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例说幂函数(职高,高一)


4.1.3 例说幂函数
制作人:蓝琴

问题引入
(1) 若购买了每千克1元的蔬菜w千克,则需要支付 p= w 元, y ? x

(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积s= a 2
y ? x
y ?

2

(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V= a 3
x
1

3

(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形 1 的边长a = y ? (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均 ?1 速度v = ?1km / s, y ? x

s

2

x

2

t

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表 ? 示,则它们的函数关系式将是: y ? x (α是常数)

一、幂函数的定义
一般地,形如:y ? x ( α ? R) 的函数称为幂函数, 其中 x 是自变量, 为常数。 ?
α

目前我们只研究 ? 为有理数的情形。
注意: (1) 自变量x为底数,且是单个x; (2)指数 ? 是常数; (3)是个单项式,且项式前面的系数为1.

例1、下面几个函数中,哪几个函数是幂函数?
(1)y ? 2 x
2

(2) y ? x ? x
2

(3)y

? 2

x

(4) y ? (6)

1 x
2

(5) y ? 1
1

y ? 0 .2

x

(7)

y ? x5

(8) y

? (2 x)

2

分析:幂函数有下列三个特点:
(1) 自变量x是底数,且是单个x; (2)指数 ? 是常数; (3)是个单项式,且项式前面的系数为1.

例2、求下列幂函数的定义域:
1

y ? x ; y ? x ; y ? x2; (1)
2 3

(2) y ? x

-1

;y ? x

-2

;y ? x



1 2

.

分析:定义域指使函数表达式有意义的x取值组成的集合 解:(1) y ? x
2

的定义域是R, 的定义域是R,

y ? x
1

3

y ? x

2

?

x 定义域是[0,+∞).

(2) y ? x

-1

?

1 x

定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),

y ? x

-2

?
1 2

1 x
2

定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),

y ? x



?

1 x

定义域是(0,+∞).

二、幂函数 y ? x 的图像和性质
在初中我们已经学习了幂函数
特征: ①y ? x ② y ? x
?2
2

α

y ? x, y ? x , y ? x
2

?1

的图象和性质,请同学们观察一下下列幂函数的图像 1 ③ y ? x
3

y ? x2 ④



y ? x

?1

⑥ y ? x

一般地,对于幂函数我们只讨论 ? =1,2,3, ,
2

1

-1,-2时的情形。 几何画板作图

(a) a>0

(b) a<0

根据函数图像,我们发现它们具有如下的性质:
1

函数
定义域 奇偶性 在第一 象限的 单调性 定点

y?x y?x

2

y?x

3

y?x

2

y?x
?x | x

?1

y?x
?x | x

?2

R 奇

R 偶

R 奇 非奇非偶

? 0?

? 0?





递增 递增 递增 (0,0) (0,0) (1,1) (1,1) (0,0) (1,1)

递增 (0,0) (1,1)

递减

递减

(1,1)

(1,1)

由此我们可以得到幂函数

y ? x

?

(a ? R)的如下性质:

幂函数 y ? x
? ? 0

?

(a ? R )

的性质
? ? 0

ⅰ)图象过(0,0)(1,1)点

ⅰ)图象过(1,1)点

ⅱ)在第一象限内图象逐渐上 ⅱ)在第一象限内图象逐渐下 升,都是增函数,且 ? 越 降 ,都是减函数,且 ?

大,上升速度越快

越小,下降速度越快

*例3、 比较下面各组中两个值的大小:
3 3

(1)1 . 6 2 ,1 . 8 2 ;
3

(2) 2 . 6
3

?

2 3

?

2 3

,3 . 8

.
3

解: (1)设
∵ ∴函数

f ( x) ? x 2

,则 1.6 2 ? f (1.6),1.8 2 ? f (1.8)

? ?

3 2
3

? 0;

f ( x) ? x 2

在(0,+∞)内是增函数。

又∵
∴ 即

1.6<1.8;
f (1.6) ? f (1.8);
3 3

1.6 2 ? 1.8 2 .

(2)设


f ( x) ? x

?

2

3 ,则 2.6

?

2 3

? f (2.6),3.8

?

2 3

? f (3.8)

? ??
?

2 3
2 3

? 0;

∴函数 又∵

f ( x) ? x

在(0,+∞)内是减函数。

2.6<3.8;
f (2.6) ? f (3.8);
? 2 3




2.6

? 3.8 3 .

?

2

三、幂函数的简单应用

例4 自由落体下落的距离 y(米)与时间 x(秒)的
g g 是物体重力加速度, ? 9.8 米 2 ) 函数关系为 y ? gx( 秒 2
1
2

求自由落体下落时间分别为1秒2秒时,物体下落的 距离是多少? 解: 因为自由落体下落的距离 y(米)与时间 x
(秒)的函数关系为
y ? 1 2 gx
2

所以当 x ? 1 时

,y ?
1 2

1 2

gx ?
2

1 2

? 9.8 ?1 ? 4.9
2



当 x ? 2时, y ? gx ? ? 9.8 ? 2 ? 19.6 米。
2 2

1

2

课堂练习 1、求下列幂函数的定义域: 2 (1)y=x 5 (2)y=x (3)y=x
解: (1)y
(2)y (3) y
? 3 4

1 3

(4)y=x-2
5

2

? x5 ?
1

x

2

定义域是( -∞,+∞).
定义域是( -∞,+∞). 定义域是( 0,+∞).

? x3 ?
? x
? 3 4

3

x
1

?
4

x

3

(4) y

? x

?2

?

1 x
2

定义域是 ( - ∞,0 ) ∪( 0,+∞).

2. 比较下面各组中两个值的大小:
3 3 2 2

(1) 2.5 2 ,1 .8 2
? 3 4 ? 3 4

( 2 ) .3 3 , .4 3 0 0 (4) 0.6
3
?5

( 3 ) .7 2

, 2 .8

, 0 .3

?5

y ? x 2 在(0,+∞)内是增函数 解:(1)
3 3

∵2.5 > 1.8 ? 2.5 2 ? 1.8 2
2

(2) y ? x 3 在(0,∞)内是增函数 2 2 ∵0.3<0.4 ? 0.3 3 ? 0.4 3

(3) y ? x

?

3 4

在(0,∞)内是减函数

∵2.7<2.8
? 2.7
? 3 4

? 2.8

?

3 4

(4) y ? x

?5

在(0,∞)内是减函数

∵0.6>0.3

? 0.6

?5

? 0.3

?5

课堂小结
一、幂函数的一般形式 y ? x (α ? R)
α

二、幂函数的性质其定义域、奇偶性、单调性,因函 数式中 ?的不同而各异.
1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1); 2.如果 ? >0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) ? >1 并在(0,+∞)上为增函数; 3.如果 ? <0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 ? <0 (0,+∞)上为减函数;

0<? <1

P46 课后作业4.1.3
1, 2


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