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www.363939c.com:18版高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案新人教A版必修4

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量 数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式.3.能根 据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.

知识点一 平面向量数量积的坐标表示

设 i,j 是两个互相垂直且分别与 x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量.

思考 1 i·i,j·j,i·j 分别是多少?

答案 i·i=1×1×cos 0=1,j·j=1×1×cos 0=1,i·j=0.

思考 2 取 i,j 为坐标平面内的一组基底,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),试将 a,b 用 i,j

表示,并计算 a·b.

答案 ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,

∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.

思考 3 若 a⊥b,则 a,b 坐标间有何关系?

答案 a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.

梳理 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ .

数量积

a·b=x1x2+y1y2

向量垂直

a⊥b?x1x2+y1y2=0

知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 思考 1 若 a=(x,y),试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a=xi+yj,x,y∈R, ∴a2=(xi+yj)2=(xi)2+2xy i·j+(yj)2 =x2i2+2xy i·j+y2j2. 又∵i2=1,j2=1,i·j=0, ∴a2=x2+y2,∴|a|2=x2+y2, ∴|a|= x2+y2. 思考 2 若 A(x1,y1),B(x2,y2),如何计算向量A→B的模?
1

答案 ∵→AB=→OB-→OA =(x2,y2)-(x1,y1) =(x2-x1,y2-y1), ∴|→AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 梳理
向量 a=(x,y) 以 A(x1,y1),B(x2,y2)为端点的向量→AB

模长 |a|= x2+y2 |A→B|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2

知识点三 平面向量夹角的坐标表示

思考 设 a,b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,那么 cos θ

如何用坐标表示?

答案

a·b cos θ =|a||b|=

x21x+1xy21+ 2 y1xy222+y22.

类型一 平面向量数量积的坐标表示 例 1 已知 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求 a(b·c)及(a·b)c. 解 (1)设 a=λ b=(λ ,2λ )(λ >0),则有 a·b=λ +4λ =10,∴λ =2,∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2-2×1=0,a·b=10, ∴a(b·c)=0a=0, (a·b)c=10(2,-1)=(20,-10). 反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算,灵活应用基本公式是前提,设向量一 般有两种方法:一是直接设坐标,二是利用共线或垂直的关系设向量,还可以验证一般情况 下(a·b)·c≠a·(b·c),即向量运算结合律一般不成立. 跟踪训练 1 向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2
2

答案 C 解析 因为 a=(1,-1),b=(-1,2),所以 2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),则 (2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故选 C. 类型二 向量的模、夹角问题 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,O 是原点(如图).已知点 A(16,12),B(-5,15).

(1)求|O→A|,|→AB|;

(2)求∠OAB.

解 (1)由O→A=(16,12),

→AB=(-5-16,15-12)=(-21,3),

得|→OA|= 162+122=20,

|A→B|= ?-21?2+32=15 2.

(2)cos ∠OAB=

→AO,→AB

=|A→ A→OO· ||→A→ABB|.

其中→AO·→AB=-O→A·A→B

=-(16,12)·(-21,3)

=-[16×(-21)+12×3]=300.

故 cos ∠OAB= 300 20×15

2

= 2

2

.

∴∠OAB=45°.

反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤:

(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.

(2)利用|a|= x2+y2求两向量的模.

(3)代入夹角公式求 cos θ ,并根据 θ 的范围确定 θ 的值. 跟踪训练 2 已知 a=(1,-1),b=(λ ,1),若 a 与 b 的夹角 α 为钝角,求 λ 的取值范 围. 解 ∵a=(1,-1),b=(λ ,1),

∴|a|= 2,|b|= 1+λ 2,a·b=λ -1.

3

又∵a,b 的夹角 α 为钝角,

∴??λ -1<0, ? 2· 1+λ

2≠1-λ



即??? λ ??λ

<1, 2+2λ

+1≠0.

