?10?3

? 120.6m / s

分子的平均动能(平动动能+转动动能)增加 i k?T ? 5 ?1.38?10?23 ? 0.7 ? 2.42?10?23 J

2

2

三、计算题

1.有一水银气压计,当水银柱高度为 0.76m 时,管顶离水银柱液面为 0.12m。管的截面积为 2.0?10?4m2。

当有少量氦气混入水银管内顶部,水银柱高度下降为 0.60m。此时温度为 27℃,试计算有多少质量氦气在 管顶?(氦气的摩尔质量为 0.004kg/mol,0.76m 水银柱压强为 1.013?105Pa)

解:设管顶部氦气压强为 p , p ? 0.16mHg ? 0.16 ?1.013?105 ? 2.13?104 pa
0.76

V ? 0.28? 2.0 ?10?4 ? 5.6 ?10?5 m3

由理想气体状态方程 pV ? M RT 可得, M mol

M ? pVMmol ? 2.13?104 ? 5.6?10?5 ? 0.004 ? 1.91?10?6 (kg)

RT

8.31? (27 ? 273)

2.一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。若氢气分子的平均平动动能为 ? k = 6.21×10?21 J。求:

(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率;

(2) 氧气的温度。(阿伏伽德罗常量 NA=6.022×1023 mol?1,玻尔兹曼常量 k=1.38×10?23 J·K?1)

解:(1)

温度相同,分子的平均平动动能相同

?k

? 3 kT ? 1 mv2 22

? 6.21?10?21 J ,(分子的质量为 m)

v2 ?

2? k ? m

2? k N A ? M mol

2 ? 6.21?10?21 ? 6.022?1023 32.0 ?10?3

? 484m / s

(2)

氧气的温度

T

? 2?k 3k

?

2 ? 6.21 ?10?21 3?1.38 ?10?23

?

300 K

3.(1)有一带有活塞的容器中盛有一定量的气体,如果压缩气体并对它加热,使它的温度从 27℃升到

177℃、体积减少一半,求气体压强变为原来的几倍?(2)这时气体分子的平均平动动能变为原来的几倍?

分子的方均根速率变为原来的几倍?

解:(1) 根据理想气体状态方程,由题意可知

pV ? M RT , p? V ? M RT ? , p? ? 2T ? ? 2(273 ?177 ) ? 3, p? ? 3 p

M mol

2 M mol

pT

300

(2)

根据分子平均平动动能公式可知

?k

?

3 2

kT

,

?

k?

?

3 kT ? , ? k?

2

?k

? T ? ? 273 ? 173 T 273 ? 27

? 1.5

根据方均根速率公式 v2 ? 3RT , v?2 ? 3RT ? , v?2 / v2 ? T ? / T ? 3 / 2 ? 1.225

M mol

M mol

4.水蒸气分解为同温度 T 的氢气和氧气 H2O

→H2+

1 2

O2

时,1

摩尔的水蒸气可分解成

1

摩尔氢气和

1 2



尔氧气。当不计振动自由度时,求此过程中内能的增量。

解:水蒸汽的自由度 i

? 6 , EH2O

?

M M mol

?

i 2

RT

? 3RT

10

氢气和氧气的自由度均为

5, EH2

? EO2

?

5 RT ? 2

1 ? 5 RT 22

? 15 RT 4

内能的增量 ?E ? 15 RT ? 3RT ? 3 RT

4

4

5.有 2×10?3 m3 刚性双原子分子理想气体,其内能为 6.75×102 J。(1) 试求气体的压强;(2) 设分子总数

为 5.4×1022 个,求分子的平均平动动能及气体的温度。

解:(1)因为 PV ? M RT ,内能 E ? M 5 RT ? N ? 5 kT 。

M mol

M mol 2

2

所以

p?

2E 5V

?

2? 6.75 ?10 2 5? 2?10 ?3

? 1.35 ?105 N / m2

(2)分子的平均平动动能 ? k

?

3 kT 2

?

3 ? 2E 2 5N

?

3E 5N

?

3? 6.75 ?10 2 5? 5.4?10 22

? 7.5?10 ?21 J

?k

?

3 kT 2

?

3 ?1.38?10?23 ?T 2

?

