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河南省南阳市六校2018-2019学年高一下学期第二次联考数学试题 含解析

2019 年春期六校第二次联考高一年级

数学试题

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若? 与 ? ? 的终边相同,则终边与? 相同的角所在的集合为( ) 6

A.

??? ?

|?

?

2k?

?

? 6

,k

?

Z

? ? ?

B.

??? ?

|?

?

2k?

?

? 6

,k

?

Z

? ? ?

C.

??? ?

|?

?

k?

?

? 6

,

k

?

Z

? ? ?

D.

??? ?

|?

?

k?

?

? 6

,

k

?

Z

? ? ?

【答案】A

【解析】

【分析】

根据终边相同的角的定义即可得到结果.

【详解】 ? 与 ? ? 的终边相同
6

?终边与?

相同的角的集合为:

??? ?

?

?

2k?

?

? 6

,k

?

Z

? ? ?

本题正确选项: A
【点睛】本题考查终边相同的角的概念,属于基础题.

2.将一个总体分为 A, B,C 三层后,其个体数之比为 4 : 2 :1,若用分层抽样的方法抽取容量为 140 的样本,则

应从 B 层中抽取的个数为( )

A. 20

B. 30

【答案】C

【解析】

C. 40

D. 60

【分析】
根据分层抽样的原则可计算的抽样比,再利用样本容量乘以抽样比得到结果.
【详解】由题意可知 B 层的抽样比为: 2 ? 2 4? 2?1 7
?应从 B 层中抽取的个数为:140? 2 ? 40 7
本题正确选项: C

【点睛】本题考查分层抽样的基本原理的应用,属于基础题.

3.若函数

y

?

cos ????x

?

? 12

? ??

(?

?

0)

的最小正周期为

2,则 ?

?(



A. 1

B. 2

C. ?

【答案】C

【解析】

【分析】
根据T ? 2? 可求得结果. ?
【详解】由题意知:T ? 2? ? 2 ,解得:? ? ? ?
本题正确选项: C

【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解问题,属于基础题.

D. 2?

4.已知? 为第三象限角,则( )

A. sin? , cos? , tan? 全为正数

B. sin? , cos? , tan? 全为负数

C. sin? ?cos? ? tan? ? 0

D. sin? ?cos? ? tan? ? 0

【答案】C

【解析】

【分析】

根据? 的范围可求得正弦、余弦和正切的符号,从而得到结果.

【详解】 ? 为第三象限角 ?sin? ? 0 , cos? ? 0 , tan? ? 0,可知 A, B 错误;

则 sin? ?cos? ? tan? ? 0, C 正确, D 错误. 本题正确选项: C
【点睛】本题考查各象限角三角函数值的符号问题,属于基础题.

5.已知向量 a ? ?k, ?1? , b ? ?3, ?4? ,如果向量 2a ? b 与 a ? 3b 平行,则实数 k 的值为( )

A. 1 4
【答案】B

B. 3 4

C. ? 1 4

D. ? 3 4

【解析】 【分析】

根据坐标运算求出 2a ? b 和 a ? 3b ,利用平行关系得到方程,解方程求得结果.

【详解】由题意得: 2a ? b ? ?2k ? 3, ?6? , a ? 3b ? ?k ? 9,11?

?2a ? b ? / / ?a ? 3b ?
本题正确选项: B

?11?2k ? 3? ? ?6?k ?9? ,解得: k ? 3
4

【点睛】本题考查向量平行的坐标表示问题,属于基础题.

6.已知扇形 AOB ( O 为圆心)对应的圆心角为120 ,点 P 在弧 AB 上,且 AP ? 1 AB ,则往扇形 AOB 内 4
投掷一点,该点落在 ?POB 内的概率为( )

A. 3 2?
【答案】A 【解析】 【分析】

B. 3 ?

C. 3 ?

D. 3 3 4?

根据扇形面积公式求得扇形面积;再根据弧长关系可得 ?POB ? 90 ,从而可求得 ?POB 的面积,根据几何

概型可求得结果.

