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《选修2—1》第二章“圆锥曲线与方程”测试题与答案及评分标准


《选修 2-1》第二章“圆锥曲线与方程”测试题
一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符号题目要求的) 1.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为

1 ,则椭圆的方程是( 3

)

x2 y2 A. + =1 144 128
2.双曲线

x2 y2 B. + =1 36 20

x2 y2 C. + =1 32 36
)

x2 y2 D. + =1 36 32

x2 y2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( a2 b2

A.

2

B. 3

C. 2 )

D.

3 2

3. 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线所成的锐角是 ( 3
B. 45°

A. 30°

C. 60° )

D. 75°

4.椭圆 4 x 2 ? y 2 ? k 上两点间的最大距离是 8,那么 k ? ( A.32 5.已知方程 B.16 C. 8

D.4 ) D. 1 ? k ? 2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,那么 k 的取值范围是( 2 ? k k ?1
B. k ? 2 C. k ? 1 或 k ? 2

A. k ? 1
2

6. 过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 若 y1 ? y 2 ? 6 , 则P 1 ?x1 , y1 ?, P 2 ?x2 , y 2 ? 两点, 1P 2 的值为 ( A.5 7.设椭圆 ) B.6 C.8 D.10

x2 y 2 1 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , 右焦点为 F (c, 方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个 0) , 2 2 a b
) B.必在圆 x ? y ? 2 上
2 2

实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) ( A.必在圆 x ? y ? 2 内
2 2

C.必在圆 x ? y ? 2 外
2 2

D.以上三种情形都有可能

8.已知方程 ax ? by ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0 ,它们所表示的曲线可能
2 2

是(



A 9.已知双曲线方程为 x ?
2 2

B

C

D

y ? 1,过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条数共 4
C.2 条 D.1 条 , P ,y3 ) 在抛物线上, 3 ( x3

有( A.4 条

) B.3 条

10. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点P x1 , y1 ) P , ( ) 1( 2x 2 y2, 且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 ) B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2 2 2

? FP3

2

? FP · FP3 1

二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x2 ? 2 y 2 ? 1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆 的方程是 . .

12.点 M 到 x 轴的距离是它到 y 轴距离的 2 倍,则点 M 的轨迹方程是

y2 x2 ? ? 1 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 13.过原点的直线 l 与双曲线 3 4
14.已知椭圆



x2 y2 x2 y2 + + =1 与双曲线 - =1(m,n,p,q∈R )有共同的焦点 F1、F2,P 是 m n p q


椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=
2

15.已知 P(4,?1), F 为抛物线 y ? 8x 的焦点, M 为此抛物线上的点,且使 MP ? MF 的值最小, 则 M 点的坐标为 .

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. (本小题 12 分)已知椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角 形,焦点到同侧顶点的距离为 3 ,求椭圆的方程。

17.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 与此双曲线交于点 (?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,而且与 x 轴垂直.又抛物线 a 2 b2

3 , 6) ,求抛物线和双曲线的方程. 2

2 18. (本小题 12 分)正方形的一条边 AB 在直线 y ? x ? 4 上,顶点 C、D 在抛物线 y ? x 上,求正

方形的边长.

19.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一 声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上).

20.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c ,直线 l 过点 ( a, 0) 和 (0, b) ,且点 (1, 0) 到直线 l a 2 b2
4 c 。求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

的距离与点 (?1, 0) 到直线 l 的距离之和 s ?

21.已知动点 P 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos ?F 1PF 2 的最小

1 . 3 (1)求动点 P 的轨迹方程;
值为 ? (2)设 M(0,-1),若斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B,若要使|MA| =|MB|,试求 k 的取值范围.

《选修 2-1》第二章“圆锥曲线与方程”测试题答案
一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符号题目要求的) 1.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为

1 ,则椭圆的方程是( 3

)D

x2 y2 A. + =1 144 128
2.双曲线

x2 y2 B. + =1 36 20

x2 y2 C. + =1 32 36
)A

x2 y2 D. + =1 36 32

x2 y2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( a2 b2

A.

2

B. 3

C. 2 )C

D.