7.5?10?21 J

,T

? 362K

6.一容器被中间的隔板分成相等的两半,一半装有氦气,温度为 250K;另一半装有氧气,温度为 310K,

二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解:设氦气、氧气的摩尔数分别为 ?1 、 ?2 ,根据理想气体状态方程可知

pV 2

? ?1RT1 ,

pV 2

?

?2

RT2

,

?2 ?1

?

T1 T2

将系统进行的过程近似地看成绝热过程,又因系统对外不作功,内能守恒

E1

?

E2

?

E1?

?

E2? , ?1

3 2

RT1

?

?2

5 2

RT2

?

?1

3 2

RT

?

?2

5 2

RT

,

T ? 3?1T1 ? 5?2T2 ? 3T1 ? 5(?2 / ?1)T2 ? 3T1 ? 5(T1 /T2 )T2 ? 8T1T2 ? 284 .4k

3?1 ? 5?2

3 ? 5(?2 / ?1)

3 ? 5(T1 /T2 ) 3T2 ? 5T1

练习 二十

知识点:麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程

一、选择题

1. 在一定速率?附近麦克斯韦速率分布函数 f(?)的物理意义是:一定量的气体在给定温度下处于平衡态

时的

()

(A)速率为?的分子数;

(B)分子数随速率?的变化;

(C)速率为?的分子数占总分子数的百分比;

(D)速率在?附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

解:(D) f (v) ? dN ,速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比
Ndv 2. 如果氢气和氦气的温度相同,摩尔数也相同,则

()

(A)这两种气体的平均动能相同; (B)这两种气体的平均平动动能相同;

(C)这两种气体的内能相等;

(D)这两种气体的势能相等。

解:(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子, i ? 3 ;氢气为双原子(刚性)分子, i ? 5

3. 在恒定不变的压强下,理想气体分子的平均碰撞次数 z 与温度 T 的关系为

()

(A)与T无关; (D)与T成正比;

(B)与 T 成正比; (C)与 T 成反比;
(E)与T成反比。

解:(C) z ? 2vn?d 2 ? 2 8RT p ?d 2 ? 2?d 2 p 8R

?M mol kT

?M molT

4. 根据经典的能量按自由度均分原理,每个自由度的平均能量为

()

(A)kT/4; (B)kT/3; (C)kT/2; (D)3kT/2; (E)kT。 解:(C)

5. 在 20℃时,单原子理想气体的内能为

()

(A)部分势能和部分动能; (B)全部势能; (C)全部转动动能;

(D)全部平动动能;

(E)全部振动动能。

解:(D)单原子分子的平动自由度为 3,转动自由度 0, 振动自由度为 0

6. 1mol 双原子刚性分子理想气体,在 1atm 下从 0℃上升到 100℃时,内能的增量为 ( )

11

(A)23J; (B)46J; (C)2077.5J; (D)1246.5J; (E)12500J。

解:(C) ?E ? M i R?T ? 1? 5 ? 8.31 ?100 ? 2077 .5J

M mol 2

2

二、填空题

? ? 1. f (?) 为麦克斯韦速率分布函数, ? f (?)d? 的物理意义是_____________, ? m? 2 f (?)d? 的物理

?p

02

意义是__________,速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________,其物理意义是_________。

? ? ? 解 :

?
f (v)dv ?

? dN dv ?

? dN

, vp ~ ?

速率区间内分子数占总分子数的百分率;

vp

vp Ndv

N v p

? ?? mv 2
02

? f (v)dv ? ? mv 2 dN
02 N

, 0 ~ ? 速率区间内分子的平均平动动能;

? f (v)dv ? 1 ;速率在 0 ~ ? 内的分子
0

数占总分子数的比率为 1。

2. 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示,其中曲线 1 为 _____________的速率分布曲线,__________的最概然速率较大(填“氢气”或

f (?) 1

“氧气”)。若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线,温度分别为

T1 和 T2 且 T1<T2;则曲线 1 代表温度为________的分布曲线(填 T1 或 T2)。

2

解:最可几速率 vp ?