∴λ <1 且 λ ≠-1. ∴λ 的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1). 类型三 向量垂直的坐标形式 例 3 (1)已知 a=(-3,2),b=(-1,0),若向量 λ a+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值 为( ) A.17 B.-17 C.16 D.-16

答案 B 解析 由向量 λ a+b 与 a-2b 垂直,得 (λ a+b)·(a-2b)=0. 因为 a=(-3,2),b=(-1,0), 所以(-3λ -1,2λ )·(-1,2)=0,
1 即 3λ +1+4λ =0,解得 λ =-7.

(2)在△ABC 中,→AB=(2,3),→AC=(1,k),若△ABC 是直角三角形,求 k 的值. 解 ∵A→B=(2,3),A→C=(1,k), ∴B→C=A→C-A→B=(-1,k-3). 若∠A=90°,则→AB·→AC=2×1+3×k=0,∴k=-23;

若∠B=90°,则→AB·→BC=2×(-1)+3(k-3)=0, ∴k=131;

若∠C=90°,则→AC·→BC=1×(-1)+k(k-3)=0,

∴k=3±2

13 .

故所求

k

2 11 3± 的值为-3或 3 或 2

13 .

反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化,若在关 于三角形的问题中,未明确哪个角是直角时,要分类讨论. 跟踪训练 3 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,4),B(-2,3),C(2,-1),若(A→B-t→OC)⊥→OC, 则实数 t=____.

4

答案 -1 解析 ∵→AB=(-3,-1), ∴A→B-t→OC=(-3-2t,-1+t), 又∵→OC=(2,-1),(→AB-t→OC)⊥O→C, ∴(-3-2t)×2+(-1+t)·(-1)=0. ∴t=-1.

1.已知 a=(3,-1),b=(1,-2),则 a 与 b 的夹角为( )

A.π6 B.π4 C.π3 D.π2

答案 B

解析 ∵|a|= 10,|b|= 5,a·b=5.

∴cos〈a,b〉=|aa·||bb|=

5 10×

= 5

22.

又∵a,b 的夹角范围为[0,π ].

∴a 与 b 的夹角为π4 .

2.已知向量B→A=???12, 23???,B→C=??? 23,12???,则∠ABC 等于(

)

A.30° B.45° C.60° D.120°

答案 A

解析 ∵|B→A|=1,|B→C|=1,

∴cos

∠ABC=|B→ B→AA·||B→B→CC|=

3 2,

∴∠ABC=30°.

3.已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ 等于( )

A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

答案 B

解析 因为 m+n=(2λ +3,3),m-n=(-1,-1),

由(m+n)⊥(m-n),可得(m+n)·(m-n)=(2λ +3,3)·(-1,-1)=-2λ -6=0,解得

λ =-3.

4.已知平面向量 a,b,若 a=(4,-3),|b|=1,且 a·b=5,则向量 b=____________.

5

答案 ???45,-35??? 解析 ∵|a|=5,cos〈a,b〉=|aa·||bb|=1, ∴a,b 方向相同,∴b=15a=(45,-35). 5.已知 a=(4,3),b=(-1,2). (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)若(a-λ b)⊥(2a+b),求实数 λ 的值. 解 (1)∵a·b=4×(-1)+3×2=2, |a|= 42+32=5,|b|= ?-1?2+22= 5, ∴cos〈a,b〉=|aa·||bb|=5 2 5=2255. (2)∵a-λ b=(4+λ ,3-2λ ),2a+b=(7,8), (a-λ b)⊥(2a+b), ∴(a-λ b)·(2a+b)=7(4+λ )+8(3-2λ )=0,
52 ∴λ = 9 .
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示,提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这 两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以优化解题过程.同时,平面向量数量积的两 种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工 具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不 断地提高利用向量工具解决数学问题的能力. 3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可以对比学习、记忆.若 a=(x1, y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0. 4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时,向量夹角问题却隐藏了许多 陷阱与误区,常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围,稍 不注意就会带来失误与错误.
课时作业
一、选择题 1.已知向量 a=(-5,6),b=(6,5),则 a 与 b( )
6

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向

D.平行且反向

答案 A

解析 ∵a·b=-5×6+6×5=0,

∴a⊥b.