3 2

3. 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线所成的锐角是 ( 3
B. 45°

A. 30°

C. 60° )B

D. 75°

4.椭圆 4 x 2 ? y 2 ? k 上两点间的最大距离是 8,那么 k ? ( A.32 5.已知方程 B.16 C. 8

D.4 )C D. 1 ? k ? 2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,那么 k 的取值范围是( 2 ? k k ?1
B. k ? 2 C. k ? 1 或 k ? 2

A. k ? 1
2

6. 过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 若 y1 ? y 2 ? 6 , 则P 1 ?x1 , y1 ?, P 2 ?x2 , y 2 ? 两点, 1P 2 的值为 ( A.5 7.设椭圆 )C B.6 C.8 D.10

x2 y 2 1 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , 右焦点为 F (c, 方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个 0) , 2 2 a b
)A B.必在圆 x ? y ? 2 上
2 2

实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) ( A.必在圆 x ? y ? 2 内
2 2

C.必在圆 x ? y ? 2 外
2 2

D.以上三种情形都有可能

【解析】 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ?
2 2 2

b2 2c a 2 ? c 2 7 ? ? ? 2e ? 1 ? e2 ? 2e ? ? 2 2 2 a a a 4

8.已知方程 ax ? by ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0 ,它们所表示的曲线可能
2 2

是(

)B

A 9.已知双曲线方程为 x ?
2 2

B

C

D

y ? 1,过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条数共 4
( )B C.2 条 D.1 条 , P ,y3 ) 在抛物线上, 3 ( x3

有 A.4 条 B.3 条

10. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点P x1 , y1 ) P , ( ) 1( 2x 2 y2, 且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 )C B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2 2 2

? FP3

2

? FP · FP3 1

二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x ? 2 y ? 1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆
2 2

的方程是



x2 ? y2 ? 1 2
. 2x ? y ? 0

12.点 M 到 x 轴的距离是它到 y 轴距离的 2 倍,则点 M 的轨迹方程是

13 . 过 原 点 的 直 线 l 与 双 曲 线

y2 x2 ? ?1 相 交 , 则 直 线 l 的 斜 率 k 的 取 值 范 围 3 4



. (??, ?

3 3 ) ? ( , ??) 2 2

14.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 + + =1 与双曲线 - =1(m,n,p,q∈R )有共同的焦点 F1、F2,P 是 m n p q
.m? p

椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=
2

15.已知 P(4,?1), F 为抛物线 y ? 8x 的焦点, M 为此抛物线上的点,且使 MP ? MF 的值最小, 则 M 点的坐标为 . ( , ?1)

1 8

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. (本小题 12 分)已知椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角 形,焦点到同侧顶点的距离为 3 ,求椭圆的方程。 解:? 短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形

? 短轴的一个端点与一个焦点的连线和长轴的夹角是 60?

? tan60 ? ?

b c

b ? 3c

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4c2 b 2 ? 3c2

? 焦点到椭圆的最短距离就是焦点到同侧的长轴顶点的距离 3 ? a ? c ? 3 a ? 3 ? c a 2 ? 4c2 ? ( 3 ? c)2 ? 3 ? 2 3c ? c2 ? 4c2
即 3c - 2 3c - 3 ? 0
2

c>0 解得: c1 ? 3 6分

c2 ? ?

3 (舍去) 3

c? 3

? 所求椭圆的标准方程为

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 12 9 9 12

12 分

17.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 与此双曲线交于点 (?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,而且与 x 轴垂直.又抛物线 a 2 b2

3 , 6) ,求抛物线和双曲线的方程. 2

2 解:由题意可设抛物线方程为 y ? ?2 px ( p ? 0 )

因为抛物线图像过点 (?
2

3 3 , 6) ,所以有 6 ? ?2 p (? ) ,解得 p ? 2 2 2
6分

所以抛物线方程为 y ? ?4x ,其准线方程为 x ? 1 所以双曲线的右焦点坐标为(1,0)即 c ? 1 又因为双曲线图像过点 (?

3 , 6) , 2
8分 10 分

9 6 所以有 4 ? 2 ? 1 且 a 2 ? b2 ? 1 , 2 a b 1 3 2 2 解得 a ? , b ? 4 4

所以双曲线方程为 4 x ?
2

4 y2 ?1 3

12 分

18. (本小题 12 分)正方形的一条边 AB 在直线 y ? x ? 4 上,顶点 C、D 在抛物线 y 2 ? x 上,求正 方形的边长. 解:设 CD 的方程为 y ? x ? b ,

由?

?y ? x ? b ?y ? x
2

消去 x 得 y 2 ? y ? b ? 0 ,

( 或 x2 ? (2b ?1) x ? b2 ? 0 )

3分

设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 y1+y2=1,y1y2=b, ∴|CD| = 1 ?

