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2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练:第26讲《平面向量的概念及线性运算》 Word版含解析


第26讲

平面向量的概念及线性运算

→ → → 1.在△ABC 中, 点 O 在线段 BC 的延长线上, 且与点 C 不重合, 若AO=xAB+(1-x)· AC, 则实数 x 的取值范围是( A ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(0,1) → → → → → 解析:AO=xAB+(1-x)AC可化为CO=xCB,因为点 O 在线段 BC 的延长上,所以 x∈(- ∞,0),故选 A.

2.(2013· 本溪、庄河联考)如图,一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB,AD 分别交 → 1→ → 1 → → → 于 E,F 两点,且交其对角线于 K,其中AE= AB,AF= AD,AK=λAC,则 λ 的值为( A ) 3 2 1 1 A. B. 5 4 1 1 C. D. 3 2 解析:过点 F 作 FG∥CD 交 AC 于 G, 1 AK 3 2 则 G 是 AC 的中点,且 = = , KG 1 3 2 1 → 2→ 2 1→ 1→ 所以AK= AG= × AC= AC,则 λ 的值为 ,故选 A. 5 5 2 5 5 3.( 2012· 吉林市 3 月预测)满足方程(3,1)x2+(2,-1)x+(-8,-6)=0 的实数 x 为( A ) A.-2 B.-3 4 C.3 D. 3 解析:由(3x2+2x-8,x2-x-6)=0, 2 ? ?3x +2x-8=0 则? 2 ,解得 x=-2,故选 A. ?x -x-6=0 ?

→ → → → → 4.(2012· 山东省日照市)如图所示,已知AB=2BC,OA=a,OB=b,OC=c,则下列等 式中成立的是( A ) 3 1 A.c= b- a B.c=2b-a 2 2 3 1 C.c=2a-b D.c= a- b 2 2 → → → → → → 解析:由AB=2BC,得AO+OB=2(BO+OC), 3 1 → → → 即 2OC=-OA+3OB,即 c= b- a,故选 A. 2 2 → 5.(2012· 辽宁鞍山第二次模拟)在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若AB=(2,4), → → BD=(-3,-5),则AC= (1,3) . → → → 解析:因为AD=AB+BD=(-1,-1), → → → 所以AC=AB+AD=(1,3). 6.(2012· 北京市石景山区一模)设向量 a=(cos θ,1),b=(1,3cos θ),且 a∥b,则 cos 2θ
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1 = - . 3 解析:因为 a∥b,所以 cos θ· 3cos θ-1=0, 1 即 3cos2θ=1,cos2θ= , 3 2 1 2 所以 cos 2θ=2cos θ-1= -1=- . 3 3 1→ → → → 7.(2013· 临沂二模)在△ABC 中, 已知 D 是边 AB 上的一点, 若AD=2DB, CD= CA+λCB, 3 2 则 λ= . 3 → → → 2→ 解析:因为AD=2DB,所以AD= AB, 3 2 → → → → 2→ → 2 → → 1 → 2 → 又CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ (CB-CA)= CA+ CB,所以 λ= . 3 3 3 3 3 2 2 8.已知圆 C:(x-3) +(y-3) =4 以及点 A(1,1),M 为圆上任意一点,点 N 在线段 MA 的延长线上,且 MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. 解析:设 N(x,y),M(x1,y1). → → 由题意可知,MA=2AN, 所以(1-x1,1-y1)=2(x-1,y-1), ? ?x1=-2x+3 所以? . ?y1=-2y+3 ? 又 M 在圆 C 上,所以(x1-3)2+(y1-3)2=4, 将方程组代入上式,得 x2+y2=1, 故点 N 的轨迹方程为 x2+y2=1. → → → 9.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),试求: (1)λ 为何值时,点 P 在第三象限; (2)点 P 到原点的最短距离. 解析:(1)设 P(x,y), → 则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3). → → → 又AP=AB+λAC =(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)] =(3,1)+λ(5,7) =(3+5λ,1+7λ). 所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ), ?x-2=3+5λ ?x=5+5λ ? ? 即? ,所以? ,① ?y-3=1+7λ ?y=4+7λ ? ?
? ?x=5+5λ<0 因为点 P 在第三象限,所以? , ?y=4+7λ<0 ? 所以 λ<-1, 故当 λ<-1 时,点 P 在第三象限. (2)将①消去 λ,得 P 点轨迹方程为直线 7x-5y-15=0, 15 15 74 所以点 P 到原点的最短距离为 d= 2 2= . 74 7 +5

→ 1.(2013· 辽宁卷)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量是( A )
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3 4 4 3 A.( ,- ) B.( ,- ) 5 5 5 5 3 4 4 3 C.(- , ) D.(- , ) 5 5 5 5 → → 解析:由已知,AB=(3,-4),且|AB|=5, → AB 3 4 → 所以与AB同方向的单位向量为 =( ,- ),故选 A. 5 5 → |AB| 2.(2011· 北京卷)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3),若 a-2b 与 c 共线, 则 k= 1 . 解析:因为 a-2b=( 3,3),c=(k, 3),又因为 a-2b 与 c 共线, (方法一)所以 3× 3-3k=0?k=1.

? 3=λk ?k=1 (方法二)所以 a-2b=λc?? ?? . ?λ= 3 ?3= 3λ
1 2 3.(2013· 江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC,若 2 3 1 → → → DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为 . 2

→ → → 解析:DE=DB+BE 1→ 2 → = AB+ BC 2 3 1→ 2 → → = AB+ (AC-AB) 2 3 1→ 2→ =- AB+ AC, 6 3 1 2 1 所以 λ1+λ2=- + = . 4.(2011· 山东卷)设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不 6 3 2 1 1 → → → → 同的四点,若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且 + =2,则称 A3,A4 调和分割 A1, λ μ A2.已知点 C(c,0),D(d,0)(c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( D ) A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 → → → → 解析:由A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R)知,四点 A1,A2,A3,A4 在同一条直线 上. 1 1 1 因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,又 + =2,所以 + λ μ c 1 =2,故选 D. d → → 5.(2012· 全国卷)△ABC 中,AB 边的高为 CD,若CB=a,CA=b,a· b=0,|a|=1,|b|= → 2,则AD=( D ) 1 1 2 2 A. a- b B. a- b 3 3 3 3
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3 3 4 4 C. a- b D. a- b 5 5 5 5 解析:由 a· b=0,知 a⊥b,|AB|= 5, 2 5 用等面积法求得|CD|= . 5 4 5 所以|AD|= AC2-CD2= , 5 → 4→ 4 又|AB|= 5,所以AD= AB= (a-b),故选 D. 5 5

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