当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学二轮_三轮复习_专题5_立体几何课件_文_大纲人教版_图文

专题 5

立体几何

第15讲 空间直线、平面的位置关系 第16讲 空间角与距离

专题 5

立体几何

专题 5 │ 知识网络构建
知识网络构建

专题 5 │ 考情分析预测
考情分析预测

专题 5 │ 考情分析预测
立体几何是培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力的 一门学科,同时也培养学生的类比思想、辩证思想和转化和 化归思想.可以说中学阶段没有任何一门学科能够代替空间 图形在培养空间想象能力、发展空间观念所起的作用. 高考中,立体几何主要考查学生的空间想象能力,在推 理中兼顾考查逻辑思维能力,解决立体几何的基本方法是将 空间问题转化为平面问题.近几年高考立体几何试题以基础 题和中档题为主,主要有证明空间线面平行、垂直关系;求 空间的角和距离;利用空间向量,将空间中的性质及位置关 系的判定与向量运算相结合,使几何问题代数化等等;

专题 5 │考情分析预测
其中“线面关系”是转换枢纽, “垂直”是构建相应结 构的关键部件与核心技术.其中选择、填空题注重几何符号 语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化,考查学生 对图形的识别、理解和加工能力;解答题则一般将线面集中 于一个几何体中,即以一个多面体为依托,设置几个小问, 设问形式以证明或计算为主. 近两年的考题控制了难度,对基础的考查有所加强,向 量方法在计算与证明中的作用较为突出,预测 2011 年会延 续这两年考情,考题难度不会加强,对平行、垂直关系及角 的计算还会重点考查.

第 15 讲 │空间直线、平面的位置 关系

第15讲 空间直线、平面的位置 关系

第 15 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第 15 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 充分必要条件与点、线、面位置关系的判断

例 1 [2009· 山东卷 ] 已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“ α⊥ β”是“ m⊥ β”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第 15 讲 │ 要点热点探究
B 【解析】 由平面与平面垂直的判定定理知,如果 m 为平面 α 内的一条直线, m ⊥ β, 则 α ⊥ β; 反过来则不一定. 所 以“ α⊥ β”是“ m⊥β”的必要不充分条件.

【点评】 高考对简单逻辑用语中的充分、必要条件的考 查,主要通过与其他部分的综合问题出现,而与立体几何相 综合的问题最为普遍,通过这种形式主要考查对充分、必要 条件的理解和立体几何部分的几何体、点、线、面的位置关 系等.解决此类问题的关键是弄清楚点、线、面之间的位置 关系的判定.此类小题是很容易出错的题目,解答时要特别 注意.

第 15 讲 │ 要点热点探究

[2010· 浙江卷 ] 设 l, m 是两条不同的直线, α 是 一个平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若 l⊥ m, m? α,则 l⊥ α B.若 l⊥ α, l∥ m,则 m⊥ α C.若 l∥ α, m? α,则 l∥ m D.若 l∥ α, m∥ α,则 l∥ m

第 15 讲 │ 要点热点探究

B

【解析】 选 B,可对选项进行逐个检查.

【点评】 本题主要考查了立体几何中线面之间的 位置关系及其中的公理和判定定理,也蕴含了对定理公 理综合运用能力的考查,属中档题.

第 15 讲 │ 要点热点探究

[2010· 重庆卷 ] 到两互相垂直的异面直线的距离 相等的点 ( ) A.只有 1 个 B.恰有 3 个 C.恰有 4 个 D.有无穷多个

第 15 讲 │ 要点热点探究

D 【解析】 如图,放在正方体中研究,显然,线段 OO1、 EF、FG、GH、HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距 离都相等,所以排除 A、 B、C,选 D;亦可在四条侧棱上 找到四个点到两垂直异面直线 AB、 CD 的距离相等.

第 15 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点二 图形的折叠问题

例 2 如图 5- 15- 1 所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ ACB=90° ,AC=6,BC=CC1 = 2 , P 是 BC1 上 一 动 点 , 则 CP + PA1 的 最 小 值 是 ________.

图 5- 15-1

第 15 讲 │ 要点热点探究

5 2 【解析】 连接 A1B, 沿 BC1 将△ CBC1 展开与△A1BC1 在同一个平面内,如图所示,连接 A1C,则 A1C 的长度就是所 求的最小值.通过计算可得∠ A1C1B=90° ,又∠BC1C=45° , 所以∠ A1C1C=135° ,由余弦定理可求得 A1C= 5 2.

【点评】 在许多数学问题和实际生活中经常遇到一些求 沿几何体表面路径最短的问题,解决这类问题的一般策略是将 几何体的表面展开成一个平面,把空间问题转化为平面问题, 利用平面几何的知识进行求解.

第 15 讲 │ 要点热点探究
[2009· 全国卷Ⅱ ] 纸制的正方体的六个面根据其方 位分别标记为上、下、东、南、西、北.现有沿该正方体的 一些棱将正方体剪开、 外面朝上展平, 得到右侧的平面图形, 则标“△”的面的方位是 ( ) A.南 B.北 C.西 D.下

B

【解析】 将所给图形还原为正方体即可.

第 15 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 面面平行与垂直 例 3 [2010· 辽宁卷 ] 如图 5- 15-3,棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C⊥A1B. (1)求证:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点, 且 A1B∥平面 B1CD, 求 A1 D∶ DC1 的值.