2RT ,T 相同时, M mol 大 v p 小?氧气、氢气;同一种气体 T 大
M mol

o

?

v p 大? T1

3.设氮气为刚性分子组成的理想气体,其分子的平动自由度数为_________,转动自由度为_________;

分子内原子间的振动自由度为__________。解:3;2;0

4.在温度为 27℃时,2mol 氢气的平动动能为

,转动动能为



解:分子平动自由度 3,

平动动能为 2N A? k

?

2N

A

?

3 2

kT

?

3RT

? 3?8.31? 300 ? 7479J

分子转动自由度 2, 转动动能为 2N A ? kT ? 2RT ? 2?8.31? 300 ? 4986 J

5. 1mol 氧气和 2mol 氮气组成混合气体,在标准状态下,氧分子的平均能量为_________,氮分子的平均

能量为____________;氧气与氮气的内能之比为____________。

解:氧气、氮气均为双原子分子,自由度为 5,因此

? ? 5 kT ? 5 ?1.38?10?23 ? 273 ? 9.42?10?21 J ; ? ? 9.42?10?21 J ; E ? M i RT ?1: 2

22

M mol 2

6.2 mol 氮气,由状态 A(p1,V)变到状态 B(p2,V),气体内能的增量为__________。

解:内能 E

?

M M mol

i RT 2

?

i PV 2

,内能的增量 ?E

?

5 2

(

P2

? P1)V

三、计算题

1?. 设氢气的温度为 300℃。求速率在 3000m/s 到 3010m/s 之间的分子数 N1 与速率在?p 到?p+10m/s 之间 的分子数 N2 之比。 解:根据麦克斯韦速率分布函数可得

?N ? 4? (

m

mv2
)3/ 2 e?2kT v2?v ?

4

(

v

?( v )2
)2e vp

?v

(分子的质量为 m)

N

2?kT

? vp

vp

N1 ? N

4 ?

( 3000 vp

?( 3000 )2
)2 e vp

10 vp

, N2

?

N

4

e?1 10 , N1

?

(

3000

)

2

e

?(

3000 vp

)

2

? e,

? vp N2

vp

vp ?

2RT / Mmol

? 2183m / s ,

N1 N2

?

( 3000) 2

?(
e

3000 )2 2183

2183

? e ? 0.78,

2?.假定大气层各处温度相同均为 T,空气的摩尔质量为 M mol ,试根据玻尔兹曼分布律 n ? n0 ? e?(mghkT) ,

证明大气压强 p 与高度 h(从海平面算起)的关系是 h ? RT ? ln p0 。并求上升到什么高度处,大气的压

M mol g

p

强减到地面的 75%。

解: p ? nkT

? n0k Te?mgh / kT

?

p0e?mgh / kT , h ?

RT ln
M mol g

p0 p

(分子的质量为 m)

12

h ? RT ln p0 ? RT ln 4 M mol g 0.75 p0 M mol g 3
3?.导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有 N 个自由电子。电子气中电子的最大速

率?F 叫做费米速率。电子的速率在?与?+d?之间的概率为:

?4?? 2 AdV

dN N

?

? ? ??0

N

(?F ? ? ? 0) (? ? ?F)

式 中 A 为 归 一 化 常 量 。( 1 ) 由 归 一 化 条 件 求 A 。( 2 ) 证 明 电 子 气 中 电 子 的 平 均 动 能

?k

?

3 5

(

1 2

m?F2

)

?

3 5

EF ,此处

EF 叫做费米能。

? ? ?
解:(1) f (v)dv ? 1 , 0

vF 0

4?v2 Adv N

?

4?vF3 A 3N

?1, A ?

3N 4?vF3

, dN N

3v 2 dv ?
vF3

? ? (2)?k

?

VF 0

1mv2 2

f

(v)dv

?

3 2

m

VF 0

v 4 dv vF3

?

3 5

?? ?

1 2

mvF2

?? ?

?

3 5

EF

4.今测得温度为 t1=15℃,压强为 p1=0.76 m 汞柱高时,氩分子和氖分子的平均自由程分别为:?Ar = 6.7

×10?8 m 和 ?Ne =13.2×10?8 m,求:

(1) 氖分子和氩分子有效直径之比 dNe / dAr=?

(2)

温度为

t2=20℃,压强为

p2=0.15

m

汞柱高时,氩分子的平均自由程

?

/ Ar

=?

解:(1) ? ?

