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高中函数与集合的概念与练习题

第一章 集合与函数概念 (知识要点归纳)
一、集合有关概念 1. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 2 集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合 2 (2) 空集不含任何元素的集合例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。 元素相同则两集合相等” 1 任何一个集合是它本身的子集。A?A 2 真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 B(或 B A)

练习题
1.用列举法表示集合 M ? {x ? R | x ? 4 x ? 4 ? 0} 为(
2



A. {2,2}

B. {2}

C. {x ? 2} D. {x ? 4 x ? 4 ? 0}
2

2.已知集合 A= {x | ?4 ? x ? 2} ,B= {x | ?2 ? x ? 1} ,则( A.A>B B.A ? B C.A B D.A ? B



1 3.M ? {x ? R | x ? 2} ,a ? ? , 则下列四个式子○ a ? M ; 2 {a} ○

3 ○ M ; ○ a ? M ; 4 {a} ? M ? ? ,

其中正确的是(
1 2 A.○○


2 3 C.○○ 1 2 4 D.○○○

1 4 B.○ ○

4.已知集合 M 和 P 如图所示,其中阴影部分表示为( A. M ? P B. M ? P C. C P (M ? P)



D. C M (M ? P) 5.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, )

A={2,5,8},B={1,3,5,7},那么(CUA)∩B =( A.{5} C.{2,8} B.{1, 3,4,5,6,7,8} D.{1,3,7}

M M? P

P

1

11.已知集合 A= {1,2} ,请写出集合 A 的所有子集
2 2 2

.

21.设 A ? {x | x ? 4 x ? 0}, B ? {x | x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0}, x ? R ,如果 A∩ B=B,求实数 a 的取值范围。

二、函数的有关概念

1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于 集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫 做自变量, 的取值范围 A 叫做函数的定义域; x 的值相对应的 y 值叫做函数值, x 与 函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各 部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); ②定义域一致 (两点必须同时具备) 2.值域: 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么 就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系):A(原 象) ? B(象)” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.
2

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合 函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 x1, 2, x1<x2 时, x 当 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数. 区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, 2, x1<x2 时, x 当 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方); 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); 5 ○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相 关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和 在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的 定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据 定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)借助函数的图 象判定 . 10.函数最大(小)值 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

3

练习题
6.如图,以下 4 个对应不是从 A 到 B 的映射的是( 开平方
9 4 1 3 -3 2 -2 1 -1

) 求正弦
300 450 600 90
0

求平方
1 -1 2 -2 3 9 3 1 4 1 2

乘以 2
1 2 3 4 5 6

1 2
2 2 3 2

900

1
B.

A.

3 C.

D. )

7.若 f (x) 的定义域为[0,1],则 f ( x ? 2) 的定义域为( A.[0,1] B.[2,3] C.[-2,-1] )

D.无法确定

8.已知函数 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 则 f (x) 等于( A. 2 x ? 3 B. 2 x ? 2 C. 2 x ? 1

D. 2 x ? 1

9.拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f (m ?) ? 1.06? 0.5? m] ? 1) (元)决定,其中 m ? 0 , [m] ( [ 是大于或等于 m 的最小整数,(如[3]=3,[3.8]=4,[3.1]=4),则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的 电话费为( A.3.71 元 ) B.3.97 元 C.4.24 元 D.4.77 元

10.如图,矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,M 是 CD 的中点,点 P 在矩形的边上沿 A→B→C→M 运动,则△APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的( )

二、填空题
2 12.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 1 ,则 f ( 2 ) = _________;

f ( f (2)) ? _________; f (a ? b) ? _________.
13.函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 在区间[-1,5]上的最大值为
2

,最小值

4



.

14.已知函数 f (x) 的定义域为[2,5]且为减函数,有 f (2a ? 3) ? f (a) ,则 a 的取值范围是_________. 15. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 , f (2010 ) ? 20 ,则 f (?2010 ) ?
4 2

.

三、解答题 16.求下列函数的定义域: ① f(x) ?
1? x 2 2 x ? 3x ? 2

② f ( x) ? 1 ? x ?

1 x

17. 求下列函数的值域: ① y ? 2 x 2 ? 3x ? 2 x ? [?3,5] ②y?

x x ?1
2

18.判断函数 y ? x ? x 的单调性和奇偶性,并证明你的结论
3

(a3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 )) .

5

19. 已知 0 ? a ?

1 2 ,若 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1在区间[1,3]上的最大值为 M (a) ,最小值为 N (a ) ,令 3

g ( a) ? M ( a)? N ( a)。
(1)求函数 g (a ) 的表达式; (2)判断函数 g (a ) 的单调性,并求 g (a ) 的最小值。

20.某汽车以 60km/h 的速度从 A 地运行到 300km 远的 B 地,在 B 地办事一个 半小时后,在以 55km/h 的速度返回 A 地。试将汽车离开 A 地后行走的路程 S 表示为时间 t 的函数并画出函数图像。

6


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