1 k2

( y1 ? y1 ) 2 ? 4 y1 y 2 = 2 ? 8b ,

5分

又 AB 与 CD 的距离 d=

4?b 2

,

7分

由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b = 解得 b ? ?2 或 b ? ?6

4?b 2

,

8分

10 分 12 分

∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

19.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一 声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试 确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上). 解:以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响发生点, 由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上, PO 的方程为 y=-x, 因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360<2040 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 依题意得 a=680, c=1020, ∴ b ? 1020 ? 680 ? 5 ? 340
2 2 2 2

3分

x2 y 2 ? ? 1 的左支上, a 2 b2

x2 y2 ? ?1 ( x ? 0 ) ∴双曲线方程为 6802 5 ? 3402
? x ? ?680 5 , y ? 680 5 ,

8分 10 分

即P(?680 5,680 5 ), 故PO ? 680 10

答:巨响发生在接报中心的西偏北 45°距中心 680 10m 处.

12 分

20.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c ,直线 l 过点 ( a, 0) 和 (0, b) ,且点 (1, 0) 到直线 l a 2 b2
4 c 。求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5
2分

的距离与点 (?1, 0) 到直线 l 的距离之和 s ? 解:∵直线 l 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 .

由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ?

b(a ? 1) a 2 ? b2

.

4分

同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d 2 ?

b(a ? 1) a 2 ? b2

.

6分



b(a ? 1) a ?b
2 2

?

b(a ? 1)
2

4 ? c 5 a ?b
2

7分



2ab 4 ? c. c 5
2

9分

即 5ab ? 2c ,

25 a2 ( c2 ? a2 ? )

4 c4
12 分

4e4 ? 25e2 ? 25 ? 0

5 ? e2 ? 5 4
所以 e 的取值范围是 [
2

5 , 5] 。 2
2

13 分

21.已知动点 P 与双曲线 x ? y ? 1的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos ?F 1PF 2 的最小

1 . 3 (1)求动点 P 的轨迹方程;
值为 ? (2)设 M(0,-1),若斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B,若要使|MA| =|MB|,试求 k 的取值范围. 解:(1)∵x2-y2=1,∴c= 2. 设|PF1|+|PF2|=2a(常数 a>0),2a>2c=2 2,∴a> 2 由余弦定理有 cos∠F1PF2= = |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 2|PF1||PF2|

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2 2a2-4 = -1 2|PF1||PF2| |PF1||PF2|

∵|PF1||PF2|≤(

|PF1|+|PF2| 2 ) =a2, 2 4分

∴当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取得最大值 a2. 此时 cos∠F1PF2 取得最小值 2a2-4 -1, a2

2a2-4 1 由题意 2 -1=- ,解得 a2=3, a 3
?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2 ? 1

x2 ∴P 点的轨迹方程为 +y2=1. 3
? x2 2 (2)设 l:y=kx+m(k≠0),则由, ? ? y ? 1 ?3 ? y ? kx ? m ?
2 2 2

7分 ① ②

将②代入①得:(1+3k )x +6kmx+3(m -1)=0 (*) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点 Q(x0,y0)的坐标满足: x1+x2 -3km m x0= = ,y =kx0+m= 2 1+3k2 0 1+3k2 ∵|MA|=|MB|,∴M 在 AB 的中垂线上, m +1 1+3k2 1+3k2 ∴klkAB=k· =-1 ,解得 m= …③ 3km 2 - 2 1+3k 又由于(*)式有两个实数根,知△>0, 即 (6km)2-4(1+3k2)[3(m2-1)]=12(1+3k2-m2)>0 ④ , 将③代入④得 1+3k2 2 12[1+3k2-( ) ]>0, 2 即 Q(- 3km m , ) 1+3k2 1+3k2

解得-1<k<1,由 k≠0, ∴k 的取值范围是 (-1,0)∪(0,1). 法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C( x0 , y0 ) 则 14 分

2 x0 ( x1 ? x2 ) ? 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 0 3

B C

k AB ? ?

x0 3 y0

kMC ?

y0 ? 1 x0

A

∵ k AB ? kMC ? ?1 ∴ k AB ? ?

1 解得 y0 ? 2

M

2 x0 3
解得 ?



x0 2 ? y0 2 ? 1 3

3 3 ? x0 ? 2 2

∴ ?1 ? k ? 1 ∴k 的取值范围是 (-1,0)∪(0,1).

14 分


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