【详解】设扇形的半径为1,则 S扇形OAB

?

? 3

又 AP ? 1 AB 4

??POB ? 90

? S?POB

?

1 2

则该点落在

?POB

内的概率为:

S?POB S扇形POB

?

3 2?

本题正确选项: A
【点睛】本题考查几何概型求解概率问题,涉及到扇形面积公式的应用.

7.将函数

f

(x)

?

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

图像上所有点的横坐标缩短到原来的

1 2

,再向右平移?( 0

?

?

?

? 2

)个单位长

度,得到函数 y ? g(x) 的图像关于 y 轴对称,则? 的取值为( )

A. ? 8
【答案】D 【解析】 【分析】

B. ? 6

C. ? 4

D. ? 3

根据图象伸缩和平移变换可得

g

?

x?

?

sin

? ??

2x

?

2?

?

? 6

? ??

;由函数图像关于关于

y

轴对称可知函数为偶函数,

从而得到 ?2? ? ? ? ? ? k? ,再结合? 的范围求得结果.
62

【详解】由题意可知,横坐标缩短到原来的

1 2

得到:

y

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

向右平移?

个单位长度得到:

g

?

x?

?

sin

???2

?

x

?

?

?

?

? 6

? ??

?

sin

? ??

2x

?

2?

?

? 6

? ??

y ? g ? x? 的图像关于 y 轴对称 ? y ? g ? x? 为偶函数

??2? ? ? ? ? ? k? , k ?Z
62

又0?? ?? 2

?? ? ? 3

本题正确选项: D

?? ? ? ? ? k? , k ?Z
62

【点睛】本题考查根据三角函数的平移变换、伸缩变换以及函数的性质求解函数解析式的问题,属于常规题

型.

8.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( )

A. 9 【答案】C

B. 45

C. 126

D. 270

【解析】 【分析】
按照程序框图运行程序,直到不满足 k ? 9 输出结果即可. 【详解】按照程序框图运行程序,输入 k ? 0 , s ? 0 ,满足 k ? 9 ,循环; s ? 0 ? 02 ? 0 , k ? 0 ? 3 ? 3,满足 k ? 9 ,循环; s ? 0 ? 32 ? 9 , k ? 3? 3 ? 6 ,满足 k ? 9 ,循环; s ? 9 ? 62 ? 45 , k ? 6 ? 3 ? 9,满足 k ? 9 ,循环; s ? 45 ? 92 ? 126 , k ? 9 ? 3 ?12 ,不满足 k ? 9 ,输出 s ?126 本题正确选项: C
【点睛】本题考查根据循环结构 框图计算输出结果的问题,属于基础题.

的 9.已知 f (x) 是定义在(0,3) 上的函数, f (x) 的图像如图所示,那么不等式 f (x)cos x ? 0的解集是( )

A. (0,1) (2,3)

C.

???1,

? 2

? ??

?

? ??

? 2

,

3 ???

B.

(0,1)

?

? ??

? 2

, 3 ???

D. (0,1) (1,3)

【答案】B

【解析】

【分析】

? f (x) ? 0 ? f (x) ? 0 将不等式变为 ??cos x ? 0 或 ??cos x ? 0 ,解不等式组求得结果.
??0 ? x ? 3 ??0 ? x ? 3

? f (x) ? 0 ? f (x) ? 0

【详解】由 ?

(x

? y)2 ? 4xy 2(x ? y)

得: ??cos ??0 ?

x x

? ?

0 或 ??cos 3 ??0 ?

x x

? ?

0 3

?1 ? x ? 3 ?0 ? x ? 1



???

? ?

2

?

x

??

或 ???0 ?

?

x

?

? 2

??0 ? x ? 3 ??0 ? x ? 3

∴ 0 ? x ?1或 ? ? x ? 3,即 x ??0,1?
2

? ??

? 2

,

3

? ??

