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2007年高考真题理科分章节详解“三角函数”题

2007 年高考“三角函数”题 1.(全国Ⅰ) A. ? 是第四象限角, tan ? ? ? B. ? 1 5 1 5 5 ,则 sin ? ? ( ) 12 5 5 C. D. ? 13 13 解: ? 是第四象限角, tan ? ? ? 5 1 5 ,则 sin ? ? - ? ? ,选 D。 12 13 1 ? tan 2 ? 函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos 2 2 x 的一个单调增区间是( 2 ) A. ? , ? ? ? 2? ? ?3 3 ? B. ? , ? 2 2 ? ? ?? ?6 2? C. ? 0, ? ? ? ?? 3? D. ? ? , ? ? ? ?? ? 6 6? 解:函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos x 2 = cos x ? cos x ? 1 ,从复合函数的角度看,原函数 2 1 2 2 看作 g (t ) ? t ? t ?1 , t ? cos x ,对于 g (t ) ? t ? t ?1 ,当 t ? [ ?1, ] 时, g (t ) 2 1 ? 2? ) 时, t ? cos x 减函数, 为减函数,当 t ? [ ,1] 时, g (t ) 为增函数,当 x ? ( , 2 3 3 1 1 且 t ? (? , ) ,∴ 原函数此时是单调增函数,选 A。 2 2 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 解:(Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ? 1 , 2 π . 6 (Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? A? ? ? 1 3 ?? ?? ? ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . ? cos A ? sin ? ? A ? ? cos A ? cos A ? 2 2 3? ?6 ? ? 由 △ ABC 为锐角三角形知, ? ? ? ? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? . 2 2 2 2 6 3 2? ? ? ? A? ? , 3 3 6 所以 1 ? ?? 3 . sin ? A ? ? ? 2 ? 3? 2 3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ? ? 3 3? ? ? 2 , ?. 2 ? ? 由此有 所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ? 2.(全国 II) sin 210 ? ( ? ) A. 3 B. ? 3 2 C. 1 2 D. ? 1 2 解: sin2100 = ? sin 30? ? ? 1 ,选 D。 2 ) 函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ? ? ? ?? ? ? ?? B. ? , ? ? ? 3? ? ?? ? ? C. ? ?, ? ? ? ?? ? ? ? D. ? ? 3? ? , 2? ? ? ? ? 解:函数 f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(?, 3? ),选 C。 2 在 △ ABC 中,已知内角 A ? ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解:(1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 得0 ? B ? 2? .应用正弦定理,知 ? ? ,B ? 0,C ? 0 ? AC ? BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ? AB ? BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ? 因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ? 2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 cos x ? sin x ? ??2 3 ? 2 ? (2)因为 y ? 4 ? sin x ? ? ? ? ?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ? 所以,当 x ? ? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ?? ? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ? 3.(北京卷)已知 cos ? ?tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 解:∵ cos ? ?tan ? ? 0 ,∴ 当 cosθ<0,tanθ>0 时,θ∈第三象限; 当 cosθ>0,tanθ<0 时,θ∈第四象限,选 C。 2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家 赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个 小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为 1, 大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? , 那么 cos 2? 的值等于 . 解:图中小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,∴ 每一个直角三角形的面积是 6, ?a 2 ? b 2 ? 25 ? 设直角三角形的两条直角边长分别为 a, b,则 ? 1 ,∴ 两条直角边的长 ab ? 6 ? ? 2 分别为 3,4,直角三角形中较小的锐角为 ? ,cosθ= 4 7 ,cos2θ=2cos2θ-1= 。 5 25 4.(天津卷) ? ? 2? ?? ?

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