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云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 圆的标准方程学案 新人教A版必修2


云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 圆的标准方程学案 新人教 A 版必修 2
【学习目标】 1.探索 并掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地 求出圆的圆心坐标和半径长。 2.会利用待定系数法求圆的标准方程。 【学习重点】掌握圆的标准方程 【学习难点】圆的标准方程的应用 知识铺垫: 1.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹)是圆。 2.圆的性质: ①垂径定理:垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 ②同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并且等于这条弧所对的圆心角的一半。 ③半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径。 ④圆心与切点的连线垂直于圆的切线;圆心到切线的距离等于半径; 圆的弦的垂直平分线过圆心;圆的半径 r ,半弦长为 h ,弦心距 d 满足 r ? h ? d
2 2 2
0

3.有关外接圆的概念: ① 三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。 ② 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。 【自主学习】 知识点一:圆的标准方程 问题一:在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么在直角坐标系中确 定一个圆, 需要哪些基本的要素呢?它们能否用坐标表示?

问题二:在平面直角坐标系中,设点 M 是圆心为 A(a,b) ,半径是r的圆上任意一点,根据圆的定义,M 满足 什么关系式?如果用点 M(x,y)表述上述关系式,那么会得到一个怎样的结果?圆的标准方程是什 么?

问题三:圆的标准方程有哪些特点?

问题四:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是什么?

问题五:试着归纳圆心分别在x轴上、y轴上,半径为r的圆的标准方程?当圆与x轴、y轴分别相切时,对应的圆 的方程是什么?当圆与两坐标轴都相切时,圆的方程是什么? 当圆过原点时,圆的方程是什么?

1

跟踪练习: 1、 圆心在坐标原点,半径为4的圆的方程是 2、 圆心坐标为(-3,4)半径为5的圆的方程是 3、 圆经过A(5,1)B(1,3)圆心在x轴上,则圆的方程是 4、 圆C: x ? 5、 圆

?

3 ? y? 2

? ?
2

?

2

? 4 的面积等于

?x ? 2?2 ? y 2 ? 5 关于 x 轴对称的圆的方程是
关于 y 轴对称的圆的方程是 关于原点对称的圆的方程是 关于 y ? x 对称的圆的方程是 关于 y ? ? x 对称的圆的方程是

6、圆

?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,若圆心在原点,则需要满足的条件是

若圆过原点,则满足的条件是 7、圆心在直线 2 x ? y ? 0 上且与直线 x ? y ? 1 ? 0 切于点M(2,-1) ,求圆的标准方程

知识点二:点与圆的位置关系 问题一:点与圆的位置关系有几种?如何利用点到圆心的距离d和圆的半径r的关系判断一个点和一个圆的位置 关系?

跟踪练习: 1、 已知圆C:
2

?x ? 2?2 ? ? y ? 3?2 ? 25, 则点P(3,2)在
2

2、 点P(m ,5)与圆 x

? y 2 ? 25 的位置关系是

3、 已知A(-6,-1)B(2,5)两点,求以线段AB为直径的圆的方程

4、 △ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程

2

5、 已知△AOB的顶点坐标分别是A(4 ,0),B(0,3),O(0,0),求△AOB外接圆的方程(两种方法求解)

小结:求三角形外接圆的方程的方法: 【巩固题组】 1、 圆 心在y轴上,半径为1,且过点(1,2 )的圆的方程是 2、 方程

y ? 9 ? x 2 表示的曲线是

3、 圆心在原点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程是 4、 方程 x
2

, 半径为2的圆, 则 a, b, c 的值依次为 ? y 2 ? 2ax ? by ? c ? 0 表示圆心为C(2,2)

5、 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0) (1) 求此圆的 标准方程 (2) 设点P(x,y)为圆C上任意一点,求P(x,y)到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离的最大值和最小值

6、 求圆心是点(2,-1) ,且截直线 y ? x ? 1 所得的弦长为 2

2 的圆的方程

7、若实数 x, y 满足

?x ? 5?2 ? ? y ? 12?2 ? 9, 求 x 2 ? y 2 的最小值

3


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