本题正确选项: B 【点睛】本题考查不等式的求解问题,关键是能够根据明确余弦函数在区间内的符号.

10.已知函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图像如图所示,其中 A(2, ?1) , B(8,1) 分别 是函数 f (x) 的图像的一个最低点和最高点,则 ? ? ? ? ( )
A

A. ? 2? 3
【答案】A

B. ? 6

C. ? ? 6

D. 2? 3

【解析】 【分析】

根据图象可确定 A ?1和T ?12 ,从而得到? ;代入 A?2, ?1?,结合 ? ? ? ,求得? 的值;从而可得结果.

【详解】依题意, A ? 1

T 2

?

8

?

2

?

6

,即: T

? 12

?? ? 2? ? ? 12 6

?

f

?

x?

?

sin

? ??

? 6

x

?

?

? ??

将 A?2, ?1?代入可知: ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2k? ,解得:? ? ? ?? ? 2k?

6

2

6

Q? ??

?? ? ? 5? 6

?? ??

?

? 6

? 5? 6

? ? 2?

A

1

3

本题正确选项: A

【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解函数解析式的问题,属于常规题型.

11.关于

x

的方程

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

?

2m

在[0,

?]

内有相异两实根,则实数

m

的取值范围为(



A.

?
? ?

3 4

,

1 2

?
? ?

【答案】C

【解析】

【分析】

B.

?
? ?

3 4

,

1 2

? ???

C.

? ??

1 4

,

1 2

? ??

D.

? ??

1 4

,

1 2

? ??

将问题转化为

y

?

2m



y

?

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

有两个不同的交点;根据

0

?

x

?

?

可得

x

?

? 6

?

?? ?? 6

,

7? 6

? ??

,对照

sin

x

的图象可构造出不等式求得结果.

【详解】方程有两个相异实根等价于

y

?

2m



y

?

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

有两个不同

交点

的 当

0

?

x

?

?

时,

x

?

? 6

?

?? ?? 6

,

7? 6

? ??



sin

x

图象可知:

1 2

?

2m

?

1

,解得:

m

?

? ??

1 4

,

1 2

? ??

本题正确选项: C

【点睛】本题考查正弦型函数的图象应用,主要是根据方程根的个数确定参数范围,关键是能够将问题转化

为交点个数问题,利用数形结合来进行求解.

12.如图,在 ?ABC 中,点 O 在 BC 边上,且 BO ? 2OC ,过点 O 的直线与直线 AB , AC 分别交于 M , N 两

点(

M,

N

不与点

B, C

重合),若

AM

?

m AB



AN

?

n AC

,则

mn 2m ?

n

?





A. 3 2
【答案】C 【解析】 【分析】

B. 1 2

C. 1 3

D. 1 4

根据平面向量基本定理可得: AO

?

1 3

AB

?

2 3

AC

;根据

M

, O,

N

三点共线可设

MO

?

?ON

,利用平面向量

基本定理得: AO ? m AB ? ?n AC ,从而可建立方程组求得 1 ? 2 ? 3 ,整理即可得到结果.

? ?1 ? ?1

mn

? ? 【详解】由 BO ? 2OC 得: AO ? AB ? 2

AC ? AO

,即: AO ? 1 AB ? 2 AC 33

? ? 又 M ,O, N 三点共线,设: MO ? ?ON ,则: AO ? AM ? ? AN ? AO

整理可得: ?? ?1? AO ? AM ? ? AN ? mAB ? ?nAC

? AO ? m AB ? ?n AC ? ?1 ? ?1

?

? ?? ? ?

m ? ?1 ?n

? ?

1 3 2

??? ?1 3

? 1 ? 2 ? 1 ? ? ?1 3m 3n ? ?1 ? ?1

则: 1 ? 2 ? 3 ,即: n ? 2m ? 3

mn

mn

本题正确选项: C

? mn ? 1 2m ? n 3

【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,关键是能够利用三点共线和平面向量基本定理构造出关于 m, n, ?

的方程组,从而得到 m, n 之间的关系,进而求得结果.