图 5- 15-3

第 15 讲 │ 要点热点探究

【解答】 (1)因为侧面 BCC1B1 是菱 形,所以 B1C⊥ BC1,又已知 B1C⊥ A1B, 且 A1B∩ BC1 = B , 所 以 B1C ⊥ 平 面 A1BC1,又 B1C?平面 AB1C ,所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1 . (2)如图,设 BC1 交 B1C 于点 E,连 接 DE, 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线,因为 A1B∥平面 B1CD,所以 A1B∥ DE.又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点.即 A1D∶ DC1=1.

第 15 讲 │ 要点热点探究

在四棱锥 P- ABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD , PD⊥ CD, E 为 PC 中点,G 为 DC 中点,底面 ABCD 是直 角梯形, AB∥ CD,∠ ADC= 90° , AB= AD= PD= 1 , CD = 2. (1)求证:平面 BEG∥平面 PAD; (2)求证:BC⊥平面 PBD;
→= (3)设 Q 为侧棱 PC 上一点,PQ →, λPC 试确定 λ 的值, 使得二面角 Q- BD - P 为 45° .

第 15 讲 │ 要点热点探究
(1)取 PD 的中点 F,连接 EF,AF,因为 E 1 为 PC 中点,所以 EF∥ CD,且 EF= CD= 1.在梯形 ABCD 2 中, AB∥ CD, AB= 1, 所以 EF∥ AB, EF= AB, 四边形 ABEF 为平行四边形,所以 BE∥ AF.又 BE?平面 PAD, AF? 平面 PAD,所以 BE∥平面 PAD.又因为 G 为 DC 中点,所以 DG ∥且= AB, 则四边形 ABGD 为平行四边形, BG∥ AD. 又 AD? 平面 PAD, 所以 BG?平面 PAD, 所以 BG∥平面 PAD. 又 BG∩ BE= B,所以平面 BEG∥平面 PAD. 【解答】

第 15 讲 │ 要点热点探究
(2)因为平面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥ CD,所以 PD⊥ 平面 ABCD,所以 PD⊥ AD.如图,以 D 为原点建立空间直 角坐标系 D-xyz.则 A(1,0,0),B(1,1,0), C(0,2,0),P(0,0,1), → =(1,1,0), → =(- 1,1,0), →· → =0,BC⊥DB. 所以DB BC 所以BC DB 又由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥ BC.又 PD∩ BD=D,所 以 BC⊥平面 PBD.

第 15 讲 │ 要点热点探究
→ = (- 1,1,0). (3)平面 PBD 的法向量为 BC → = (0,2,- 1),PQ → = λPC → ,λ∈ (0,1),所以 Q(0,2λ,1- λ). PC 设平面 QBD 的法向量为 n= (a, b, c), 由
? ?a+ b= 0, → = 0 , n· → = 0,得 ? n· DB DQ ? ?2λb+ ?1- λ?c= 0,

所以 n=

? 2λ ? ? ? - 1 , 1 , . 由二面角 ? λ- 1 ? ? ?

Q - BD - P 为 45° ,所以 cos45° =

→ n· BC = →| |n||BC

2 = ,注意到 λ∈ (0,1),得 λ= 2- 1. ? 2λ ? 2 ? ?2 2· 2+ ?λ- 1? ? ?

2

第 15 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点四 线线、线面的平行与垂直 例 4 如图 5- 15- 5 所示,三棱柱 A1B1C1- ABC 中,侧 棱 AA1 垂直于底面 ABC,底面 ABC 是直角三角形, D 是斜 边 AB 的中点. (1)给出以下两个命题: ① BC1∥平面 A1DC;② BC1⊥ A1C. 判断这两个命题的真假,选择其中一个证明你的结论; (2)当 AC= BC= AA1 时, 求直线 AC 与平面 A1DC 所成角 的正弦值.

图 5-15-5

第 15 讲 │ 要点热点探究

【解答】 (1)命题①为真,②为假. ①的证明如下:连接 AC1,交 A1C 于点 E,连接 ED. ∵侧面 A1ACC1 是矩形,∴ E 是 AC1 的中点, 又∵ D 是 AB 的中点,∴ ED∥ BC1. 又 BC1?平面 A1CD, DE? 平面 A1CD, ∴ BC1∥平面 A1CD. ②的证明如下 ( 反证法 ) :假设 BC1 ⊥ A1C ,∵ BC ⊥ A1C,∴ A1C⊥面 CBC1,∴ A1C⊥ CC1,这显然不成立.∴ ②为假命题.

第 15 讲 │ 要点热点探究
(2)解法一:过点 A 作 AF⊥ A1D, F 为垂足,连接 FC, ∵ AC= BC, D 为 AB 中点,∴ CD⊥ AB. 又 ∵ AA1 ⊥ 平 面 ABC , ∴ AA1 ⊥ CD , ∴ CD ⊥ 平 面 A1ABB1,∴ CD⊥ AF. 所以 AF⊥平面 A1DC, 所以∠ ACF 就是直线 AC 与平面 A1DC 所成角. 2 3 设 AA1= 2,则 AD= 2,得 AF= ,所以 sin∠ ACF 3 AF 3 = AC= . 3 3 ∴直线 AC 与平面 A1DC 所成角的正弦值为 . 3

