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高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及综合应用课件文_图文

专题三 数列 第 2 讲 数列的求和及综 合应用 1.(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足 a1+3a2+…+(2n -1)an=2n.(导学号 55410038) (1)求{an}的通项公式; (2)求数列?????2na+n 1?????的前 n 项和. 解:(1)因为 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,① 故当 n≥2 时,a1+3a2+…+(2n-3)·an-1=2(n-1), ② ①-②得(2n-1)an=2,所以 an=2n2-1, 又 n=1 时,a1=2 适合上式, 从而{an}的通项公式为 an=2n2-1. ?? an ?? (2)记???2n+1???的前 n 项和为 Sn, 由 (1) 知 an = 2 =1- 2n+1 (2n-1)(2n+1) 2n-1 1, 2n+1 则 Sn = ???1-13??? +???13-15??? +… + ? ? 1 - 1 ? ? ??2n-1 2n+1?? = 1 - 1 = 2n . 2n+1 2n+1 2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数 列,且 a1+a2=6,a1a2=a3.(导学号 55410039) (1)求数列{an}的通项公式; (2){bn}为各项非零的等差数列,其前 n 项和为 Sn.已 知 S2n+1=bnbn+1,求数列???bann???的前 n 项和 Tn. 解:(1)设{an}的公比为 q, 由题意知 a1(1+q)=6,a21q=a1q2, 又 an>0, 解得 a1=2,q=2,所以 an=2n. (2n+1)(b1+b2n+1) (2)由题意知 S2n+1= 2 =(2n+ 1)bn+1, 又 S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0, 所以 bn=2n+1. 令 cn=bann,则 2n+1 cn= 2n . 因此 Tn=c1+c2+…+cn=32+252+273+…+ 2n-1 2n+1 2n-1 + 2n , 又12Tn=232+253+274+…+2n2-n 1+22nn++11, 两式相减得12Tn=32+????12+212+…+2n1-1????-22nn++11, 2n+5 所以 Tn=5- 2n . 【命题透视】 从近年高考命题看,本讲主要考查的 内容:(1)以等差(比)数列为背景,考查等差(比)的通项与 求和公式、分组转化求和;(2)以简单的递推关系为背景, 考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和的基本方法.主 要以解答题的形式呈现,中档难度,且常与函数、不等式 知识交汇. 热点 1 数列求和(多维探究) 数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方 法有倒序相加、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组转化 求和.裂项相消法和错位相减法是常用的两种方法. 命题视角 1 分组转化求和 [例 1-1] (2017·福州八中质检)在等比数列{an}中, 公比 q≠1,等差数列{bn}满足 b1=a1=3,b4=a2,b13= a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前 2n 项和 S2n. 解:(1)设等差数列{bn}的公差为 d, 因为 b1=a1=3,b4=a2,b13=a3,q≠1 ??3+3d=3q, ??q=3, 则有? 解得? ??3+12d=3q2, ??d=2 ??q=1, 或? (舍去). ??d=0 所以 an=3n,bn=2n+1. (2)由(1)知 cn=(-1)n(2n+1)+3n, 则 S2n=(3+32+33+…+32n)+{(-3)+5+(-7)+9 3(1-32n) +…+[-(4n-1)]+(4n+1)}= +[(5-3)+(9 1-3 -7)+…+(4n+1-4n+1)]=32(32n-1)+2n=12(32n+1-3) +2n. [规律方法] 1.在处理一般数列求和时,一定要注意运用转化思 想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求 和.在利用分组求和法求和时,常常根据需要对项数 n 进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个表达式. 2.分组求和的策略:(1)根据等差、等比数列分组; (2)根据正号、负号分组. 命题视角 2 裂项相消法求和 [例 1-2] (2015·全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项 和.已知 an>0,a2n+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=ana1n+1,求数列{bn}的前 n 项和. 解:(1)由 a2n+2an=4Sn+3 可知, a2n+1+2an+1=4Sn+1+3. 两式相减可得 a2n+1-a2n+2(an+1-an)=4an+1, 即 2(an+1+an)=a2n+1-a2n=(an+1+an)·(an+1-an). 由于 an>0,可得 an+1-an=2. 又 a21+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3. 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公 式为 an=2n+1. (2)由 an=2n+1 可知, bn = 1 anan+1 = 1 (2n+1)(2n+3) = 1 2 ????2n1+1-2n1+3????. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn= 12??????13-15???+???15-17???+…+ ????2n1+1-2n1+3????????= n. 3(2n+3) [规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项 或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意 消去了哪些项,保留了哪些项. 2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项, 前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. [

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