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第二届全国大学生数学竞赛预赛试题(非数学类)


第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 (非数学类,2010)
考试形式 闭卷 考试时间 150 分钟 满分 100 分

一、 (本题共 5 小题,各小题 5 分,共 25 分)计算下列各题(要求写出重要步骤). (1)设 xn = (1 + a )(1 + a )
2

(1 + a 2 ) ,其中 | a |< 1 ,求 lim xn .
n

n →∞

? 1? (2)求 lim e ? 1 + ? . x →∞ ? x?
?x

x2

(3)设 s > 0 ,求 I n =



+∞ ? s x n

0

e

x dx ( n = 1, 2,

).

(4)设函数 f (t ) 有二阶连续导数, r =

?2 g ?2 g ?1? x 2 + y 2 , g ( x, y ) = f ? ? ,求 2 + 2 . ?x ?y ?r?

(5)求直线 l 1 : ?

?x ? y = 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 与直线 l2 : 的距离. = = ?2 ?1 4 ? z=0

二、 (本题 15 分)设函数 f ( x) 在 (?∞, +∞) 上具有二阶导数,并且

f ′′( x) > 0, lim f ′( x) = α > 0, lim f ′( x) = β < 0 ,
x →+∞ x →?∞

且存在一点 x 0 ,使得 f ( x 0 ) < 0 .证明 f ( x) = 0 在 (?∞, +∞) 恰有两实根. 三 、 本 题 15 分 ) 设 函 数 y = f ( x) 由 参 数 方 程 ? (

? x = 2t + t 2 ? y = ψ (t )

(t > ?1) 所 确 定 , 且

t 2 ?u 2 d2y 3 3 ,其中ψ (t ) 具有二阶导数,曲线 y = ψ (t ) 与 y = ∫ e du + 在 t = 1处 = 2 1 dx 4(1 + t ) 2e

相切,求函数ψ (t ) . 四、 (本题 15 分)设 an > 0 , S n =
+∞

∑a k =1

n

k

,证明:

(1)当 α > 1 时,级数

∑ Sα n =1
n

an

收敛;
+∞

(2)当 α ≤ 1 ,且 S n → ∞ (n → ∞) 时,级数

∑ Sα n =1
n

an

发散.

五、 (本题 15 分)设 l 是过原点、方向为 (α , β , γ ) (其中 α + β + γ = 1 )的直线,
2 2 2

均匀椭球

x2 y 2 z 2 + + = 1 (其中 0 < c < b < a ,密度为 1)绕 l 旋转. a 2 b2 c2

(1)求其转动惯量; (2)求其转动惯量关于方向 (α , β , γ ) 的最大值和最小值. 六、 (本题 15 分) 设函数 ? ( x) 具有连续的导数, 在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上,曲线积分

C



2 x yd x + ? ( x) dy 的值为常数. x4 + y2
2 2

(1)设 L 为正向闭曲线 ( x ? 2) + y = 1 ,证明 (2)求函数 ? ( x) ;

C



2 x yd x + ? ( x) dy = 0; x4 + y2

(3)设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求

C



2 x yd x + ? ( x) dy . x4 + y2


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