第 15 讲 │ 要点热点探究

解法二:如图建立空间直角坐标 系,设 AC=2,则可得 点 A(0,2,0), A1(0,2,2), B(2,0,0), D(1,1,0), → =(0,2,0),CA →1= (0,2,2),CD → ∴ CA =(1,1,0).设 n⊥面 A1DC,且 n=(x, y, z ), → 1 = 2 y+ 2z= 0, ? CA ?n· ∴? → = x+ y= 0, ? CD ?n· 可取 n=(1,-1,1),

第 15 讲 │ 要点热点探究
→ -2 n · CA 3 → ∴ cos〈n,CA〉= = =- , 3 → |n|· |CA| 2× 3 3 ∴直线 AC 与平面 A1DC 所成角的正弦值为 . 3
【点评】 证明线面平行有两个途径,一是由线线平 行得到,另一个是由面面平行得到,它体现了三种关系相 互转化的化归思想.证明线面垂直道理一样.面面的平行 与线面的平行可等价转化;同理,面面的垂直与线面的垂 直也可等价转化;要注意判定定理与性质定理的灵活应 用.

第 15 讲 │ 要点热点探究

如图 5- 15- 6 所示, 在直三棱柱 ABC- A1B1 C1 中, AC= 3, BC= 4, AB= 5, AA1= 4. (1)求证: AC⊥ BC1; (2)在 AB 上是否存在点 D,使得 AC1⊥ CD; (3)在 AB 上是否存在点 D,使得 AC1∥平面 CDB1.

图 5- 15- 6

第 15 讲 │ 要点热点探究
【解答】 在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AC= 3, BC= 4, AB= 5,AC,BC,CC1 两两垂直,以 C 为坐标原点,直线 CA, CB, CC1 分别为 x 轴 y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C(0,0,0), A(3,0,0), C1(0,0,4), B(0,4,0), B1(0,4,4). → = (-3,0,0), → 1= (0, →· → 1= 0, → (1)∵ AC BC - 4,4), ∴ AC BC ∴AC → 1,∴AC⊥ BC1. ⊥ BC

→ =λAB →= (2)假设在 AB 上存在点 D, 使得 AC1⊥ CD, 则AD (-3λ,4λ,0),其中 0≤λ≤1,则 D(3-3λ,4λ,0),于是 → = (3- 3λ, 4λ, 0).由于 AC →1= (- 3,0,4),且 AC1⊥ CD,所 CD 以-9+9λ= 0 得 λ= 1, 所以在 AB 上存在点 D 使得 AC1⊥ CD, 且这时点 D 与点 B 重合.

第 15 讲 │ 要点热点探究

→ (3)假设在 AB 上存在点 D 使得 AC1∥平面 CDB1, 则AD → = (- 3λ,4λ,0),其中 0≤ λ≤ 1,则 D(3- 3λ,4λ,0), = λAB → → → B 1D= (3- 3λ,4λ- 4,- 4),又 B1C= (0,- 4,- 4),AC1= → 1= (- 3,0,4),AC1∥平面 CDB1,所以存在实数 m,n,使 AC → → mB 1D+ nB1C成立,∴ m(3 - 3λ) =- 3 , m(4λ - 4) - 4n= 0 , 1 - 4m- 4n= 4,所以 λ= ,所以在 AB 上存在点 D 使得 AC1 2 ∥平面 CDB1,且 D 为 AB 的中点.

第 15 讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题主要考查直线与平面平行、直线与直线垂 直等基础知识;由线线、线面的位置寻找满足某些条件的点 的位置,很好地考查了学生分析问题、解决问题的能力;向 量有一套好的运算性质,它可以把几何图形的性质转化为代 数运算,实现了数与形的结合,在解决立体几何的距离与夹 角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越性,请 同学们认真领会.

第 15 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点五 球面问题

例 5 [2010· 四川卷] 半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 α,垂足为 B,△BCD 是平面 α 内边长为 R 的正三角形,线段 AC、AD 分别与球面交于点 M,N,那么 M、N 两点间的球面距 离是( )

图 5-15-7 17 A.Rarccos 25 18 B.Rarccos 25 1 C. πR 3 4 D. πR 15

第 15 讲 │ 要点热点探究
【解析】 由已知得 AB= 2R,BC= R,故 tan∠ BAC 1 2 5 = , cos∠BAC= .连接 OM,则△ OAM 为等腰三角形, 2 5 4 5 4 5 AM= 2AOcos∠ BAC= R,同理 AN= R,且 MN∥ CD. 5 5 4 而 AC= 5R, CD= R,故 MN∶CD= AM∶ AC? MN= R, 5 连 接 OM 、 ON , 有 OM = ON = R , 于 是 cos ∠ MON = OM2+ ON2- MN2 17 = ,所以 M、N 两点间的球面距离是 2OM· ON 25 17 Rarccos . 25 A

第 15 讲 │ 要点热点探究

【点评】 关于球的问题,通常有三大类:球内的直角 三角形;球面距离;球的体积、表面积.在求球面距离时, 抓住经度、纬度的概念,把空间的问题放到平面三角形中 求解.

第 15 讲 │ 要点热点探究
(1)在三棱锥 A- BCD 中, 侧棱 AB、 AC、 AD 两两垂直, 2 3 6 △ ABC、△ ACD、 △ ADB 的面积分别为 、 、 ,则三棱 2 2 2 锥 A- BCD 的外接球的体积为 ________. (2)将一个半径为 5 cm 的水晶球放在如图 5- 15 -8 所示的 工艺架上,支架是由三根金属杆 PA、 PB、 PC 组成,它们两两 成 60° 角.则水晶球的球心到支架顶点 P 的距离是 ________.

