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2010--2015极坐标参数方程高考题


2010—2015 年极坐标与参数方程
1.(2015 新课标 1)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 :x=-2,圆 C2 :(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系. (I) (II) 求 C1 , C2 的极坐标方程; 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求△C2MN 的面积

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 2. (2015 陕西) 在直角坐标系 x?y 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以原点为极点, x 轴 ?y ? 3 t ? ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系, e C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? .

? ? ? 写出 e C 的直角坐标方程; ? ?? ? ? 为直线 l 上一动点,当 ? 到圆心 C 的距离最小时,求 ? 的直角坐标.
3.(2015 福建)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 í

ì ? x = 1 + 3cos t (t 为参数) .在极坐标系(与 ? ? y = - 2 + 3sin t

平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程 为 2 r sin(q -

p ) = m, (m ? R). 4

(I)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (II)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. 4.(2015 课标 2)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,t≠0)其中 0 ? ? ? ? ,在以 y ? t sin ? , ?

O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos ? . (Ⅰ).求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 5.(2014 课标 2)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方 程为 ? ? 2cos ? , ? ? ?0, ? ? .

? ?

2? ?

(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中 你得到的参数方程,确定 D 的坐标.
1

6.(2014 福建)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,圆 C 的参数方程为

(θ 为常

数) . (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

7. (2014 课标 1)已知曲线 C:

+

=1,直线 l:

(t 为参数)

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程. (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值. 8.(2014 辽宁)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l:2x+y﹣2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

? ?x=t+1, 9. (2013 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的参数 ?y=2t ? ?x=2tan2θ, ? 方程为? (θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. ? ?y=2tan θ ?x=2cos t, ? 10. (2013 新课标Ⅱ)已知动点 P,Q 都在曲线 C:? (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t= ?y=2sin t ?

2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.
?x=4+5cos t ? 11. (2013 新课标Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 ? ?y=5+5sin t

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 12. (2013 辽宁) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 π θ- ?=2 2. ρ=4sin θ,ρcos? ? 4? (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

2

x=t +a, ? ? (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为? b 3 (t∈R 为参 ? ?y=2t +1 数).求 a,b 的值. 13. (2013 福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 π? ? π? A 的极坐标为? ? 2,4?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ-4?=a,且点 A 在直线 l 上. ①求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; ?x=1+cos α, ? ②圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? ?y=sin α 14. (2012 辽宁)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.
?x=2cos φ, ? 2. (2012 新课标)已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 ? ?y=3sin φ,

3

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆 π 时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ). 3 (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. π π 3 15. (2012 江苏)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P( 2, ),圆心为直线 ρsin(θ- )=- 与极轴的交点, 4 3 2 求圆 C 的极坐标方程.

16. (2012 福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直 ?x=2+2cos θ, 2 3 π 线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),( , ),圆 C 的参数方程为? (θ 为参数). 3 2 ?y=- 3+2sin θ (1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.
? ?x=2cosα, 17. (2011 新课标)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数),M 是 C1 上的动 ?y=2+2sinα. ?

uu u r uuur 点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2.

(1)求 C2 的方程;

π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异 3 于极点的交点为 B,求|AB|.

3

?x= 3cosα 18. (2011 福建)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为? (α ?y=sinα 为参数).(Ⅰ)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为 π 极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2 (Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.
? ?x=5cosφ, 19 . ( 2011 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? (φ 为参数 ) 的右焦点,且与直线 ?y=3sinφ ? ?x=4-2t, ? ? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ?y=3-t ? ? ?x=cosφ, 20. (2011 辽宁)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (φ 为参数),曲线 C2 的参数 ?y=sinφ, ? ? ?x=acosφ, 方程为? (a>b>0,φ 为参数).在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ ?y=bsinφ, ?

π =α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α=0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α= 时,这两个交点重合. 2 (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α= 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=- 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A2,B2,求四边 4 4 形 A1A2B2B1 的面积.

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