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2012-2013年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题02 函数定义域的求法


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第 02 讲:函数定义域的求法
【考纲要求】 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域。 【基础知识】 一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。 二、求函数的定义域的主要依据 1、分式的分母不能为零。

6、正切函数 y = tan x 的定义域是 {x | x ≠ kπ +

π , k ∈ z} 。 2

7、余切函数 y = cot x 的定义域为 { x | x ≠ kπ , k ∈ z} 。 8、复合函数的定义域的求法 (1)已知原函数 f ( x ) 的定义域为 ( a, b) ,求复合函数 f [ g ( x )] 的定义域:只需解 不等式 a < g ( x ) < b ,不等式的解集即为所求函数的定义域。

10、求含有字母参数的函数的定义域 一般要根据情况分类讨论。 11、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义,还要保证满足实际意义。 三、函数的定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示,不能用不等式表示。函数的定义域也可以用区间表示, 因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式。

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四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法。 五、函数的问题,必须遵循“定义域优先”的原则。 研究函数的问题,不管是具体的函数,还是抽象的函数,不管是简单的函数,还是复杂 的函数,必须优先考虑函数的定义域。之所以要做到这一点,不仅是为了防止出现错误,有 时还会为解题带来方便。 【方法讲评】

方法二 使用情景

求交法 函数是由一些函数四则运算得到的,即函数的形式为 f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) 型。 一般先分别求函数 g ( x ) 和 h( x ) 的定义域 A 和 B ,再求 A ∩ B , A ∩ B 就是函

解题步骤 数 f ( x ) 的定义域。

例2

求函数 y =

25 ? x 2 + log 3 cos x 的定义域。

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方根的被开方数是非负数,对数函数的真数大于零,列不等式求函数的定义域时,必须考虑 全面,不能漏掉限制条件。 (3)解不等式 cos x > 0 时,主要是利用余弦函数的图像解答。 (4)

??5 ≤ x ≤ 5 ? 求? π π 2 kπ ? < x < 2 kπ + ? ? 2 2

k∈z

的解集时,只需给参数 k 赋几个整数值,再通过数轴求交

集。 (5)注意等号的问题,其中只要有一个错误,整个解集就是错误的,所以要仔细认真。

例3

求函数 y =

lg( x ? x 2 ) + (3x ? 2) 0 的定义域 | x + 3 | ?3

例4

求函数 y = log a (a x ? 1)

(a > 0且a ≠ 1) 的定义域。

解:由题得

a x ? 1 > 0 ∴ a x > 1=a 0
当a > 1时,x>0;当0<a<1时,x<0. ∴当a > 1时,函数的定义域为{x|x>0}, 当0<a < 1时,函数的定义域为{x|x<0}.
【点评】 (1)求含有参数的函数的定义域时,注意在适当的地方分类讨论。 (2)对于指数 函数和对数函数,如果已知条件中,没有给定底数 a 的取值范围,一般要分类讨论。 【变式演练 2】 求函数 y = ln (a x ? 1) +

1 ?x ? 2x + 3
2

的定义域。

方法三 使用情景 解题步骤

抽象复合法 涉及到抽象复合函数。 利用抽象复合函数的性质解答: (1)已知原函数 f ( x ) 的定义域为 ( a, b) , 求

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复合函数 f [ g ( x )] 的定义域:只需解不等式 a < g ( x ) < b ,不等式的解集即 为所求函数的定义域。 (2)已知复合函数 f [ g ( x )] 的定义域为 ( a, b) ,求原 函数 f ( x ) 的定义域: 只需根据 a < x < b 求出函数 g ( x ) 的值域, 即得原函数

f ( x ) 的定义域。

例5

求下列函数的定义域:
2

(1)已知函数 ( f x)的定义域为 [ ?2, 2] ,求函数 y = f ( x ? 1) 的定义域。 (2)已知函数 y = f (2 x + 4) 的定义域为 [0,1] ,求函数 ( f x)的定义域。 (3)已知函数 ( f x)的定义域为 [ ?1, 2] ,求函数 y = f ( x + 1) ? f ( x ? 1) 的定义域。
2

解: (1)令-2≤ x 2 —1≤2
2

得-1≤ x 2 ≤3,即

0≤ x 2 ≤3,从而

- 3 ≤ x≤ 3

∴函数 y = f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 3, 3] 。 (2) ∵ y = f (2 x + 4) 的定义域为 [0,1] , 即在 y = f (2 x + 4) 中 x ∈ [0,1] , 令 t = 2x + 4 ,

x ∈ [0,1] ,则 t ∈ [4, 6] ,即在 f (t ) 中, t ∈ [4, 6] ∴ ( f x)的定义域为 [4, 6] 。
(3)由题得 ?

??1 ≤ x + 1 ≤ 2
2 ??1 ≤ x ? 1 ≤ 2 2

∴? 3 ≤ x ≤ 1

∴函数 y = f ( x + 1) ? f ( x ? 1) 的定义域为 [ ? 3,1] 。

【变式演练 3】

已知函数 y = f (tan 2 x) 的定义域为 [0,

π ] ,求函数 f ( x ) 的定义域。 8

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【变式演练 4】 若函数 y = f ( x ) 的定义域为 ? ,2? ,求函数 f (log 2 x ) 的定义域。 2

?1 ? ? ?