图 5- 15- 8

第 15 讲 │ 要点热点探究
(1) 6π (2) 5 3 【 解 析 】 (1) 设 AB 、 AC 、 AD 的 长 分 别 为 a , b , c , 则 ? ?1ab= 2, 2 ?2 ?1 3 ? bc= , 2 ?2 ?1 6 ac= , ? 2 ?2

?a= 2, ? ∴?b=1, ?c= 3. ?

因侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,

所以以 AB、AC、AD 为棱的长方体必为三棱锥 A-BCD 的外接 球的内接长方体,此时球直径为长方体的对角线,故球直径为 ? 6 4 ? ? 6 ?3 2 2 2 a +b +c = 6,球半径为 ,故球体积为 V= π? ? = 6π. 2 3 ?2?

第 15 讲 │ 要点热点探究
(2) 设球与三根金属杆 PA、 PB、 PC 接触点 即切点分别为 D、 E、F,则由条件可得 P-DEF 是正四面体.设球心为 O,可知 OD= 5,连 OP、 OD, 则 OP 过正△ DEF 的中心 H, OP⊥平面 DEF, OD⊥ DP,设正四面体 P- DEF 棱长为 a,则 PD 3 1 2 = DE= a, 可得 DH= a, OH= 25- a , OP 3 3 = 25+ a2. 在 Rt △ ODP 中,由射影定理可得, OD2 = OH· OP, 1 2 2 ∴ 5 = 25- a · 25+ a2 ,解得 a2 = 50 ∴ OP = 3 5 3.

第 15 讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题 (1)中因三棱锥的三条侧棱两两垂直,故 可把它补成长方体,再想象与球的关系,则比较容易. (2) 作图是难点,因球的直观图较难画,可不作出球,但一定要 明确球心及切点等特殊点的位置, 要弄清过三个切点的截面 图形形状,这些都是解题的关键.

第 15 讲 │ 教师备用题
教师备用题
(选题理由: 1.翻折问题; 2, 3 考查立几与解几的综合. 1.如图,定长为 m 的 AB 是平面 α 的斜线段 ,A 为斜足, ... 若点 P 在平面 α 内运动, 使得△ ABP 的面积为定值, 则动点 P 的轨迹是 ( )

A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线

第 15 讲 │ 教师备用题

【解析】 B 考虑到三角形面积为定值,底边一定,从 而 P 到直线 AB 的距离为定值,若忽略平面的限制,则 P 的轨 迹类似为一以 AB 为轴心的圆柱面,加上后者平面的交集,轨 迹为椭圆. 另法,(排除法 ):直线是不可能的,在无穷远处,点到直 线的距离为无穷大,故面积也为无穷大,从而排除 C 与 D, 又题目在斜线段下标注重点符号,从而改成垂直来处理,轨迹 则为圆,故剩下椭圆为答案.

第 15 讲 │ 教师备用题

【点评】 本题考查立体几何背景下的点的轨迹问题和 化归的思想方法,要抓住动点的几何特征,结合解析几何的 基本曲线的定义来解题.

第 15 讲 │ 教师备用题

→ 2+CD → 2=BC → 2+AD → 2, 2.在平面四边形 ABCD 中,若 AB 则把四边形 ABCD 沿 AC 折起来,AC,BD 所成角等于( ) A.30° B.60° C.90° D.45°
【解析】 C 由已知等式经过一些变形后可以得到

→· → =0,即 BD⊥ AC,设交点为 O,则折起后,AC⊥平面 BD AC BOD,从而 BD⊥ AC,选 C.

第 15 讲 │ 教师备用题

【点评】 因为题中未说明折起多大角度,而答案又是唯 一的,所以一般说来,只有垂直关系才不会受折起多大角度 的影响;当四边形 ABCD 为正方形或菱形时,题设条件成 立.无论折起多大角度,BD⊥ AC 都成立.

第 15 讲 │ 教师备用题

3.把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,则 过 A, B,C, D 四点的球的体积为 ________. 4 【答案】 π 3 【解析】 不难发现 A,B,C,D 四点到对角线交点的距 4 离相等,故交点即球心,半径为 1,因此球的体积为 π. 3
【点评】 本题不告知翻折的角度,意在提醒学生找不 变量.

第 15 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.三垂线定理及其逆定理是立体几何的一条纽带,它既 将判定空间两条直线垂直的问题转化为同一平面上两直线垂 直的判定问题.又将线面垂直问题转化为线线垂直问题,在 历年高考中一直是考查重点.在具体运用时,要善于从复杂 的空间图形中找出三垂线定理及其逆定理所涉及到的各种线 和面的关系. 2.平面图形的翻折问题是将平面几何问题转化为立体几 何问题,要注意转化过程中,各几何元素及几何量是否发生 了变化,特别是不变的量,要注意两种图形的联系.

第 15 讲 │ 规律技巧提炼

3.有关球的组合体问题,作图是难点,此时可不作出球 的直观图,要注意给球定位、定量,球的位置由球心确定, 球的大小由半径确定,还要注意有关的截面图形特点. 4.空间向量的引入为证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便、快速的解法.它的实用性是其 他方法无法比拟的,因此应加强运用向量方法解决几何问题 的意识,提高使用向量的熟练程度和自觉性,注意培养向量 的代数运算推理能力,掌握向量的基本知识和技能,充分利 用向量知识解决图形中平行与垂直问题.

