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第17讲 平面向量的概念及线性运算

第 17 讲
一、知识串讲 1. 向量的有关概念 名称 向量 零向量

平面向量的概念及线性运算

定义 既有大小又有方向的量;向量的大 小叫做向量的长度(或称模) 长度为零的向量;其方向是任意的

备注 平面向量是自由向量 记作 0 非零向量 a 的单位向量为

单位向量

长度等于 1 个单位的向量

± 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做 共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量

a |a|

0 与任一向量平行或共线

相等向量 相反向量

两向量只有相等或不等, 不能比较大小 0 的相反向量为 0

2.

向量的线性运算 向量运 算 定义 法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律:a+b=b+a. 加法 求两个向量和的运算 (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c).

求 a 与 b 的相反向量-b 减法 的和的运算叫做 a 与 b 的 差 三角形法则 (1)|λ a|=|λ ||a|; (2)当 λ >0 时,λ a 的 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积 的运算 方向与 a 的方向相同; 当 λ <0 时,λ a 的方向 与 a 的方向相反;当 λ =0 时,λ a=0 3. 共线向量定理
1

a-b=a+(-b)

λ (μ a)=λ μ a; (λ +μ )a=λ a+μ a; λ (a+b)=λ a+λ b

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ,使得 b=λ a. 注意: 1. 向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且 等长的有向线段都表示同一向量. 2. 一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量. 3. 证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量 共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这 两条直线不重合.

题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题: → → ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形 的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________. 下列命题中正确的是 A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 题型二 向量的线性运算 例2 → → → 1→ → 如图,以向量OA=a,OB=b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN= 3 1→ → → → CD,用 a,b 表示OM,ON,MN. 3 ( )

→ → → → → 在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD等于( 2 1 A. b+ c 3 3 5 2 B. c- b 3 3 2 1 C. b- c 3 3 1 2 D. b+ c 3 3

)

2

题型三 共线向量定理及应用 例3 设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

小结 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当 两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 成立,若 λ 1a+λ 2b=0,当 且仅当 λ 1=λ 2=0 时成立,则向量 a、b 不共线. → → → → → → 设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB, → → → → 则AD+BE+CF与BC A.反向平行 ( ) C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

B.同向平行

第 17 讲
一、选择题

平面向量的概念及线性运算强化训练

1. 给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们 的模能比较大小;③λ a=0 (λ 为实数),则 λ 必为零;④λ ,μ 为实数,若 λ a=μ b,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为 A.1 B.2 ( ) C.3 D.4 )

→ → → 2. 设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则 ( → → A.PA+PB=0 → → B.PC+PA=0

→ → → → → C.PB+PC=0 D.PA+PB+PC=0 ( )

3. 已知向量 a,b 不共线,c=ka+b (k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么 A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 ) → D.CF

→ → → 4.如图,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF等于 ( A.0 → B.BE → C.AD

3

5.设 a,b 是两个非零向量 (

) B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ ,使得 b=λ a D.若存在实数 λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b| → → → → → → 6. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立,则 m 等于 ( A.2 B.3 C.4 D.5 )

→ ? ? → AB AC ? → → ? + 7. O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足:OP=OA+λ , → ? ?|→ ? AB| |AC|? λ ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( A.外心 二、填空题 → → → 8. 设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p → → → → → 的值为________. 9. 在?ABCD 中, AB=a, AD=b, AN=3NC, M 为 BC 的中点, 则MN=____________(用 B.内心 C.重心 )

D.垂心

a,b 表示).
→ → 10. 给出下列命题:①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或 → → 相反;③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;④向量AB与向量CD是共线向量,则点 A、B、C、

D 必在同一条直线上.其中不正确的个数为________.
11. 已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、b 共线的条件是__________(将正 确的序号填在横线上). ①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e; ②存在相异实数 λ 、μ ,使 λ ·a+μ ·b=0; ③x·a+y·b=0(实数 x,y 满足 x+y=0); → → ④若四边形 ABCD 是梯形,则AB与CD共线. 12. 如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N, → → → → 若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为________. → → → 1→ → 13. 在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λ CB,则 λ =________. 3

4

第 17 讲
一、知识串讲 1. 向量的有关概念 名称 向量 零向量

平面向量的概念及线性运算

定义 既有大小又有方向的量;向量的大 小叫做向量的长度(或称模) 长度为零的向量;其方向是任意的

备注 平面向量是自由向量 记作 0 非零向量 a 的单位向量为

单位向量

长度等于 1 个单位的向量

± 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做 共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量

a |a|

0 与任一向量平行或共线

相等向量 相反向量

两向量只有相等或不等, 不能比较大小 0 的相反向量为 0

2.

向量的线性运算 向量运 算 定义 法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律:a+b=b+a. 加法 求两个向量和的运算 (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c).

