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2010全国各地高考数学文科试题分类汇编函数与导数


2010 全国各地高考数学文科试题分类汇编 函数与导数
2010 安徽文 (20) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1 , 0 ? x ? 2? ,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。 2010 北京文 (18) (本小题共 14 分) 设定函数 f ( x) ? 1,4。 (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。 2010 湖南文 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?
a ? x ? (a ? 1) ln x ? 15a, 其中 a<0,且 a≠-1. x a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,且方程 f ' ( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 3

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性;

(Ⅱ)设函数

g ( x) ? {e? f ( x ),x?1

( ?2 x3 ?3 ax3 ?6 ax?4 a 2 ?6 a ) e x , x?1

(e 是自然数的底数) 。是否

存在 a,使 g ( x) 在[a,-a]上为减函数?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说 明理由。 2010 辽宁文 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1. (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1, x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | 。

2010 山东文 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?
1? a ? 1(a ? R) x

(I)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (II)当 a ? 2010 陕西文 21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)= x ,g(x)=alnx,a ? R。 (1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,
1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

求 a 的值及该切线的方程; (2) 设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时,求其最小值 ?

(a)的解析式; (3) 2010 天津文 (20) (本小题满分 12 分)
3 已知函数 f(x)= ax3 ? x 2 ? 1( x ? R ) ,其中 a>0. 2

对(2)中的 ? (a) ,证明:当 a ? (0,+ ? )时, ? (a) ? 1.

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程;
? 1 1? (Ⅱ)若在区间 ? ? , ? 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2?

2010 新课标全国卷文 (21)本小题满分 12 分) 设函数 f? x ? ? x ? e x ? 1? ? ax 2 (Ⅰ)若 a=
1 ,求 f? x ? 的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f? x ? ≥0,求 a 的取值范围

2010 重庆文

(19) (本小题满分 12 分。 (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分.)
' 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx (其中常数 a,b∈R) gx fx f() ? , () ?() x

是奇函数.

(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间 ?1,2? 上的最大值与最小值.

参考答案
2010 安徽文 20 20.【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方 法,考查综合应用数学知识解决问题的能力. 【解题指导】 (1)对函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1求导,对导函数用辅助角公式 变形, 利用导数等于 0 得极值点, 通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负, 判断区间的单调性,求极值.

解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2? ,知f, ( x) ? 1 ? 2sin( x ? ). 4 ? 2 3? 令f, ( x) ? 0,从面sin( x ? ) ? ,得x ? ?,或x ? , 4 2 2 , 当x变化时,f ( x),f(x)变化情况如下表:

?

因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,?)与(

3? 3? 3? 单调递增区间是(? , ),极小值为f( )= ,极大值为f(? )=? ? 2 2 2 2

3? , ), 2? 2

2010 北京文 18

18)(共 14 分) 解:由 f ( x) ? 因 为 f ?( x? )
a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 得 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c 3

9x ?

2

a ? 2 b x ?9 的 0 个 根 分 别 为 x ? c ?两 x
(*)

1,4 , 所 以

?a ? 2b ? c ? 9 ? 0 ? ?16a ? 8b ? c ? 36 ? 0

?2b ? c ? 6 ? 0 (Ⅰ)当 a ? 3 时,又由(*)式得 ? ?8b ? c ? 12 ? 0
解得 b ? ?3, c ? 12

又因为曲线 y ? f ( x) 过原点,所以 d ? 0 故 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 12 x (Ⅱ)由于 a>0,所以“ f ( x) ?
a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 在(-∞,+∞)内无极值点”等 3

价于“ f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 在(-∞,+∞)内恒成立” 。 由(*)式得 2b ? 9 ? 5a, c ? 4a 。 又 ? ? (2b)2 ? 4ac ? 9(a ?1)(a ? 9)

?a ? 0 解? ?? ? 9(a ? 1)(a ? 9) ? 0
即 a 的取值范围 ?1,9? 2010 湖南文 21

得 a ??1,9?

2010 辽宁文 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ?
a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0; 2a

x∈( ?

a ?1 , ? )时,f ?( x ) <0, 故 f(x)在 + (0, 2a

?

a ?1 a ?1 ) 单调增加, ( ? 在 , 2a 2a

+ ? )单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2,
即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则
g ?( x) ? a ?1 ? 2ax +4 x



2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 . x

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 于是 g ?( x) ≤ = ≤0. x x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .

2010 山东文 21

(Ⅱ)因为 所以 令

f ( x) ? ln x ? ax ?
f ' ( x) ?

1? a ? 1, x

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ?? x x x2

x ? (0,??) ,

g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

2010 陕西文 21 解 (1)f’(x)= 由已知得
1 2 x

,g’(x)=

a (x>0), x

x =alnx,
1 2 x

=

a , x

解德 a=

e ,x=e2, 2
2

? 两条曲线交点的坐标为(e ,e) 1 ? 切线的方程为 y-e= 2e (x- e2).

1 切线的斜率为 k=f’(e2)= 2e ,

(2)由条件知

Ⅰ 当 a.>0 时,令 h ' (x)=0,解得 x= 4a 2 , 所以当 0 < x< 4a 2 时 h ' (x)<0,h(x)在(0, 4a 2 )上递减;

当 x> 4a 2 时,h ' (x)>0,h(x)在(0, 4a 2 )上递增。 所以 x> 4a 2 是 h(x)在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是

h(x)的最小值点。
所以 Φ (a)=h( 4a 2 )= 2a-aln 4a 2 =2 Ⅱ当 a ≤ 0 时,h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值。

故 h(x) 的最小值 Φ (a)的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o) (3)由(2)知 Φ (a)=2a(1-ln2a) 则 Φ 1(a )=-2ln2a,令 Φ 1(a )=0 解得 a =1/2 当 0<a<1/2 时,Φ 1(a )>0,所以 Φ (a ) 当 a>1/2 在(0,1/2) 上递增

时, Φ 1(a )<0,所以 Φ (a ) 在 (1/2, +∞)上递减。

所以 Φ (a )在(0, +∞)处取得极大值 Φ (1/2 )=1 因为 Φ (a )在(0, +∞)上有且只有一个极致点,所以 Φ (1/2)=1 也是 Φ (a) 的最大值 所当 a 属于 (0, +∞)时,总有 Φ (a) 2010 天津文 20 【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、 解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分.
3 (Ⅰ) 当 a=1 时, x) x 3 ? x 2 ? 1 , 2) f’(x)= 3x 2 ? 3x , f’(2)=6. 解: f ( = f ( =3; 2



1

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. (Ⅱ)解:f’(x)= 3ax2 ? 3x ? 3x(ax ?1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x= 以下分两种情况讨论:
1 1 (1) 若 0 ? a ? 2,则 ? ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下 a 2 1 . a

表: X f’(x) f(x)
? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?

0 0 极大值

? 1? ? 0, ? ? 2?

+
?

?

1 ?5 ? a ? ? ? f (? 2 ) ? 0, ? 8 ? 0, ? ? 1 1? 即? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? 5 ? a ? 0. ? 2 ? 8 ? ?

解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . (2) 若 a>2,则 0 ?
? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
1 1 ? .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2

X

0

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 1? ? ,? ?a 2?

f’(x) f(x)

+
?

0 极大值

?

0 极小值

+
?

?5 ? a ? 1 ?f(- 2 )>0, ? 8 >0, ? ? ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? a ? 2a 2 ? ?

解不等式组得

2 2 .因此 2<a<5. ? a ?5或a ? ? 2 2

综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5.

2010 新课标全国文 21 解(Ⅰ) a ?
1 1 时, f ( x) ? x(e x ? 1) ? x 2 , f '( x) ? ex ?1 ? xex ? x ? (ex ?1)( x ? 1) 。 2 2

当 x ? ? ??, ?1? 时 f '( x) ? ? ;当 x ? ? ?1,0? 时, f '( x) ? 0 ;当 x? ? 0, ??? 时, f '( x) ? 0 。 故 f ( x) 在 ? ??, ?1? , ? 0,??? 单调增加,在(-1,0)单调减少。 (Ⅱ) f ( x) ? x( xa ?1 ? ax) 。令 g ( x) ? xa ?1 ? ax ,则 g '( x) ? e x ? a 。 若 a ? 1 ,则当 x? ? 0, ??? 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 , 从而当 x≥0 时 g ( x) ≥0,即 f ( x) ≥0. 若 a ? ? ,则当 x ? ? 0,ln a ? 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 ,

从而当 x ? ? 0,ln a ? 时 g ( x) <0,即 f ( x) <0. 综合得 a 的取值范围为 ? ??,1? 2010 重庆文 19


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