第 16 讲 │ 空间角与距离

第16讲 空间角与距离

第 16 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.空间角包括异面直线所成的角、直线和平面所成的 角和二面角,这些角是对点、直线、平面所成的空间图形的 位置关系进行定量分析的重要概念. 解 (证 )与角有关的问题, 通常是先“定位”,后“定量”.求空间角的方法是: (1)找出或作出有关的平面角; (2)证明它符合定义; (3)归到某一三角形中进行计算, 当然也可利用空间向量 求解.

第 16 讲 │ 主干知识整合
2. 近几年高考题中的空间角的问题既能用传统立体几何 知识求解,也能利用空间向量计算,应注意恰当选择解法. 3.空间角的计算方法都是转化为平面角来计算: (1)两条异面直线所成的角,要以运动的观点运用“平移 法”, 使之成为相交直线所成的角, 要充分挖掘图形的性质, 寻求平行关系; (2) 当直线与平面所成的角是平面的一条斜线和它在平 面内的射影所成的锐角时,我们往往在斜线上取一点向平面 引垂线,以形成由平面的斜线、垂线及斜线在平面上的射影 组成的直角三角形,这里的关键是引平面的垂线,明确垂足 的位置.

第 16 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 探究点一 空间角的有关问题 例 1 (1)[2010· 江西卷 ] 过正方体 ABCD- A1B1C1D1 的 顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB, AD, AA1 所成的角都相 等,这样的直线 l 可以作 ( ) ?

图 5- 16-1 A. 1 条 C. 3 条 B. 2 条 D. 4 条

第 16 讲 │ 要点热点探究

(1)D 【解析】 (1)第一类:通过点 A 位于三条棱之间 的直线有一条体对角线 AC1;第二类:在图形外部以 AA1 为 公共棱再作三个一样的正方体;则过 A 点的 4 条体对角线就 是符合要求的 l,合计 4 条,故选 D.

第 16 讲 │ 要点热点探究

(2)已知二面角 α- l- β 的大小为 50° , P 为空间中任意一 点,则过点 P 且与平面 α 和平面 β 所成的角都是 25° 的直线 的条数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (3)设直线 l? 平面 α,过平面 α 外一点 A,与 l 、 α 都成 30° 角的直线有且只有 ( ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条

第 16 讲 │ 要点热点探究
(2)B 【解析】 本题主要考查学生的空间想象能力,以及如何 根 据 问题 的需 要 将问 题进 行 恰当 地转 化 等综 合运 用 所学 知识 的 能 力.依题意得,过点 P 分别作平面 α、β 的垂线 l1、l2,则所求直线 l′ 与 l1、l2 所成的角都是 65° ,且相交直线 l1、l2 所成的两对对顶角的大 小分别是 50° 与 130° .于是将问题转化为过点 P 与定直线 l1、l2 所成的 角都是 65° 的直线 l′的条数问题.要使直线 l′与定直线 l1、 l2 所成 的角相等,则直线 l′在由直线 l1、l2 所确定的平面上的射影必是相交 直线 l1、l2 所成的两对对顶角的平分线 l3,l4(其中直线 l3 与 l1、l2 的夹 1 1 角都是 ×50° = 25° <65° ,直线 l4 与 l1、 l2 的夹角都是 ×130° = 65° ), 2 2 因此在空间过点 P 与直线 l1、 l2 所成的角都是 65° 的直线 l 共有三条, 其中一条是直线 l4;另两条在由直线 l1、 l2 所确定的平面上的射影是 直线 l3,选 B.

第 16 讲 │ 要点热点探究

(3)B 选 B.

【解析】 利用最小角定理,知这样的直线只有两条,

【点评】 这三个小题全面考查了成角 (线线角、线面 角、二面角),作为定性的考查对学生的空间感和构图能力 及一些基本结论(如最小角定理、 cosα= cosβcosγ 等)的灵活 应用提出了较高要求,同时考查学生分类、化归转化的能 力.

第 16 讲 │ 要点热点探究

如图 5- 16- 2,矩形 ABCD 和直角梯形 BEFC 所在 平面互相垂直,∠ BCF= 90° , BE∥ CF, CE⊥ EF, AD= 3 , EF= 2. (1)求异面直线 AD 与 EF 所成的角; (2) 当 二 面 角 D— EF— B 的 大 小 为 45° 时,求二面角 A— EC— F 的大小.

图 5- 16- 2

第 16 讲 │ 要点热点探究
【解答】 (方法一 )(1)作 EM⊥ CF 于 M, 则 EM∥ BC∥ AD,计算:∠ MEF= 30° ,即为所求. (2)当二面角 D—EF—B 的大小为 45° ,即∠ DEC = 45° .计算: CE= CD= AB= 2 3. 作 BN⊥ CE 于 N,连接 AN,则∠ ANB 即为二面角 3 A—EC—F 的平面角的补角,计算: BN= , tan∠ ANB 2 AB 4 3 = BN= , 3 4 3 ∴二面角 A—EC—F 的大小为 π- arctan . 3

第 16 讲 │ 要点热点探究
(方法二)如图,以点 C 为坐标原点, 以 CB,CF 和 CD 分别为作 x 轴,y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C-xyz. 设 AB=a,BE=b,CF=c,(b<c) 则 C(0,0,0),A( 3,0,a),B( 3, 0,0),E( 3,b,0),F(0,c,0),D(0,0,a). → =( 3,0,0),CB → =( 3,0,0), (1)DA → =( 3,b-c,0), FE → |=2,得 3+(b-c)2=4,∴b 由|FE -c=-1.