二、填空题(将答案填在答题纸上)
13.扇形 AOB 的面积是 3? ,弧长为? ,则圆心角为_____.
2 【答案】 ?
3 【解析】

【分析】

根据扇形面积公式求得半径;再利用弧长公式求得结果.

【详解】由扇形面积: S ? 1 ? r ? 3? 得: r ? 3

2

2

?? ? ?r ? 3? ,解得:? ? ? 3

本题正确结果: ? 3

【点睛】本题考查扇形弧长和面积公式的应用,属于基础题.

14.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出 0~9 之间取整数的随机数, 指定 0,1,2,3,4 表示命中目标,5,6,7,8,9 表示未命中目标,以 5 个随机数为 1 组,代表射击 5 次的

结果,经随机模拟产生 10 组如下随机数: 74253 02951 40722 98574 69471 46982 03714 26162 95674 42813 根据以上数据估计该运动员射击 5 次至少击中目标 3 次的概率为_______.
【答案】 3 5
【解析】 【分析】
观察数据可知共有 6 组数据保证至少击中目标 3 次,根据古典概型求得结果. 【详解】观察可知: 74253, 02951, 40722 , 03714 , 26162 , 42813满足题意 故所求概率: P ? 6 ? 3
10 5 本题正确结果: 3
5
【点睛】本题考查古典概型的概率问题求解,属于基础题.
15.如图,在 ?ABC 中, AD ? AB , BC ? 2BD ,| AD |? 2 ,则 AC ? AD ? ____.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据 BC

? 2BD 可得

AD ?

1 2

AB ? 1 2

AC ,整理出

AC

?

2 AD?

AB,代入

AC ? AD ,再结合

AD

?2,

AD ? AB 求得结果.

【详解】由

BC

?

2BD

得:

AD

?

1 2

AB

?

1 2

AC

,则:

AC

?

2 AD

?

AB

?? 2
? AC ? AD ? 2AD ? AB ? AD ? 2AD ? AB ? AD

又 AD ? 2 , AD ? AB

? AC ? AD ? 2? 4 ? 0 ? 8 本题正确结果: 8
【点睛】本题考查向量数量积 求解,关键是利用平面向量基本定理将问题进行转化.

16.已知函数 f (x) ? 1 (sin ?x ? cos?x? | sin ?x ? cos?x |)(? ? 0) ,点 P 、 Q 分别为函数 f (x) 图像上的最 2
高点和最低点,若| PQ |的最小值为 t ,且 t2 ? 15 ? 2 ,则? 的值为_____. 4
【答案】 ? 2
【解析】
【分析】



f

?x? 整理为:

f

?

x?

?

?sin ? x, sin ? x ??cos ? x, sin ? x

? cos?x ? cos?x

,在一个周期 ?0,T ? 内得到函数的图象,根据图象和

t2 ? 15 ? 2 构造出关于最小正周期T 的方程,解方程求得T ,进而得到? . 4

详解】由题意得:

f

?x?

?

?sin?x,sin?x ? cos?x ??cos?x,sin?x ? cos?x

【显然函数 f ?x?的最小正周期为:T ? 2? ,则在一个周期?0,T? 内函数 f ?x?的图象如下: ?

故t2

?

CD

2

?

? 5T ?? 8

?T 4

2
? ? ?

? ? ???1?

2 2

?2 ???

?

9T 64

2

?

3 2

?

2 ? 15 ? 4

2

解得:T ? 4,即:? ? 2? ? 2? ? ?

T 42

本题正确结果: ? 2

【点睛】本题考查三角函数图象的综合应用问题,关键是能够根据函数的解析式得到函数图象,从而构造出

关于最值的方程,从而求得周期.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图,A, B 是单位圆 O 上的点,且点 A 在第一象限,点 B 在第二象限,C 是圆与 x 轴正半轴的交点,B 点

的坐标为

? ??

?

4 5

,

y

? ??



?AOB

?

? 2

.