例6

用长为 L 的铁丝编成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图所示 ) 。若矩形底边

长为 2 x ,求此框架围成的面积 y 与关于 x 的函数解析式,并求出它的定义域。

? = π x ,于是 AD = 解:如图,设 AB = 2 x ,则 CD
因此 y = 2 x ? 即 y =L-2x-πx πx 2 + 2 2

L-2x-πx 2

π+4 2 x +Lx 2

?2x>0 ? 再由题得 ? L-2x-πx >0 ? 2 ?

解之得 0< x <

L 2+π

所以函数解析式是 y =-

L π+4 2 x +Lx ,函数的定义域是 (0, )。 2 π +2

【变式演练 5】

一个圆柱形容器的底部直径是 dcm ,高是 hcm .现在以 vcm3 / s 的速度

向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式,并 写出函数的定义域和值域.

【高考精选传真】

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1、.【2012 高考真题江西理 2】下列函数中,与函数 y =

3

1 定义域相同的函数为( x



A. y =

1 sin x

B. y =

ln x x

x C.y= xe

D. y =

sin x x

2.【2012 高考真题江苏理 5】函数 f ( x) = 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得



?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ? ? ? 0< x ≤ 6 。 1 ? ? 1 ? 2 ?1 ? 2log 6 x ≥ 0 ?log 6 x ≤ ? ? 2 ?x ≤ 6 = 6
所以函数的定义域为 0, 6 ?

(

?

【反馈训练】 1、设 a∈(0,1) ,则函数 y= log a ( x ? 1) 的定义域是( A、 (1,2] C、[2,+∞) B、 (1,+∞) D、 (﹣∞,2] . 的定义域为 B, 则 A∩B= . )

2、设 f(2x﹣1)=2x﹣1,则 f(x)的定义域是 3、 设函数 y=lg (x2﹣x﹣2) 的定义域为 A, , 函数 y=

4、设函数 f(x)的定义域是[0,1],求函数 f(x2)的定义域. 5、求函数 y=lgtanx+

1 16 ? x 2

的定义域。

6、设 f ( x ) = ln

1+ x x 1 ,求函数 g ( x ) = f ( ) + f ( ) 的定义域。 1? x 2 x

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7、某单位用木料制作如图所示的框架 , 框架的下部是边长分别为 x、y(单位:m)的矩形.
上部是等腰直角三角形 . 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省?

8、如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为 2 r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD = 2 x ,梯形面 积为 S . (I)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积 S 的最大值.

D

C
4r

A

2r

B

当 a > 1 时 , 不 等 式 组 的 解 集 为 {x | 0 < x < 1} ; 当 0 < a < 1 时 , 不 等 式 组 的 解 集 为

{ x | ?3 < x < 0} 。
所 以 当 a > 1 时 , 函 数 的 定 义 域 为 {x | 0 < x < 1} ; 当 0 < a < 1 时 , 函 数 的 定 义 域 为

{ x | ?3 < x < 0} 。
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【变式演练 3 详细解析】 由题得 0 ≤ x ≤

π π ∴0 ≤ 2x ≤ ∴ 0 ≤ tan 2 x ≤ 1 8 4

所以函数的定义域为 [0,1]

向容器内注入溶液经历时间为 t 秒后,容器中溶液的高度为 xcm . 故 t 秒后溶液的体积为=底面积×高=π ? ? 2 x = vt

?d? ? 2?

解之得: x =

4vt πd 2

又因为 0≤x≤h 即 0≤

πhd 2 4vt ≤ h 0 ≤ t ≤ ? πd 2 4v πhd 2 },值域为{ x |0≤ x ≤ h } 4v

故函数的定义域为{ t |0≤ t ≤

【反馈训练详细解答】 1. A【解析】由题得 loga(x﹣1)≥0, 且 x ? 1 > 0 。因为 a∈(0,1) ,所以 0<x﹣1≤1, x∈(1,2]。故选 A 2. (﹣1,+∞) 【解析】∵x∈R ∴ 2 x> 0 ∴2x﹣1>﹣1 ∴f(x)的定义域是(﹣1,+∞) 3. (﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) 【解析】 (﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) .由 x2﹣x﹣2>0,得 x<﹣1 或 x>2,故 A=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) .由 ﹣2]∪(﹣1,+∞) . ≥0,得:x≤﹣2 或 x>﹣1, 故 B=(﹣∞,

∴A∩B=(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) .

? tan x > 0 ? π ? ? x ≠ kπ + 2 ? 2 ? ?16 ? x > 0

π ? ? kπ < x < kπ + k ∈ z ∴? 2 ? ? 4 < x < 4 ?

k∈z

π π ∴函数的定义域为(-π, - ) ∪ ( 0, ) ∪( π, 4) 2 2

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7. 【解析】由题意得

x2 8? 1 4 = 8 ? x (0<x<4 2 ). xy+ x2=8,∴y= 4 x x 4
于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(

2 3 16 x )=( + 2 )x+ ≥4 6 + 4 2 . 2 2 x

当(

3 16 + 2 )x= ,即 x=8-4 2 时等号成立 . 2 x

此时, x≈2.343,y=2 2 ≈2.828. 故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省.

解得 y = 2 r 2 ? x 2 (0 < x < r )

y

1 S = (2 x + 2r )i2 r 2 ? x 2 2

D

C

= 2( x + r )i r ? x ,
2 2

其定义域为 x 0 < x < r .

{

}
2

A
(II)记 f ( x) = 4( x + r ) ( r ? x ), 0< x<r,
2 2

O

B

x

则 f ′( x) = 8( x + r ) (r ? 2 x ) . 令 f ′( x ) = 0 ,得 x =

2

1 r. 2

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