第 16 讲 │ 要点热点探究
→ = ( 3,- 1,0). 所以FE →· → DA FE 3 3 → ,FE → >= 所以 cos<DA = = , → |· →| 3× 2 2 |DA |FE 所以异面直线 AD 与 EF 所成的角为 30° . (2)当二面角 D—EF—B 的大小为 45, 即∠ DEC= 45° .设 n= (1, → = 0 , n· → = 0,求得 n= y, z)为平面 AEC 的法向量,则 n· AE EC
? ?1,- ?

3 1? ,- ?. 3 2?

→ = (0,0,2 3),所 又因为 BA⊥平面 BEFC,BA

→ n · BA 57 → 以 cos<n,BA> =- ,所以二面角 A—EC—F 的大小为 19 → |n|· |BA| π- arccos 57 . 19

第 16 讲 │ 要点热点探究

【点评】 向量法求二面角是一种独特的方法,因为它不 但是传统方法的有力补充,而且还可以另辟蹊径,解决传统 方法难以解决的求二面角问题.向量法求二面角通常有以下 三种转化方式:①先作、证二面角的平面角∠ AOB,再求得 →· → OA OB 二面角的大小为 arccos ; ②先求二面角两个半平面的 → || OB →| |OA n1· n2 法向量 n1, n2, 再求得二面角的大小为 arccos 或其补角; |n1 ||n2 | ③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线(垂足不重合 ), 又 可转化为求两条异面直线的夹角.

第 16 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点二 空间距离的有关问题

例 2 如图 5- 16- 3, 四面体 ABCD 中, O 是 BD 的中点, △ ABD 和△ BCD 均为等边三角形, AB= 2, AC= 6. (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求二面角 A- BC- D 的余弦值; (3)求点 O 到平面 ACD 的距离.

图 5- 16- 3

第 16 讲 │ 要点热点探究

【解答】一: (1)连接 OC, ∵△ ABD 和△ CBD 为等边三角形, O 为 BD 的中点, ∴ AO⊥ BD, CO⊥ BD. 又 AB= 2, AC= 6,∴ AO= CO= 3. 在△ AOC 中, ∵ AO2+ CO2= AC2, ∴∠ AOC= 90° ,即 AO⊥ OC. ∵ BD∩ OC= O,∴ AO⊥平面 BCD.

第 16 讲 │ 要点热点探究

(2)过 O 作 OE⊥ BC 于 E,连接 AE, ∵ AO⊥平面 BCD, ∴ AE 在平面 BCD 上的射影为 OE, ∴ AE⊥ BC, ∴∠ AEO 为二面角 A- BC- D 的平面角. 3 在 Rt△ AEO 中, AO= 3, OE= , 2 AO 5 tan∠ AEO= OE= 2, cos∠ AEO= , 5 5 ∴二面角 A- BC- D 的余弦值为 ; 5

第 16 讲 │ 要点热点探究
(3)设点 O 到平面 ACD 的距离为 h , ∵ VO- ACD= VA- OCD, 1 1 ∴ S△ ACD · h = S△ OCD· AO. 3 3 在△ ACD 中, AD= CD= 2, AC= 6, 6 S△ ACD= 2 2
2

? -? ? ?

15 6? ?2 = . 2 2? ?

S△ OCD 3 15 而 AO= 3, S△ OCD= ,∴ h= · AO= , 2 5 S△ ACD 15 ∴点 O 到平面 ACD 的距离为 . 5

第 16 讲 │ 要点热点探究

法二: (1)同解法一: (2)以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 O(0,0,0), A(0,0, 3), B(0,- 1,0), C( 3, 0,0), D(0, 1,0). ∵ AO⊥平面 BCD, → = (0,0, 3). ∴平面 BCD 的法向量 OA 设平面 ABC 的法向量 n= (x, y, z), → = (0,- 1,- 3), BC → = ( 3, 1,0), AB

第 16 讲 │ 要点热点探究

? → = 0, ? AB ?n· ?- y- 3z= 0, 由? 得? ? n= (1,- 3, ? → = 0, ? 3 x+ y= 0 ? BC ?n·

1), → 夹角为 设 n 与 OA
? ? → n · OA ? θ,则 |cosθ|= ? ? ?= → |OA|? ?|n|·

5 , 5

5 ∴二面角 A- BC- D 的余弦值为 . 5

第 16 讲 │ 要点热点探究

→ = (0, (3)设平面 ACD 的法向量为 m= (a, b, c),又 DA
? → = 0, ?m· DA ?b- 3c= 0 → - 1, 3),DC= ( 3,- 1,0),? ?? ? → ? 3a- b= 0 DC ?m·

→ 与 m 夹角为 α, 则 ? m= (1, 3, 1), 设 OA

? ? → m · OA ? cosα=? ? ? → |OA|? ?|m|·

5 h 5 15 = ,设 O 到平面 ACD 的距离为 h,∵OA= ? h= , 5 5 5 15 ∴ O 到平面 ACD 的距离为 . 5

第 16 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 关于空间角与距离的探索性问题
例 3 如图 5- 16- 4 所示,已知 ABCD- A1B1C1D1 是底面 为正方形的长方体,∠ AD1A1= 60° ,AD1= 4,点 P 是 AD1 上的 动点. (1)试判断不论点 P 在 AD1 上的任何位置, 是否都有平面 B1PA1 垂直于平面 AA1D1? 并证明你的结论; (2)当 P 为 AD1 的中点时,求异 面直线 AA1 与 B1P 所成角的余弦值; (3)求 PB1 与平面 AA1D1 所成角的正切 值的最大值. 图 5- 16- 4