1, 2?d 2n

?Ar ?Ne

?

d

2 Ne

d

2 Ar

, dNe d Ar

?

?Ar ? ?Ne

6.7 ? 0.712 13.2

(2) ? ?

kT , ?A?r 2?d 2 p ?Ar

? T2 ? p1 ? 293 ? 0.76 ? 5.15 , p2 T1 0.15 ? 288

?A?r ? 5.15?Ar ? 3.45 ?10 ?7 m

5.真空管的线度为 10?2 m ,其中真空度为1.33 ?10?3 pa ,设空气分子的有效直径为 3?10?10 m 。求:
(1)温度为 27℃时单位体积内的空气分子数;(2)平均碰撞频率;(3)平均自由程。

解:(1) n

?

p kT

? 1.33 ?10 ?3 1.38 ?10 ?23 ? 300

? 3.21?1017 个 / m3

,(2) v

?

8RT ? ?M mol

8? 8.31? 300 ? 467m / s , 3.142? 0.0289

z ? 2?d 2vn ? 2 ? 3.14 ?9?10 ?20 ? 467 ?3.21?10 ?17 ? 59.7s?1



(3) ? ? v ? z

1 ? 7.82m
2?d 2n 练习 二十一
知识点:热力学第一定律及其应用、绝热过程

p(atm)

3

A

2

B

一、选择题 1. 如图所示为一定量的理想气体的 p—V 图,由图可得出结论 ( C )
(A)ABC 是等温过程; (B)TA>TB;

1

C

V (10 ?3 m3 ) o 123

(C)TA<TB;

(D)TA=TB。

解:(C) pAVA ? pCVC ?TA ? TC ;过 A 、 C 作等温线, B 在过 A 、 C 的等温线之上。

2. 一定量的理想气体,处在某一初始状态,现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温

度,可能实现的过程为

( D)

(A)先保持压强不变而使它的体积膨胀,接着保持体积不变而增大压强; (B)先保持压强不变而使它的体积减小,接着保持体积不变而减小压强;

(C)先保持体积不变而使它的压强增大,接着保持压强不变而使它体积膨胀;

(D)先保持体积不变而使它的压强减小,接着保持压强不变而使它体积膨胀。

解:(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。

3. 气体的摩尔定压热容 Cp 大于摩尔定体热容 CV,其主要原因是

(C)

(A)膨胀系数不同; (B)温度不同; (C)气体膨胀需作功; (D)分子引力不同。

解:(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程 QV ? ?E ;对等压过程 Qp ? ?E ? A 。

4. 压强、体积和温度都相同(常温条件)的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量,它们对外作的

功之比为 (A)1:1; (B)5:9; (C)5:7; (D)9:5。

(C)

解:(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式:

13

Qp

?

M M mol

C p ?T

,A?

p?V

?

M M mol

R?T

?A?

QpR Cp

?

AO2 AHe

?

R /(7RT / 2) R /(5RT / 2)

?

5。 7

5. 一摩尔单原子理想气体,从初态温度 T1、压强 p1、体积 V1,准静态地等温压缩至体积 V2,外界需作

多少功?

(B)

(A)RT1ln(V2/V1);(B)RT1ln(V1/V2);(C)p1(V2?V1);(D)(p2V2? p1V1)。

解: ? ? (B)

pV

?

M M mol

RT

, A外

?

?

V2 V1

pdV

?? M M mol

RT1

1 V2 V V1

dV

?

M M mol

RT1

ln

V1 V2



p a

6. 在 p—V 图上有两条曲线 abc 和 adc,由此可以得出以下结论:

b

(A)其中一条是绝热线,另一条是等温线;(B)两个过程吸收的热量相同;

d

(C)两个过程中系统对外作的功相等;(D)两个过程中系统的内能变化相同。

解:(D)对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。

o

(D)
c V

7. 1mol 的单原子分子理想气体从状态 A 变为状态 B,如果不知是什么气体,变化过程也不知道,但 A、

B 两态的压强、体积和温度都知道,则可求出: ( D )

p

(A) 气体所作的功; (C) 气体传给外界的热量;

(B) 气体内能的变化; (D) 气体的质量。

p1

b

解:(B) 对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 二、填空题

p0 a

1. 一定量的理想气体从同一初态 a(p0,V0)出发,分别经两个准静态过程 ab 和 ac,b o 点的压强为 p1,c 点的体积为 V1,如图所示,若两个过程中系统吸收的热量相同,则

V0

该气体的比热容比? =Cp/CV=_________________。

解: Qab

?