(1)求 y 的值;

(2)设 ?AOC ? ? ,求 sin? , cos? , tan? 的值.

【答案】(1) y ? 3 (2) sin? ? 4 ; cos? ? 3 ; tan? ? 4

5

5

5

3

【解析】

【分析】

(1)利用两点间距离公式表示出 OB = 1 ,解方程求得结果;(2)设 ?COB ? ? ,根据三角函数的定义、诱

导公式、同角三角函数关系可求得结果.

【详解】(1)由题意得: OB ?

? ??

?

4 5

?2 ??

?

y2

?1且

y

?

0 ,解得:

y

?

3 5

(2)设 ?COB ? ? ,则有: sin? ? 3 , cosa = - 4 , tan? ? ? 3

5

5

4

由? ? ? ? ? 得: 2

sin ?

? sin ????

?? 2

? ??

?

?

cos?

?

4 ; cos? 5

?

cos

? ??

?

?

? 2

? ??

?

sin

?

?

3 ; tan θ = 5

sin θ cos θ

=

4 3

【点睛】本题考查三角函数的定义、同角三角函数求解、诱导公式应用,属于基础题.

18.受到共享经济思潮的影响以及共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共 享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷,为生活添加了一丝新颖.某公司计划推出一款共享产品,先对
该产品单位时间内的使用价格进行不同定价,并在 A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F 六个地区进行试销推广,得到数
据如下:

价格 xi (元/件) 60

62

64

66

68

70

日租借次数 yi (次) 91

84

81

m

70

67

且日租借次数 yi 的平均值为 78

(1)求 m 的值;

(2)求日租借次数 y 关于价格 x 的回归直线方程.

【答案】(1)

m

?

75

(2)

?
y

?

?

12

x

?

234

5

【解析】

【分析】

(1)根据平均数 y 构造方程求解得到结果;(2)根据数据求得 x ,利用最小二乘法,代入公式求得回归直线.

【详解】(1)由题意得: y ? 91? 84 ? 81? m ? 70 ? 67 ? 78,解得: m ? 75 6
(2)依题意, x ? 60 ? 62 ? 64 ? 66 ? 68 ? 70 ? 65 6

? ? ?b?

?

?5?13 ? 3? 6 ?1?3 ?1?3 ? 3?8 2 52 ? 32 ?1

? 5?11

?

? 12 5



a?

?

78 ?

12 5

? 65

?

234

?回归直线方程为: y? ? ?12 x ? 234 5
【点睛】本题考查回归直线的求解问题,关键是能熟练掌握最小二乘法,属于基础题.

f (? ) ?

sin(? ??) cos(2? ??)

19.已知

cos

????

?

? 2

? ??

sin(2?

??

)

cos(?

??

)

sin(??

)

(1)化简 f ?? ? ;

(2)若 f (? ) ? ?3 ,求 sin? 的值.

【答案】(1)

f

(? )

?

?

1 sin2 ?

(2) sin?

?

?

3 3

【解析】

【分析】

(1)根据诱导公式化简即可;(2)根据 f (? ) ? ?3 可知 sin2 ? ? 1 ,从而求得结果. 3

【详解】(1)由诱导公式可得:

f

??

?

?

sin ?

sin? cos?
??? sin? ? ??? cos?

? ??? sin?

?

?

?

1 sin 2

?

(2)由 f (? ) ? ?3 得: sin2 ? ? 1 3

?sin? ? ? 3 3

【点睛】本题考查诱导公式化简和求值的问题,属于基础题.
20.以下茎叶图记录了甲,乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数,乙组记录中有一个数据模糊,无法
确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X ? 8,求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数和方差;

(2)如果 X ? 9 ,分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学单位时间内引体向上次数和为 19

的概率.

(注:方差

s2

?

1 n

???

x1

?

x

?2

?

? x2

?

x

?2

???

? xn

?

x

?2

? ?

,其中

x



x1,

x2 ,

【答案】(1)平均数 x ? 35 ,方差 s2 ? 11 (2) 1

4

16

4

【解析】

, xn 的平均数).