2.已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于( )

A.1

B. 2

C.2

D.4

答案 C 解析 ∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2 =2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,

∴n2=3,∴|a|= 12+n2=2. 3.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( )

A.-π4

B.π6

C.π4

D.34π

答案 C 解析 ∵2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3), a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3), ∴(2a+b)·(a-b)=9,

|2a+b|=3 2,|a-b|=3.

设所求两向量夹角为 α

,则 cos

α

= 3

9= 2×3

22,

∵0≤α ≤π ,∴α =π4 .

4.若 a=(2,-3),则与向量 a 垂直的单位向量的坐标为( ) A.(3,2)

B.???3

13 2 13 ,

1313???

C.???3

13 2 13 ,

1313???或???-3

13 2 13 ,-

1313???

D.以上都不对

答案 C

解析 设与 a 垂直的向量为单位向量(x,y),

7

∵(x,y)是单位向量,

∴ x2+y2=1,即 x2+y2=1,



又∵(x,y)表示的向量垂直于 a,

∴2x-3y=0,



??x=3

13 13 ,

由①②得???y=2

13 13

??x=-3

13 13 ,

或???y=-2 1313.

5.已知平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹

角,则 m 等于( )

A.-2

B.-1

C.1

D.2

答案 D

解析 因为 a=(1,2),b=(4,2),所以 c=ma+b=(m+4,2m+2),所以 a·c=m+4+2(2m

+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.

因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,

所以|aa·||cc|=|bb·||cc|,即a|·a|c=b|·b|c,

5m+8 8m+20

所以 =



5 25

解得 m=2,故选 D.

6.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( )

A.???79,73???

B.???-73,-79???

C.???73,79???
答案 D

D.???-79,-73???

解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2),

∵(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.



又∵c⊥(a+b),∴(x,y)·(3,-1)=3x-y=0.



由①②解得 x=-79,y=-73.

二、填空题

7.已知 a=(3, 3),b=(1,0),则(a-2b)·b=________.

答案 1

8

解析 a-2b=(1, 3),

(a-2b)·b=1×1+ 3×0=1.

8.已知 A(-3,0),B(0, 3),O 为坐标原点,C 在第二象限,且∠AOC=30°,O→C=λ →OA+ →OB,则实数 λ 的值为________. 答案 1

解析 由题意知O→A=(-3,0),→OB=(0, 3),

则O→C=(-3λ , 3), 由∠AOC=30°知,以 x 轴的非负半轴为始边,OC 为终边的一个角为 150°,

3

3

3

∴tan 150°=-3λ ,即- 3 =-3λ ,∴λ =1.

9.已知 a=(1,3),b=(2+λ ,1),且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围是________.

5

5

答案 (-5,-3)∪(-3,+∞)

解析 由 a 与 b 的夹角为锐角, 得 a·b=2+λ +3>0,λ >-5, 当 a∥b 时,(2+λ )×3-1=0,λ =-53.

故 λ 的取值范围为 λ >-5 且 λ ≠-53.

10.已知点 A(1,-2),若向量→AB与 a=(2,3)同向,且|→AB|=2 13,则点 B 的坐标为________.

答案 (5,4)

解析 设→AB=(2λ ,3λ )(λ >0), 则|→AB|= 4λ 2+9λ 2=2 13, ∴13λ 2=13×22,∴λ =2, ∴A→B=(4,6),

∴O→B=O→A+A→B=(1,-2)+(4,6)=(5,4). ∴点 B 的坐标为(5,4).

三、解答题 11.已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2).

(1)若|c|=2 5,且 c 与 a 方向相反,求 c 的坐标;

(2)若|b|=

5 2 ,且

a+2b



2a-b

垂直,求

a



b

的夹角 θ

.