M M mol

CV (Tb

? Ta ) ,

Qac

?

M M mol

C p (Tc

? Ta ) ,

p c

c V
V1
b

pV

?

M M mol

RT

, ? CV ?? ?

p1V0 R

?

p0V0 R

?? ? C p ?? ??

p0V1 R

?

p0V0 R

?? ,? ?

?

Cp CV

?

p1 / p0 ?1 V1 /V0 ?1

2. 如图所示,一理想气体系统由状态 a 沿 acb 到达状态 b,系统吸收热量 350J,

o

a

d V

而系统做功为 130J。

(1)经过过程 adb,系统对外做功 40J,则系统吸收的热量 Q=____________。

(2)当系统由状态 b 沿曲线 ba 返回状态 a 时,外界对系统做功为 60J,则系统吸收的热量 Q=________。

解:根据热力学第一定律求解: ?Eab ? Qacb ? Aacb ? 350 ?130 ? 220 J ,

Qadb ? Aadb ? ?Eab ? 40 ? 220 ? 260 J , Qba ? Aba ? ?Eba ? ?60 ? 220 ? ?280 J
3?. 对下表所列的理想气体各过程,并参照下图,填表判断系统的内能增量?E,对外作功 A 和吸收热量

Q 的正负(用符号?,?,0 表示):

过程

?E

A

Q

等体减压 ?

0

?

p c

等温线

p a

绝热线
d

等压压缩 ?

?

?

绝热膨胀 ?

+

0

图(a) a→b→c 0

?

?

图(b)

a→b→c a→d→c

? ?

+ +

? +

b

a

V o
图(a)

b

c

V

o

图(b)

4.不规则地搅拌盛于绝热容器中的液体,液体温度在升高,若将液体看作系统,则:

(1) 外界传给系统的热量_________零;(2) 外界对系统作的功__________零;

(3) 系统的内能的增量___________零;(填大于、等于、小于)

解:等于零;大于零;大于零;

5.压强、体积和温度都相同的氢气和氦气(均视为刚性分子的理想气体),它们的质量之比为 m1∶m2 =__________,它们的内能之比为 E1∶E2 =__________,如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量, 则它们对外作功之比为 A1∶A2 =__________。(各量下角标 1 表示氢气,2 表示氦气)

解: pV ?

m

RT , m1 ? M1mol ? 2 ? 1 ; E ?

m

i

RT

?

i

pV

,

E1

?

i1

?

5
;

M mol

m2 M 2mol 4 2

M mol 2

2

E2 i2 3

Qp

?

m M mol

C p ?T

,A?

p?V

?

m M mol

R?T ? A ?

QpR Cp

?

AO 2 AHe

?

R /(7RT / 2) R /(5RT / 2)

?

5 7

三、计算题

1. 标准状态下的 0.014kg 氮气,压缩为原体积的一半,分别经过(1)等温过程,(2)绝热过程,(3)等

14

压过程。试计算在这些过程中气体内能的改变、吸收的热量和对外界所作的功。

解:(1) 等温过程,内能不变, ?E ? 0

吸收的热量和对外界所作的功 Q ? A ? M RT ln V2 ? 0.5 ? 8.31 ? 273 ? ln 1 ? ?786 J

M Mol

V1

2

(2)

绝热过程,根据绝热方程 T2 T1

?

????

V1 V2

?? ??

?1

?

?

2? ?1 ,T2

? 2? ?1T1

? 360K ,

内能的改变 ?E

?

M M Mol

CV ?T

?

M M Mol

5 2

R?T

?

0.5 ? 5 ? 8.31 ? (360 2

? 273)

? 904 J

吸收的热量 Q ? 0 , 对外界所作的功 A ? ??E ? ?904J

(3)等压过程 V1 T1

?

V2 T2

, T2

?

V2 V1

T1

?

1 2 T1

内能增量 ?E

?

M M Mol

CV ?T

?

