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必修二数学教案 学案(全册)-2.3.4 平面与平面垂直的性质


2. 3.4 平面与平面垂直的性质 【教学目标】 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理的正确认识; (2)能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题,进一步培养 学生空间观念. (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在 解决问题中的运用. 【教学重难点】 重点:理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推 导。 难点:运用性质定理解决实际问题。 【教学过程】 (一) 复习提问 1.线面垂直判定定理: 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面. 2.面面垂直判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. (二)引入新课 已知黑板面与地面垂直,你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样 的直线分别有 什么性质?试说明理由!xKb 1.C om (三)探求新知 已知:面 α ⊥面 β ,α ∩β = a, AB ? α , AB⊥a 于 B, 求证:AB⊥β (让学生思考怎样证明) 分析:要证明直线垂直于平面,须证明直线垂直于平面内两条相交直线,而题中条件已有一条,故可 过该直线作辅助线. 证明:在平面 β 内过 B 作 BE⊥a, 又∵AB⊥a, ∴∠ABE 为 α ﹣a﹣β 的二面角, 又∵α ⊥β , ∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE 又∵AB⊥a, BE∩a = B, ∴AB⊥β 面面垂直的性质定理: 两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. (用符号语言表述) 若 α ⊥β ,α ∩β =a, AB ? α , AB⊥a 于 B,则 AB⊥β 师:从面面垂直的性质定理可知,要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明,而前面 我们知道,面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们 在学习中要认真理解和体会。 (四)拓展应用 例 1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个 平面内. 已知: ? ? ? , P ?? , P ? a, a ? ? .求证 : a ? ? . P ? b ? a b a ? c ? c P 例 2.如图,已知平面 α 、β ,α ⊥β ,α ∩β =AB, 直线 a⊥β , a ? α , 试判断直线 a 与平面 α 的位置关系(求证:a ∥α )(引导学生思考) 分析:因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系) 解:在 α 内作垂直于 α 、β 交线 AB 的直线 b, ∵ α ⊥β ∵ a⊥β 又∵a ? α 课堂练习: ∴b⊥β ∴ a ∥b , ∴ a ∥α P73 练习 P73 A 组 第 1、2 题 第 1 题新 课 标 第 一 网 (四)当堂检测 1.如图,长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,判断下面结论的正误。 (1)平面 ADD′A′⊥平面 ABCD (2) DD′⊥ 面 ABCD (3)AD′⊥ 面 ABCD 2.空间四边形 ABCD 中,Δ ABD 与Δ B CD 都为正三角形,面 ABD⊥面 BCD,试在平面 BCD 内找一点,使 AE⊥面 BCD,亲说明理由 参考答案 2 解:在Δ ABD 中,∵AB=AD,取 BD 的中点 E, 连结 AE,则 AE 为 BD 的中线 ∴AE⊥BD 又∵面 BCD∩面 ABD=BD, 面 ABD⊥面 BCD ∴AE⊥面 BCD (五) 课堂小结 1. 面面垂直判定定理: 如

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