求 a 与 b 的相反向量-b 减法 的和的运算叫做 a 与 b 的 差 三角形法则 (1)|λ a|=|λ ||a|; (2)当 λ >0 时,λ a 的 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积 的运算 方向与 a 的方向相同; 当 λ <0 时,λ a 的方向 与 a 的方向相反;当 λ =0 时,λ a=0 3. 共线向量定理
5

a-b=a+(-b)

λ (μ a)=λ μ a; (λ +μ )a=λ a+μ a; λ (a+b)=λ a+λ b

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ,使得 b=λ a. [难点正本 疑点清源] 1. 向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且 等长的有向线段都表示同一向量. 2. 一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量. 3. 证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量 共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这 两条直线不重合.

题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题: → → ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形 的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③ 解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. → → → → → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点,∴四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四边 → → → → → → 形,则AB∥DC且|AB|=|DC|,因此,AB=DC. ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同;又 b=c, ∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故“|a|=|b|且 a∥b”不是 “a=b”的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③. 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (4)向量可以平移, 平移后的向量与原向量是相等向量. 解题时, 不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量 a 与

a a 的关系: 是 a 方向上的单位向量. |a| |a|
( )
6

下列命题中正确的是

A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C 解析 由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两 个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以 B 不正确;向量的平行只要求 方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以 D 不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从 其逆否命题入手来考虑,假设 a 与 b 不都是非零向量,即 a 与 b 中至少有一个是零向量,而由零向 量与任一向量都共线,可知 a 与 b 共线,符合已知条件,所以有向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是 非零向量,故选 C. 题型二 向量的线性运算 例2 → → → 1→ → 如图,以向量OA=a,OB=b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN= 3 1→ → → → CD,用 a,b 表示OM,ON,MN. 3 思维启迪:结合图形性质,准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键. 解 → → → → 1→ 1 1 ∵BA=OA-OB=a-b,BM= BA= a- b, 6 6 6

5 → → → 1 ∴OM=OB+BM= a+ b. 6 6 → 又∵OD=a+b, → → 1→ 1→ 1→ ∴ON=OC+ CD= OD+ OD 3 2 6 2→ 2 2 = OD= a+ b, 3 3 3 2 1 5 1 1 → → → 2 ∴MN=ON-OM= a+ b- a- b= a- b. 3 3 6 6 2 6 5 → 2 2 → 1 → 1 1 综上,OM= a+ b,ON= a+ b,MN= a- b. 6 6 3 3 2 6 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系,能熟练地找出图形中的相 等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多 边形;③运用法则找关系;④化简结果. → → → → → 在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD等于( 2 1 A. b+ c 3 3 5 2 B. c- b 3 3
7

)

2 1 C. b- c 3 3 答案 A

1 2 D. b+ c 3 3

→ → → → → → 解析 ∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD), → → → ∴3AD=2AC+AB, 1 → 2→ 1→ 2 ∴AD= AC+ AB= b+ c. 3 3 3 3 题型三 共线向量定理及应用 例3 设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 思维启迪:解决点共线或向量共线的问题,要结合向量共线定理进行. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) → =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. → → ∴AB、BD共线,又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ ,使 ka+b=λ (a+kb), 即 ka+b=λ a+λ kb.∴(k-λ )a=(λ k-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ =λ k-1=0,∴k -1=0.∴k=±1. 探究提高 (1)证明三点共线问题, 可用向量共线解决, 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 成立,若 λ 1a+λ 2b=0,当 且仅当 λ 1=λ 2=0 时成立,则向量 a、b 不共线. → → → → → → 设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB, → → → → 则AD+BE+CF与BC A.反向平行 C.互相垂直 答案 A → → → → → → 解析 由题意,得DC=DA+AC,BD=BA+AD. → → → → → → 又DC=2BD,所以DA+AC=2(BA+AD).
8
2

( B.同向平行 D.既不平行也不垂直

)

→ 1→ 2→ 所以AD= AC+ AB. 3 3 → 1→ 2→ → 1→ 2→ 同理,得BE= BC+ BA,CF= CA+ CB. 3 3 3 3 1→ → → → 将以上三式相加,得AD+BE+CF=- BC.故选 A. 3

第 17 讲
一、选择题

平面向量的概念及线性运算强化训练

1. 给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们 的模能比较大小;③λ a=0 (λ 为实数),则 λ 必为零;④λ ,μ 为实数,若 λ a=μ b,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为 A.1 答案 C 解析 ①错,由于终点相同,两起点不一定相同,所以可以不共线. ②对,由于模是实数,所以可以比较大小. ③错,由于 a=0,λ ≠0 时,也可以得 λ a=0. ④错,当 λ =μ =0 时,虽然 λ a=μ b,但是 a 与 b 可以不共线.∴错误命题个数为 3. → → → 2. 设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则 ( → → A.PA+PB=0 答案 B → → → 解析 如图,根据向量加法的几何意义有BC+BA=2BP?P 是 → → B.PC+PA=0 ) B.2 ( ) C.3 D.4

→ → → → → C.PB+PC=0 D.PA+PB+PC=0

AC 的中点,故PA+PC=0.
3. 已知向量 a,b 不共线,c=ka+b (k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么 A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 答案 D 解析 ∵c∥d,∴c=λ d,
? ?k=λ 即 ka+b=λ (a-b),∴? ?λ =-1 ?