9

解 (1)设 c=(x,y), 由 c∥a 及|c|=2 5, 可得?????1x· 2+yy-2=2·20x,=0, 所以?????xy= =24, 或?????xy= =- -24, , 因为 c 与 a 方向相反, 所以 c=(-2,-4). (2)因为(a+2b)⊥(2a-b), 所以(a+2b)·(2a-b)=0, 即 2a2+3a·b-2b2=0, 所以 2|a|2+3a·b-2|b|2=0, 所以 2×5+3a·b-2×54=0, 所以 a·b=-52. 所以 cos θ =|aa·||bb|=-1. 又因为 θ ∈[0,π ],所以 θ =π . 12.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两条对角线所成的锐角的余弦值. (1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴A→B=(1,1),A→D=(-3,3), 又∵→AB·→AD=1×(-3)+1×3=0, ∴A→B⊥A→D,即 AB⊥AD. (2)解 ∵A→B⊥A→D,四边形 ABCD 为矩形, ∴A→B=D→C. 设 C 点坐标为(x,y),则A→B=(1,1),D→C=(x+1,y-4), ∴?????xy+-14==11,, 解得?????xy= =05, . ∴C 点坐标为(0,5).
10

由于→AC=(-2,4),B→D=(-4,2), 所以→AC·→BD=8+8=16>0, |A→C|=2 5,|→BD|=2 5. 设A→C与B→D的夹角为 θ ,
AC,→·→BD 16 4 则 cos θ = |→AC||B→D| =20=5>0,

∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.

13.平面内有向量→OA=(1,7),→OB=(5,1),→OP=(2,1),点 Q 为直线 OP 上的一个动点.

(1)当Q→A·Q→B取最小值时,求O→Q的坐标;

(2)当点 Q 满足(1)的条件和结论时,求 cos ∠AQB 的值.

解 (1)设O→Q=(x,y),

∵Q 在直线 OP 上,

∴向量O→Q与O→P共线.

又∵→OP=(2,1),∴x-2y=0,

∴x=2y,

∴O→Q=(2y,y).

又∵→QA=→OA-→OQ=(1-2y,7-y),

→QB=→OB-→OQ=(5-2y,1-y),

∴Q→A·Q→B=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)

=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.

故当 y=2 时,Q→A·Q→B有最小值-8,此时→OQ=(4,2).

(2)由(1)知:→QA=(-3,5),Q→B=(1,-1),

→QA·→QB=-8,|Q→A|= 34,|→QB|= 2,

∴cos ∠AQB=|Q→ Q→AA·||Q→Q→BB|=

-8 34×

2

4 17 =- 17 .

四、探究与拓展

11

14.已知向量 a=( 3,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a·b= 3,则向量 b 的坐标为 ________. 答案 (12, 23) 15.已知→OA=(4,0),→OB=(2,2 3),→OC=(1-λ )→OA+λ O→B(λ 2≠λ ). (1)求O→A·O→B及O→A在O→B上的投影; (2)证明 A,B,C 三点共线,且当A→B=B→C时,求 λ 的值; (3)求|O→C|的最小值. 解 (1)→OA·→OB=8,设→OA与→OB的夹角为 θ ,
→OA·O→B 8 1 则 cos θ =|O→A||→OB|=4×4=2, ∴O→A在O→B上的投影为|→OA|cos θ =4×12=2. (2)→AB=→OB-→OA=(-2,2 3),B→C=O→C-O→B =(1-λ )O→A-(1-λ )→OB=(λ -1)→AB, 所以 A,B,C 三点共线. 当A→B=B→C时,λ -1=1,所以 λ =2. (3)|→OC|2=(1-λ )2O→A2+2λ (1-λ )→OA·→OB+λ 2O→B2=16λ 2-16λ +16=16(λ -12)2+12, ∴当 λ =12时,|→OC|取到最小值,为 2 3.
12


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