M M Mol

5 2

R?T

?

0.5 ?

5 ? 8.31 ? ( 273

2

2

? 273)

?

?1418 J

气体对外界所作的功为 A ? p?V ? M R?T ? M R?T ? 0.5 ? 8.31 ? ( 273 ? 273) ? ?565 J

M Mol

M Mol

2

吸收的热量为 Q ? ?E ? A ? ?1 9 8J3

2. 2 mol 双原子分子理想气体从状态 A(p1,V1)沿 p ?V 图所示直线变化到状态 B(p2,V2),试求:

(1) 气体的内能增量;(2) 气体对外界所作的功;(3) 气体吸收的热量; p

解:(1)

内能增量 ?E

?

M M mol

i 2 R(T2

? T1 ) ?

5 2 ( p2V2

?

p1V1 )

p2

B

(2)

功等于直线 AB 下的面积 A ?

1 2

(

p2V2

?

p1V1 )

p1 A

(3) 根据热力学第一定律得 Q ? A ? ?E ? 3( p2V2 ? p1V1)

O

V1 V2

V

3.如果一定量的理想气体,其体积和压强依照V ? a / p 的规律变化,其

中 a 为已知常量。试求: (1) 气体从体积 V1 膨胀到 V2 所作的功; (2) 气体体积为 V1 时的温度 T1 与体积

为 V2 时的温度 T2 之比。

? ? 解: A ?

V2 pdV ?
V1

a V2 2

V V1

2

dV

?

a

2

????

1 V1

?

1 V2

????



? pV

? a2 V

?M M mol

RT ,? T1 T2

? V2 V1

4. 有单原子理想气体,若绝热压缩使其容积减半,问气体分子的平均速率变为原来的速率的几倍?若为

双原子理想气体,又为几倍?

? ?1

解:根据绝热方程 T1V1? ?1

? T2V2? ?1 由题意知, T2
T1

?

????

V1 V2

????

? 2? ?1

根据平均速率公式 v ?

8RT 得, v2 ?

?M mol

v1

T2

? ?1
?2 2

T1

单原子? ? i ? 2 ? 5 , v2 ? 21/3 ? 1.26 ;双原子? ? i ? 2 ? 7 , v2 ? 21/5 ? 1.15

i 3 v1

i 5 v1

5.温度为 27℃、压强为 1 atm 的 2 mol 刚性双原子分子理想气体,经等温过程体积膨胀至原来的 3 倍。

(1) 计算这个过程中气体对外所作的功;

(2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的 3 倍,那么气体对外作的功又是多少?

解:(1) 等温过程中的功 A ? M RT ln V2 ? 2 ? 8.31 ? 300 ? ln 3 ? 5478 J

M Mol

V1

(2) 根据绝热方程得

T2 T1

?

????

V1 V2

?
?

?1

???

?

1? 3

?1

,T2

? 3?? ?1T1

? 3?7 / 5?1T1

? 0.644? 300 ? 193K

绝热过程 A? ?E ? 0

A?

??E

?

?M M Mol

CV ?T

?

?

M M Mol

5 2

R?T

?

?2 ? 5 ?8.31? (193 2

? 300 )

?

4446 J
p

6.气缸内有 2 mol 氦气,初始温度为 27℃,体积为 20 L(升),先将氦气等压膨

12 绝热线

15

等温线 3

O

V

胀,直至体积加倍,然后绝热膨涨,直至回复初温为止.把氦气视为理想气体。试求:在 p―V 图上大致

画出气体的状态变化过程;

(2) 在这过程中氦气吸热多少?

(3) 氦气的内能变化多少?(4) 氦气所作的总功是多少?

解:(1) 如图

(2)

等压过程 V1 T1

? V2 T2

, T2

? 2T1

? 600 K

, Q12

?

M M mol

C p (T2

? T1)

?

2 ? 5 ?8.31?300 2

? 12465

J

绝热过程 Q23 ? 0 , 因此 Q ? Q12 ? Q23 ? 12465 J

(3) 因始末状态温度相同, ?E ? 0

(4) 根据热力学第一定律 Q ? ?E ? A 得 A ? Q ?12456J

练习 二十二

知识点:循环过程、卡诺循环、热机效率、热力学第二定律、熵

一、选择题

1. 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小(图中阴影部分)分别为 p

S1

和 S2,则两者的大小关系为:

()

(A)S1>S2; (B)S1<S2; (C)S1=S2; (D)无法确定。

解:(C)绝热过程 A ? ??E ,内能改变相同,功相等,功的大小等于曲线下的面积.