【分析】

(1)根据平均数和方差计算公式直接求得结果;(2)首先确定在甲、乙两组随机选取一名同学的所有情况,

再找到次数和为19 的情况,根据古典概型求得结果.

【详解】(1)当 X ? 8时,由茎叶图可知,乙组同学的引体向上次数是 8 , 8 , 9 ,10

?平均数为: x ? 8 ? 8 ? 9 ?10 ? 35

4

4

方差为:

s2

?

1 4

?

?? ?????

8

?

35 4

2
? ? ?

?

2

?

? ??

9

?

35 4

2
? ? ?

? ???10 ?

35

2
?

?

4

??

? ??

?

11 16

(2)记甲组四名同学分别为 A1 , A2 , A3 , A4 ,引体向上的次数依次为 9 , 9 ,11,11;

乙组四名同学分别为 B1 , B2 , B3 , B4 ,他们引体向上 次数依次为 9 , 8 , 9 ,10

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16 个,即:? A1, B1 ? ,? A1, B2 ? ,? A1, B3 ? ,? A1, B4 ? ,

? A2, B1 ? ,? A2, B2 ? ,? A2, B3 ? ,? A2, B4 ? ,? A3, B1? ,? A3, B2 ? ,? A3, B3 ? ,? A3, B4 ? ,? A4, B1 ? ,? A4, B2 ? , ? A4, B3 ? , ? A4, B4 ?
用 C 表示“选出的两名同学的引体向上次数和为19 ”这一事件
则 C 中的结果有 4 个,它们是: ? A1, B4 ? , ? A2, B4 ? , ? A3, B2 ? , ? A4, B2 ? 故所求概率: P ?C ? ? 4 ? 1
16 4

【点睛】本题考查平均数、方差的求解,古典概型的概率问题求解,考查学生的基础运算能力,属于基础题.

21.已知函数

f

?

x?

?

2 sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

.

(1)当

x?

???0,

? 2

? ??

时,求函数

f

? x? 的单调递增区间;

(2)写出函数 f ? x? 图像的对称中心坐标和对称轴方程;

(3)若

x?

????

? 12

,? 2

? ??

,求

f

? x? 的取值范围.

【 答 案 】( 1 )

???0,

? 3

? ??

;( 2

)对

称中





? ??

k? 2

?

? 12

,

0

? ??

?

k

?

Z

?

,对称轴方程

x

?

k? 2

?? 3

?k ?Z ?

;( 3 )

f ? x? ? ??? 3, 2??
【解析】 【分析】

(1)令

?

? 2

?

2k?

?

2x

?? 6

?

? 2

? 2k?

,解出

x

的范围,结合

x?

???0,

? 2

? ??

即可得到单调递增区间;(2)采用

整体对应的方式,利用 2x ? ? ? k? ?k ? Z ? 和 2x ? ? ? k? ? ? ?k ? Z ? 即可求得对称中心和对称轴;(3)利

6

6

2

用 x 的范围求得 2x ? ? 的范围,对应正弦函数的图象即可求得结果. 6

【详解】(1)令 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? , k ?Z

2

62

解得: k? - ? #x k? + ? , k ?Z

6

3

x

?

???0,

? 2

? ??

?

f

?x?

的单调递增区间为

???0,

? 3

? ??

(2)由 2x ? ? ? k? ?k ? Z ? 得: x ? k? ? ?

6

2 12

?

f

?

x?

的对称中心为:

? ??

k? 2

?

? 12

,

0

? ??

?

k

?

Z

?

由 2x ? ? ? k? ? ? ?k ? Z ? 得: x ? k? ? ?

6

2

23

? f ? x? 的对称轴为直线: x ? k? ? ? ?k ? Z ?
23

(3)

x

?

????

? 12

,

? 2

? ??

?

2

x

?

? 6

?

????

? 3

,

5? 6

? ??

?sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

?

? ?? ?