第 16 讲 │ 要点热点探究

【解答】 (1)不论点 P 在 AD1 上的任何位置,都有平面 B1PA1 垂直于平面 AA1D1; 证明:由题意知, B1A1⊥ A1D1, B1A1⊥ A1A, 又∵ AA1∩A1D1= A1,∴ B1A1⊥平面 AA1D1, 又 A1B1? 平面 B1PA1,∴平面 B1PA1⊥平面 AA1D1. (2)解法一: 过点 P 作 PE⊥ A1D1, 垂足为 E, 连接 B1E(如 图 ),则 PE∥ AA1,∴∠ B1PE 是异面直线 AA1 与 B1P 所成的 角.

第 16 讲 │ 要点热点探究
在 Rt△ AA1D 中,∵∠ AD1A1= 60° , ∴∠ A1AD1= 30° , 1 1 ∴ A1B1= A1D1= AD1= 2,A1E= A1D1 2 2 = 1. 1 又 PE= AA1= 3. 2 ∴在 Rt△ B1PE 中, B1 P= 5+ 3= 2 2, PE 3 6 cos∠ B1PE= = = . B1P 2 2 4 ∴异面异面直线 AA1 与 B1P 所成角的 6 余弦值为 . 4

第 16 讲 │ 要点热点探究

解法二:以 A1 为原点,A1B1 所在的直线 为 x 轴建立空间直角坐标系如图所示,则 A1(0,0,0),A(0,0,2 3),B1(2,0,0),P(0,1, 3), → → ∴A 1A= (0,0, 2 3), B1P= (- 2,1, 3), → → A A · B 6 1 1P → → ∴ cos 〈 A 1 A, B 1 P〉 = = → → 2 3· 2 2 |A |B 1A|· 1 P| 6 = . 4 ∴异面直线 AA1 与 B1P 所成角的余弦值 6 为 . 4

第 16 讲 │ 要点热点探究
(3)由(1)知, B1A1⊥平面 AA1D1, ∴∠ B1PA1 是 PB1 与平面 AA1D1 所成的角且 tan∠ B1PA1 B 1 A1 2 = = ,当 A1P 最小时, tan∠ B1PA1 最大,这时 A1 P A1 P A 1 D1 · A1A A1P⊥ AD1,由 A1P= = 3,得 tan∠ B1PA1= AD1 2 3 2 3 ,即 PB1 与平面 AA1D1 所成角的正切值的最大值为 . 3 3

第 16 讲 │ 教师备用题
教师备用题
(选题理由: 1.均为体积问题; 2.注意向量的转化 ) 1.[2010· 吉林卷 ] 如图,三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧面 A1B ⊥ BC,且 A1C 与底面 ABC 成 60° 角, AB= BC= 2,则该棱柱 体积的最小值为 ( )

A. 4 3

B. 3 3

C. 4

D. 3

第 16 讲 │ 教师备用题

【解析】 A 过 A1 作直线 A1D⊥ AB,垂足为 D,连 接 CD,由侧面 A1B⊥ BC 得,侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴ A1D⊥底面 ABC, 则∠ A1CD 为 A1C 与底面 ABC 成的角, ∴∠ A1CD = 60° ,∴ A1D = CD· tan60° = 3 CD ,则该棱柱 1 体积 V= Sh= ×2×2· A1D= 2 3CD,因 CD 的最小值为 2 CB,即为 2,故体积最小值为 4 3.

第 16 讲 │ 教师备用题

2.[2010· 全国卷 ] 与正方体 ABCD- A1B1C1D1 的三条 棱 AB、 CC1、 A1D1 所在直线的距离相等的点 ( ) A.有且只有一个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无数个

第 16 讲 │ 教师备用题

【解析】 D 直线 B1D 上取一点 P,分别作 PO1, PO2, PO3 垂直于 B1D1, B1C, B1A 于 O1、 O2、 O3,则 PO1⊥平面 A1C1,PO2⊥平面 B1C,PO3⊥平面 A1B,O1、 O2、 O3 分别作 O1N⊥ A1D1, O2M⊥ CC1, O3Q⊥ AB,垂 足分别为 M, N, Q,连接 PM, PN, PQ,由三垂线定 理可得,PN⊥ A1D1,PM⊥ CC1,PQ⊥ AB,由于正方体 中各个表面、对等角全等,所以 PO1= PO2= PO3, O1N = O2M= O3Q,∴ PM= PN= PQ,即 P 到三条棱 AB、 CC1、 A1D1 所在直线的距离相等.所以有无穷多点满足 条件,故选 D.

第 16 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.求空间角和空间距离有传统的立体几何演绎法和空间向 量法,前者的关键是由定义或“找”或“求作”出相关角,相 关距离,然后解三角形.后者的关键是建立空间直角坐标系, 然后进行向量的坐标运算.在分析、求解有关空间角和距离问 题时,方法的恰当选用十分重要,应加强这方面的体验.并针 对性地训练一题用两种方法来求解,比较、体会其中简易方法 的妙处,从而提高方法选用能力. 2.等积变换:等积变换技巧的依据是等 (同 )底,等 (同 )高的 棱锥体积相等,在解题时,有的是在同一三棱锥中变换顶点和 底面,有的是变动顶点 (底面相同 ),用于求点到面的距离.


