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浙江省重点中学协作体2015届高三一轮摸底测试数学(文)试题 Word版含答案


2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 数学(文科)试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 2 至 4 页. 满 分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上. 参考公式: 球的表面积公式
S ? 4? R 2

棱柱的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式

球的体积公式

V ?

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式

V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 如果事件 A, B 互斥, 那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x x ? 1 ,则A ? ? C R B ? =( ▲) 。 A. x x ? 1
?

?

?

?

?

?

?

B. x x ? 1
?

?

?

C. x ? ? x ? 2

?

?

D. x ? ? x ? 2

?

?

2.已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? ( 2,1) ,则“ x ? 0 ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的( ▲) 。 A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( ▲) 。 A. y ?

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1


2

D. y ? lg | x |

4.如图给出的是计算

1 1 ? ? 2 4

?

1 的值的一个程序框图, 108

则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是 ( ▲) 。 A. i ? 108, n ? n ? 1 C. i ? 54, n ? n ? 2 B. i ? 108, n ? n ? 2 D. i ? 54, n ? n ? 2

log sin ? log? cos ? ? ?? 5.?? ? ? , y ? ? cos ? ? ? ,则 x 与 y 的 ? , ? , x ? ? sin ? ? ?4 2?

大小关系为( ▲) 。 A. x ? y B. x ? y C. x ? y D.不确定

6.若函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的导函数为 f ? ? x ? ,且不等式 xf ? ? x ? ? f ? x ? 恒成立,又 常数 a , b 满足 a ? b ? 0 ,则下列不等式一定成立的是( ▲) 。 A. bf ? a ? ? af ?b? C. bf ? a ? ? af ?b? 7.函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? )(| ? |? B. af ? a ? ? bf ?b? D. af ? a ? ? bf ?b? .

? ? ) 的图象向左平移 个单位后关于原点对称,则函数 2 6
x

。 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值为( ▲ ) 2 A. ?

?

3 2

B. ?

1 2

正视图

2

1 1 侧视图

C.

1 2

D.

3 2

俯视图

8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中 的 x 的值是( ▲) 。 A.2 B.
9 2

C.

3 2

D.3

x2 y2 9.如图, F1 、 F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦 a b
点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A 、 B .若

y
A

B

?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(▲) 。
A.4 C. B. 7 D. 3

F1

F2 x

2 3 3

10.某校数学复习考有 400 位同学参加﹐评分后校方将此 400 位同学依总分由高

到低排序 如下﹕前 100 人为 A 组﹐次 100 人为 B 组﹐再次 100 人为 C 组﹐最后 100 人为
D 组﹒

校方进一步逐题分析同学答题情形﹐将各组在填充第一题(考排列组合)和 填充第二题 (考空间概念)的答对率列表如下﹕
A组 B组

C组

D组

第一题答对率 第二题答对率

100% 100%

80% 80%

70% 30%

20% 0%

则下列( ▲)选项是正确的
A.第一题答错的同学﹐不可能属于 B 组 B.从第二题答错的同学中随机抽出一人﹐此人属于 B 组的机率大于 0.5 C.全体同学第一题的答对率比全体同学第二题的答对率低 15% D.从 C 组同学中随机抽出一人﹐此人第一﹑二题都答对的机率不可能大于

0.3 ﹒

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知 i 是虚数单位,若

a +3i ? b ? i (a, b ? R) ,则 ab 的值为 i



。 ▲ ▲ 。 。

12.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6, a5 ? 15, bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和 S5 = 13.已知函数 f ( x) ?

2 ? sin x ,则 f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? 2 ?1
x

→ → 14.在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC=





2 y2 15.已知椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 C 上的任意一 a b

点,若以 F1 , F2 , P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆 C 的离心

率的取值范围是





?2 x ? y ? 2 ? 0 2 2 ? 16.若实数 x、 y 满足 ? y ? 3 ,且 x ? y 的最大值等于 34,则正实数 a 的值等于 ?ax ? y ? a ? 0 ?
▲ 。

17.把座位编号为 1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少 一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为: (用数字作答) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分14分)在 ?ABC 中,三个内角分别为 A, B, C ,且 cos( A ? (1)若 cosC ? (2)若 B ? (0, ▲ 。

?
3

) ? 2 cos A .

6 , BC ? 3 ,求 AC . 3
3 ) ,且 cos( A ? B ) ? 4 ,求 sin B . 5

?

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log2 an , cn =

1 ? ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .若对 n ? N , bnbn ?1

Tn ? k ? n ? 4? 恒成立,求实数 k 的取值范围.

20. (本小题满分 15 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,

AB ? PA ? 1, AD ? 3 , F 是 PB 中点, E 为 BC 上一点.
(1)求证: AF ? 平面 PBC ; (2)当 BE 为何值时,二面角 C ? PE ? D 为 45? .