→ →

(

)

B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

. ) → D.CF

→ → → 4.如图,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF等于 ( A.0 答案 D 解析 因 ABCDEF 是正六边形, → B.BE → C.AD

9

→ → → → → → → → → 故BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF=CF. 5.设 a,b 是两个非零向量 ( ) B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ ,使得 b=λ a D.若存在实数 λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b| 答案 C 解析 利用向量运算法则,特别是|a| =a 求解. 由|a+b|=|a|-|b|知(a+b) =(|a|-|b|) , 即 a +2a·b+b =|a| -2|a||b|+|b| , ∴a·b=-|a||b|. ∵a·b=|a||b|·cos〈a,b〉 , ∴cos〈a,b〉=-1,∴〈a,b〉=π , 此时 a 与 b 反向共线,因此 A 错误. 当 a⊥b 时,a 与 b 不反向也不共线,因此 B 错误. 若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ =-1,使 b=-a, 满足 a 与 b 反向共线,故 C 正确. 若存在实数 λ ,使得 b=λ a, 则|a+b|=|a+λ a|=|1+λ ||a|, |a|-|b|=|a|-|λ a|=(1-|λ |)|a|,只有当-1≤λ ≤0 时,|a+b|=|a|-|b|才能成立,否则 不能成立,故 D 错误. → → → → → → 6. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立,则 m 等于 ( A.2 答案 B → → → 解析 由已知条件得MB+MC=-MA. 如图,因此延长 AM 交 BC 于 D 点,则 D 为 BC 的中点.延长 BM 交 AC 于 E 点,延长 B.3 C.4 D.5 )
2 2 2 2 2 2 2 2

CM 交 AB 于 F 点,同理可证 E、F 分别为 AC、AB 的中点,即 M 为△ABC 的重心.


AM= AD= (AB+AC),即AB+AC=3AM,则 m=3.

2→ 1 → → 3 3







→ ? ? → AB AC ? → → ? + 7. O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足:OP=OA+λ , → ? ?|→ ? AB| |AC|? λ ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( A.外心 答案 B 解析 作∠BAC 的平分线 AD.
10

)

B.内心

C.重心

D.垂心

→ ? ? → AB AC ? → → ? + ∵OP=OA+λ , → ? ?|→ ? AB| |AC|? → ? → ? → AB AC ? AD → ? + ∴AP=λ =λ ′· (λ ′∈[0,+∞)), → ? ?|→ → |AD| ? AB| |AC|? → λ ′ → → → ∴AP= ·AD,∴AP∥AD. → |AD| ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题 → → → 8. 设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为________.答案 -1 → → → 解析 ∵BD=BC+CD=2a-b,又 A、B、D 三点共线,
? ?2=2λ → → ∴存在实数 λ ,使AB=λ BD.即? ?p=-λ ?

,∴p=-1.

→ → → → → 9. 在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=____________(用 a,b 表示). 1 1 答案 - a+ b 4 4 → → → 3→ 3 解析 由AN=3NC得AN= AC= (a+b), 4 4 → → → → ? ? AM=a+ b,所以MN=AN-AM= (a+b)-?a+ b?=- a+ b. 2 1 2 3 4 1

?

?

1 4

1 4

10. 给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; → → ④向量AB与向量CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上. 其中不正确的个数为________.答案 2 解析 命题①③正确,②④不正确. 11. 已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、b 共线的条件是__________(将正 确的序号填在横线上). ①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e; ②存在相异实数 λ 、μ ,使 λ ·a+μ ·b=0; ③x·a+y·b=0(实数 x,y 满足 x+y=0); → → ④若四边形 ABCD 是梯形,则AB与CD共线. 答案 ①②
11

解析 由①得 10a-b=0,故①对.②对.对于③当 x=y=0 时,a 与 b 不一定共线,故③不对.若

AB∥CD,则AB与CD共线,若 AD∥BC,则AB与CD不共线.
12. 如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不 → → → → 同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为________. 答案 2 → 1 → → 解析 ∵O 是 BC 的中点,∴AO= (AB+AC). 2 → → → → → m→ n→ 又∵AB=mAM,AC=nAN,∴AO= AM+ AN. 2 2 ∵M,O,N 三点共线,∴ + =1.则 m+n=2. 2 2 → → → 1→ → 13. 在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λ CB,则 λ =________. 3 答案 2 3 ① ②

→ →





m n

→ → → 解析 由图知CD=CA+AD, →

CD=CB+BD,

→ →

→ → 且AD+2BD=0. → → → ①+②×2 得:3CD=CA+2CB, 2 → 1→ 2→ ∴CD= CA+ CB,∴λ = . 3 3 3

12


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