相关文章:
2016版高中数学二轮_三轮复习_专题5_立体几何课件_文_....ppt
2016版高中数学二轮_三轮复习_专题5_立体几何课件_文_大纲人教版_数学_高
高中数学二轮_三轮复习_专题5_立体几何课件_文_大纲人....ppt
高中数学二轮_三轮复习_专题5_立体几何课件_文_大纲人教版_数学_高中教育_教
2011版高中数学二轮_三轮复习_专题2_数列课件_文_大纲....ppt
2011版高中数学二轮_三轮复习_专题2_数列课件_文_大纲人教版 - 专题 2
2019版高考数学二轮复习第1篇专题5立体几何课件_图文.ppt
2019版高考数学二轮复习第1篇专题5立体几何课件_高考_高中教育_教育专区 人阅读|次下载 2019版高考数学二轮复习第1篇专题5立体几何课件_高考_高中教育_教育专区。...
...高三数学(文)二轮复习:专题五 立体几何5.1PPT课件_图文.ppt
2018-2019年高三数学(文)二轮复习:专题五 立体几何5.1PPT课件_数学_高中教育_教育专区。第一部分 专题突破破译命题密码 专题五 立体几何 第 1 课时 空间...
...数学二轮三轮总复习专题学案课件第5单元-立体几何专....ppt
【60天冲刺】2012年高考数学二轮三轮总复习专题学案课件5单元-立体几何专题(江苏文理通用)_高考_高中教育_教育专区。文档均来自网络,如有侵权请联系我删除文档 ...
17届高三数学(理工科)三轮复习专题5第2讲立体几何中的....ppt
17届高三数学(理工科)三轮复习专题5第2讲立体几何中的向量方法课件_高考_高中教育_教育专区。第2讲 立体几何中的向量方法 明确考向 感悟高考 (2010 浙江)如图...
【2份】2016版高考数学大二轮总复习(全国通用,文科)配....ppt
【2份】2016版高考数学大二轮总复习(全国通用,文科)配套课件:专题五 立体几何 共88张PPT_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题五 立体几何 第 1讲 空间几何...
...复习专题五立体几何5.3立体几何大题课件文_图文.ppt
2019年高考数学二轮复习专题五立体几何5.3立体几何大题课件文_高考_高中教育_教育专区。5.3 立体几何大题 -2- 年份 卷别 设问特点 证线线垂直; 全国 求三...
高考数学二轮复习专题五立体几何5.2空间中的平行与垂直....ppt
高考数学二轮复习专题五立体几何5.2空间中的平行与垂直课件文_高考_高中教育_教
人教版高中数学《立体几何二轮复习之解答题篇》精品课....ppt
人教版高中数学立体几何二轮复习之解答题篇》精品课件(文科_数学_高中教育_教育专区。人教版高中数学立体几何二轮复习之解答题篇》精品课件(文科,建哥指针高中...
2019年高考数学二轮复习专题5立体几何3.1立体几何大题....ppt
2019年高考数学二轮复习专题5立体几何3.1立体几何大题课件理_高考_高中教育_教育专区。5.3 立体几何大题 -2- 年份 卷别 设问特点 涉及知识点 解题思想 几何模型...
...高考二轮三轮总复习专题学案课件专题4-立体几何文数....ppt
2012年高考二轮三轮总复习专题学案课件专题4-立体几何文数_高考_高中教育_教育专区。2012 专题立体几何 专题四 │ 知识网络构建知识网络构建 专题四 │ 考情...
...数学二轮三轮总复习专题学案 专题4-立体几何课件 (....ppt
【60天冲刺】2012年高考数学二轮三轮总复习专题学案 专题4-立体几何课件 (浙江文科专用)_高中教育_教育专区。专题四 立体几何 专题四 │ 知识网络构建知识网络构建...
C-高中数学二轮_三轮复习_专题7_数学思想方法课件_人教....ppt
C-高中数学二轮_三轮复习_专题7_数学思想方法课件_人教版_数学_高中教育_教育...(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常 需要运用列方程或建立函数...
2019届高三数学(理)二轮专题复习课件:专题三立体几何 ....ppt
2019届高三数学(理)二轮专题复习课件:专题立体几何 规范答题示范_数学_高中...则 5 @《创新设计》 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45° ,而 n=(0...
高三数学二轮复习课件--5-1空间几何体_图文.ppt
高三数学二轮复习课件--5-1空间几何体_数学_高中教育_教育专区。专题五 立体几何 专题五 立体几何 专题五 立体几何 专题五 立体几何 1.认识柱、锥、台、球及其...
广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题4 第19课....ppt
广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题4 第19课时 立体几何综合问题_数学_高中教育_教育专区。专题立体几何 1 考点1 空间几何体与三视图问题例1 已知...
2012年高考二轮三轮总复习专题学案课件专题4第14讲 空....ppt
2012年高考二轮三轮总复习专题学案课件专题4第14讲 空间向量与立体几何_高考_高中教育_教育专区。第14讲 空间向量与立体几何 第14讲 空间向量与立体几何 第14讲 ...
2019高考数学二轮复习专题4立体几何课件理_图文.ppt
2019高考数学二轮复习专题4立体几何课件理_高考_高中教育_教育专区。2019 专题透析 04 立体几何 09 微专题09 三视图、表面积与体积计算 目录 10 微专题10 平行与...