P F A D E

B C

1 21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ax2 ? bx,设h( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2
(1)若 g(2)=2,讨论函数 h(x)的单调性; (2)若函数 g(x)是关于 x 的一次函数,且函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2. ①求 b 的取值范围; ② 求证: x1 x2 ? e 2 .

22. (本小题满分 14 分)设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其长轴长是短轴长的 2 倍, a 2 b2

过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 3 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)点 P 是椭圆 E 上横坐标大于 2 的动点,点 B, C 在 y 轴上,圆 ( x ?1) ? y ? 1 内
2 2

切于 ?PBC ,试判断点 P 在何位置时 ?PBC 的面积 S 最小,并证明你的判断.

y P B O C x

2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 数学(文科)答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 C 6 A 7 A 8 D 9 B 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. -3 12.90 13.5 14. 3 15. [ 2 ? 1, 2 ] 2 16.

3 5

17.96

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 解:因为 cos( A ?

?
3

) ? 2 cos A ,得 cos A cos

?
3

? sin A sin

?
3

? 2 cos A ,

即 sin A ? 3 cos A ,因为 A ? ?0, ? ? ,且 cos A ? 0 , 所以 tan A ? 3 ,所以 A ?
2 2

?
3



(1)因为 sin C ? cos C ? 1 , cosC ?

6 3 , C ? ?0, ? ? ,所以 sin C ? 3 3 3 6 1 3 3 2? 3 , ? ? ? ? 2 3 2 3 6

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ? 由正弦定理知: (2)因为 B ? (0,

AC BC ? ,即 AC ? 1 ? 6 。 sin B sin A

?
3

) ,所以 A ? B ?

?

? ?? ? B ? ? 0, ? , 3 ? 3?
3 , 5

sin 2 ( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 1 ,所以 sin( A ? B) ?

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ?? ? sin A cos(A ? B) ? cos A sin( A ? B) ? 19. (本小题满分 14 分)

4 3 ?3 . 10

解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? 2 ,当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n?1 ? 2a n ? 2 ? (2a n?1 ? 2)

即:

an ? 2 ,? 数列 ?a n ? 为以 2 为公比的等比数列 a n ?1

?an ? 2n

(2)由 bn=log2an 得 bn=log22n=n,则 cn=

1 1 1 1 = = - , bnbn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n + - +…+ - =1- = . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 n n n 1 = 2 ∵ ≤k(n+4),∴k≥ = . 4 n ?1 (n+1)(n+4) n +5n+4 n+ +5 n
Tn=1- ∵n+

4 4 4 +5≥2 n +5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立, n n n



1 1 1 ?1 ? ≤ ,因此 k≥ ,故实数 k 的取值范围为 ? , ?? ? 4 9 9 9 ? ? n+ +5 n

20. (本小题满分 15 分) 解: (1)取 BC 中点为 N ,连结 MN , C1 N , ∵ M , N 分别为 AB, CB 中点 ∴ MN ∥ AC ∥ A1C1 , ∴ A1 , M , N , C1 四点共面, 且平面 BCC1 B1 I 平面 A1MNC1 = C1 N 又 DE ? 平面 BCC1 B1 , 且 DE ∥平面 A1MC1 ∴ DE ∥ C1 N ∵ D 为 CC1 的中点,∴ E 是 CN 的中点, ∴

CE 1 ? . EB 3

(2)连结 B1M , 因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,∴ AA1 ^ 平面 ABC ∴ AA1 ^ AB ,即四边形 ABB1 A1 为矩形,且 AB ? 2 AA1 ∵ M 是 AB 的中点,∴ B1M ^ A1M ,又 A1C1 ^ 平面 ABB1 A1 ,

∴ A1C1 ^ B1M ,从而 B1M ^ 平面 A1MC1 ∴ MC1 是 B1C1 在平面 A1MC1 内的射影 ∴ B1C1 与平面 A1MC1 所成的角为∠ B1C1M 又 B1C1 ∥ BC ,

∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角即 B1C1 与平面 A1MC1 所成的角 设 AB ? 2 AA1 ? 2 ,且三角形 A1MC1 是等腰三角形 ∴ A1M = A1C1 = ∴ cos ? B1C1M

2 ,则 MC1 = 2 , B1C1 =
MC1 6 = B1C1 3

6

∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值为 21. (本小题满分 15 分) (1)解:解:∵g(2)=2 ∴a-b=1

6 . 3

1 ∴ h( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 1) x ,其定义域为(0,+ ? ) 2

h?(x) ?

1 ?ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ?(ax ? 1)( x ? 1) ? ax ? (a ? 1)= ? x x x

(Ⅰ)若 a ? 0,则函数 h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+ ? )上单调减. (Ⅱ)若 a<0,令 h?(x) ? 0 得 x1 ? ? ①当 a<-1 时,则 0 ? ?