S1 o

S2 V

2. “理想气体与单一热源接触作等温膨胀时,吸收的热量全部用来对外作功。”



此说法,有如下几种评论,哪个是正确的?

()

(A)不违反热力学第一定律,但违反热力学第二定律; (B)不违反热力学第二定律,但违反热力学第一定律;

(C)不违反热力学第一定律,也不违反热力学第二定律;

(D)违反热力学第一定律,也违反热力学第二定律。 解(C)热力学第一定律说明任何过程能量守恒,热力学第二定律说明并非能量守恒的过程都能实现.热力学

第二定律的开尔文表述中强调的是不可能制成一种循环动作的热机…

3. 一热机由温度为 727℃的高温热源吸热,向温度为 527℃的低温热源放热,若热机在最大可能效率下

工作、且吸热为 2000 焦耳,热机作功约为

()

(A)400J; (B)1450J; (C)1600J; (D)2000J; (E)2760J。

解 (A) A ? 1 ? T2 ? 1 ? 800 ? 0.2, A ? 0.2Q ? 400 J

Q

T1

1000

4. 在功与热的转变过程中,下面的那些叙述是正确的?

()

(A)能制成一种循环动作的热机,只从一个热源吸取热量,使之完全变为有用功; (B)其他循环的热机效率不可能达到可逆卡诺机的效率,因此可逆卡诺机的效率最高;

(C)热量不可能从低温物体传到高温物体;

(D)绝热过程对外作正功,则系统的内能必减少。解 (D) Q ? A ? ?E

5?. 1mol 单原子理想气体从初态(p1、V1、T1)准静态绝热压缩至体积为 V2 其熵 ( ) (A)增大; (B)减小; (C)不变; (D)不能确定。

解 (C)准静态绝热过程是可逆的,可逆的绝热过程是等熵过程. 6?. 一定量的理想气体向真空作自由膨胀,体积由 V1 增至 V2,此过程中气体的 ( )
(A)内能不变,熵增加; (B)内能不变,熵减少;
(C)内能不变,熵不变; (D)内能增加,熵增加。

解(A)自由膨胀过程是不可逆的,对可逆过程才能把 dQ / T 理解为熵的变化.自由膨胀过程中内能不变,温度

不变,熵是状态的单值函数,可设想一等温过程求自由膨胀过程中的熵变.

二、填空题

1. 一卡诺热机(可逆的),低温热源为 27℃,热机效率为 40%,其高温热源 温度为________K。今欲将该热机效率提高到 50%,且低温热源保持不变,则

p pc

c

高温热源的温度增加________K。500K,100K

pa a

b

2. 有 v 摩尔理想气体,作如图所示的循环过程 acba,其中 acb 为半圆弧,ba

为等压过程, pc=2pa,在此循环过程中气体 净吸收热量 为 Q=_______vCp (Tb?Ta)。(填:>、<或=)。

o

Va

V Vb

解: ? .由功的大小与 p ? V 图上曲线下的面积关系讨论

16

Qacba ? Aacba ? 2 pa (Vb ? Va ) ? pa (Vb ? Va ) ? pa (Vb ? Va ) , Qab ? ?CV (Tb ? Ta ) ? pa (Vb ? Va )

3?.使 4mol 的理想气体,在 T=400K 的等温状态下,准静态地从体积 V 膨胀到 2V,则此过程中,气体的

熵增加是__________,若此气体膨胀是绝热状态下进行的,则气体的熵增加是________。解:23J/K,0

4?.从统计意义来解释:不可逆过程实质是一个____________________的转变过程。一切实际过程都向着

______________________的方向进行。解:概率,概率大的状态

5.热力学第二定律的两种表述:开尔文表述:

。克劳修斯表

述:



解:开尔文表述:不可能制成一种循环动作的热机,只从一个热源吸取热量,使之完全变为有用的功,而其他物

体不发生任何变化.克劳修斯叙述:热量不可能自动从低温物体传向高温物体.