3 2

? ,1? ,即:
?

f

? x?? ???

3, 2??

【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间、对称轴和对称中心、值域问题的求解,主要采用整体对应的方式

来进行求解,属于常规题型.

22.已知函数 f ? x? ? ?cos2 x ? 2a cos x ? a2 ? 2? x? R? .

(1)若函数 f ? x? 的最大值是最小值的 4 倍,求实数 a 的值;

(2)若函数 f ? x? 存在零点,求函数的零点.

【答案】(1) a ? ?3或 3 或 ?2 ? 3 或 2 ? 3 .(2)当 a ? ?1时,零点为 x ? 2k??k ?Z? ;当 a ?1时,零

点为 x ? 2k? ? ??k ?Z?

【解析】 【分析】
(1)将 f ? x? 整理为 ??cos x ? a?2 ? 2a2 ? 2 ,换元可得 g ?t ? ? ??t ? a?2 ? 2a2 ? 2 , ?1? t ?1;根据对称
轴位置的不同,分别在 a ? ?1 , a ?1, ?1? a ? 0 和 0 ? a ? 1四种情况下构造最大值和最小值关系的方程, 解方程求得结果;(2)根据(1)中最值的取值范围可知若存在零点,必有 a ? ?1 或1,从而可知 cos x 的取
值,进而得到零点.
【详解】(1) f ? x? ? ?cos2 x ? 2a cos x ? a2 ? 2? x ? R? ? ??cos x ? a?2 ? 2a2 ? 2

当 x ?R 时, ?1? cos x ?1,令 cos x ? t ??1? t ?1? , g ?t ? ? ??t ? a?2 ? 2a2 ? 2

①当 a

?

?1 时,

f

?x? max

?

g ??1?

?

a2

? 2a ?1,

f

?x? min

?

g ?1?

?

a2

? 2a ?1;

? ? 有 a2 ? 2a ?1 ? 4 a2 ? 2a ?1 ,解得: a ? 3? 或 ? 1 3

由 a ? ?1 得: a ? 3?

②当 a

? 1 时,

f

?x? max

?

g ?1?

?

a2

?

2a

?1,

f

?x? min

?

g ??1?

?

a2

?

2a

?1;

? ? 有 a2 ? 2a ?1 ? 4 a2 ? 2a ?1 ,解得: a ? 3或 1 3

由 a ?1得: a ? 3

③当 ?1?

a

?

0 时,

f

?x? max

?

g ?a?

?

2a2

?2



f

?x? min

?

g ?1?

?

a2

?

2a ?1;

? ? 有 2a2 ? 2 ? 4 a2 ? 2a ?1 ,解得: a ? ?2 ? 3

由 ?1? a ? 0 得: a ? ?2 ? 3

④当 0

?

a

? 1时,

f

?x? max

?

g ?a?

?

2a2

?2,

f

?x? min

?

g ??1?

?

a2

? 2a ?1

? ? 有 2a2 ? 2 ? 4 a2 ? 2a ?1 ,解得: a ? 2 ? 3

由 0 ? a ? 1得: a ? 2 ? 3

综上所述: a ? ?3或 3 或 ?2 ? 3 或 2 ? 3
(2)由(1)知, a2 ? 2a ?1 ? ?a ?1?2 ? 0 , a2 ? 2a ?1 ? ?a ?1?2 ? 0 , 2a2 ? 2 ? 0

若函数 f ? x? 存在零点,则必有: a ? ?1或1

①当 a ? ?1时, cos x ?1,此时函数 f ? x? 的零点为: x ? 2k??k ?Z? ;

②当 a ?1时, cos x ? ?1,此时函数 f ? x? 的零点为: x ? 2k? ? ??k ?Z?
【点睛】本题考查余弦型函数的最值、零点的求解问题,关键是能够通过换元法将问题转变为二次函数图象 的讨论问题,从而根据对称轴位置确定最值取得的点;同时求解零点时,根据最值的取值范围可确定余弦的 取值.