1 , x2 ? 1 a

1 1 ? 1 ,所以函数 h(x)在区间(0, ? )上单调增;在区间(1,+ ? ) a a 1 上单调增;在区间( ? ,1)上单调减. a
②当 a=-1 时, h?(x) ? 0 所以函数 h(x)在区间(0,+ ? )单调减.

1 1 ? 1 ,所以函数 h (x)在区间(0,1)上单调增;在区间( ? ,+ ? )上 a a 1 单调增;在区间(1, ? )上单调减. a
③当-1<a<0 时,则 ? (2)∵函数 g(x)是关于 x 的一次函数 ∴ h( x) ? ln x ? bx ,其定义域为(0,+ ? ) ①由 h(x) ? 0 得 b ? -

ln x ln x ln x ? 1 ,记 ? (x) ? ? ,则 ? ?(x) ? x x x2

ln x 在 (0, e) 单调减,在 (e, ??) 单调增, x ln x 1 ∴当 x ? e 时 ? (x) ? ? 取得最小值 ? e x
∴ ? (x) ? ? 又 ? (1) ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时 ? (x) ? 0 ,而 x ? (1, ??) 时 ? (x) ? 0

1 ∴b 的取值范围是( ? ,0) e
②由题意得 lnx1 ? bx1 ? 0,lnx2 ? bx2 ? 0 ∴ lnx1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? 0,lnx2 ? lnx1 ? b( x2 ? x1 ) ? 0 ∴

ln x1 x2 x ?x ? 1 2 ,不妨设 x1<x2 ln x2 ? ln x1 x2 ? x1
只需要证 ln x1 x2 ?

要证 x1 x2 ? e 2 ,

x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 x2 ? x1

即证 ln x2 ? ln x1 ? 则 F (t ) ? ln t ? ∴ F ?(t ) ? ?

2( x2 ? x1 ) x ,设 t ? 2 (t ? 1) x1 x2 ? x1

2(t ? 1) 4 ? ln t ? ?2 t ?1 t ?1

1 4 (t ? 1)2 ? ?0 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
2(t ? 1) t ?1

∴函数 F (t ) 在(1,+ ? )上单调增,而 F (1) ? 0 ,所以 F (t ) ? 0 即 ln t ? ∴ x1 x2 ? e 2 . 22. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知 a ?

2b ,

b2 ? 3 ,解得: a ? 2 3, b ? 6 , a

故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 6

(2)设 P( x0 , y0 )(2 ? x0 ? 2 3) , B(0, m), C (0, n) . 不妨设 m ? n ,则直线 PB 的方程为 lPB : y ? m ?

y0 ? m x x0

即 ( y0 ? m) x ? x0 y ? x0m ? 0 ,又圆心 (1, 0) 到直线 PB 的距离为 1 ,



y0 ? m ? x0 m ( y0 ? m) ? x0
2 2

? 1, x0 ? 2 ,化简得 ( x0 ? 2)m2 ? 2 y0m ? x0 ? 0 ,

同理, ( x0 ? 2)n2 ? 2 y0n ? x0 ? 0 ,∴ m, n 是方程 ( x0 ? 2) x2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两个根,
2 2 ?2 y0 ? x0 4 x0 ? 4 y0 ? 8x0 2 ∴m?n ? ,则 (m ? n) ? , , mn ? x0 ? 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2)2
2 x0 2 x2 ? 8x0 ? 24 ) ,∴ (m ? n)2 ? 0 . 12 ( x0 ? 2)2

∵ P( x0 , y0 ) 是椭圆上的点,∴ y0 ? 6(1 ?
2

则S ?
2

2 2 1 2 x0 ? 8x0 ? 24 2 x0 ? 4 x0 ? 12 2 ( x0 ? 2)2 ? 8 2 ? ? x ? ? x0 ? ? x0 , 0 4 ( x0 ? 2)2 2( x0 ? 2)2 2( x0 ? 2)2

令 x0 ? 2 ? t (0 ? t ? 2( 3 ?1)) ,则 x0 ? t ? 2 ,令 f (t ) ?

(t 2 ? 8)(t ? 2) 2 , 2t 2

化简,得 f (t ) ?

1 2 16 16 16 32 (t ? 2)(t 3 ? 16) t ? 2t ? 6 ? ? 2 ,则 f ?(t ) ? t ? 2 ? 2 ? 3 ? , 2 t t t t t3

令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? 2 3 2 ,而 2( 3 ?1) ? 2 3 2 , ∴函数 f (t ) 在 [0,2( 3 ?1)] 上单调递减,当 t ? 2( 3 ? 1) 时, f (t ) 取到最小值, 此时 x0 ? 2 3 ,即点 P 的横坐标为 x0 ? 2 3 时, ?PBC 的面积 S 最小.


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