6?.熵是

的量度。解:熵是分子无序性或混乱性的量度.

三、计算题

1.一卡诺循环热机,高温热源温度是 400 K.每一循环从此热源吸进 100 J 热量并向一低温热源放出 80 J 热量。求:(1) 低温热源温度;(2) 这循环的热机效率。

解:(1)

Q1 Q2

?

T1 T2

, T2

?

Q2 Q1

T1

?

80 100

? 400

? 320 K

,

(2) ? ? 1? T2 ? 1? 80 ? 0.2 ? 20%

T1`

100

2. 如图所示,有一定量的理想气体,从初状态 a(p1,V1)开始,经过一个等体过程达到压强为 p1/4 的 b 态,

再经过一个等压过程达到状态 c,最后经等温过程而完成一个循环。求该循环过程中系统对外作的功 A 和

所吸的热量 Q。

解:对等温过程 ca 有

p1V1 ?

p1 4

Vc

,

Vc

? 4V1

p

p1

a

Aab

? 0 , Abc

?

p1 4

?Vc

?V b ? ?

p1 4

?4V1

?V

1

?

?

3 4

p1V1

Aca

?

m M mol

RT

ln Va Vc

?

p1V1 ln

V1 4V1

?

? p1V1 ln 4

p1 4b o
V1

c V

A

?

Aab

?

Abc

?

Aca

?

3 4

p1V1

?

p1V1 ln

4

?

?0.636 p1V 1



Q ? A ? ?0.636 p1V 1

3.一定量的理想气体经历如图所示的循环过程,A→B 和 C→D 是等压过程,B

→C 和 D→A 是绝热过程。已知:TC= 300 K,TB= 400 K。试求:此循环的 效率。

p A

B

解:由绝热方程得:

pa?

T ?1 ?? a

?

pd?

T ?1 ?? d



pb?

T ?1 ?? b

?

pc?

T ?1 ?? c



pa ? pb , pc ? pd ,∴

Ta ? Td Tb Tc

或 Tc ? Td ? Tc Tb ? Ta Tb

D O

C V

AB 过程吸热

Q1

?

m M

C

p(T

b? T

)a

CD 过程放热

Q2

?

m M

C

p(T

c? T

)d

循环效率为

? ? 1 ? Q2 ? 1 ? Tc ? Td ? 1 ?Tc ?2 5 %

Q1

Tb ? Ta

Tb

4.两台卡诺热机联合运行,即以第一台卡诺热机的低温热源作为第二台卡诺热机的高温热源。试证明它

们各自的效率?1 及?2 和该联合机的总效率? 有如下的关系:? ? ?1 +(1-?1 )?2

解:循环为卡诺循环?1

?

A1 Q1

?1?

T2 T1

,?2

?

A2 Q2

? 1 ? T3 T2

T2 T1

?

A1 Q1

?

1

?

?1

,

T3 T2

?

A2 Q2

?

1

?

?2

,

T3 T1

?

?1??1??1??2 ?

?

?

A Q1

? 1? T3 T1

? 1? ?1??1??1??2 ? ? ?1 ? ?1??1??2

5?.1kg0℃的冰,在 0℃时完全熔化成水。已知冰在 0℃时的熔化热 ? ? 334 J/g。求冰

经过熔化过程的熵变,并计算从冰到水微观状态数增大到几倍。

T1

Q1

1

A1

Q2

T2

Q2

2

A2

Q3

T3

解:冰在 00C 时等温熔化,可以设想它和一个 00C 的恒温热源接触而进行可逆的吸热过程,因而

17

? ?S ?

dQ

?

Q

?

m?

103 ? 334 ?

? 1.22?103 ,又 ?S

? k ln(?2 ) 。所以 ?2

? 103.84?1025

TTT

273

?1

?1

6?.1mol 的理想气体由初态 (T1,V1) 经某一过程到达末态 (T2 ,V2 ) ,求熵变。设气体的 CV 为常量。

? ? ? ? 解: ?S ?

2 dQ ?
1T

2 dE ? PdV

1

T

? 2 CV dT ? R 1T

2 dV 1V

?CV

ln

T2 T1

?

R

ln

V2 V1

18


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