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四川省绵阳中学2016届高三上学期11月月考数学试卷(文科)


2015-2016 学年四川省绵阳中学高三 (上) 11 月月考数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 A.i﹣2 B.i+2 C.﹣2 D.2 2.命题“若 x=300°,则 cosx= ”的逆否命题是( A.若 cosx= ,则 x=300° B.若 x=300°,则 cosx≠ C.若 cosx≠ ,则 x≠300° D.若 x≠300°,则 cosx≠
2

=(





3.抛物线 y=2x 的焦点坐标是(



A. (0, ) B. (0, ) C. ( ,0) D. ( , 0)
2

4.函数 f(x)=log2(4﹣x )定义域为( ) A.[﹣2,2] B. (﹣2,2) C. (﹣∞,2)∪(2,+∞) 5.若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 B. C.1 D.
x

D. (﹣∞,2]∪[2,+∞) )

的值为(

6.已知 x0 是函数 f(x)=e ﹣ 的一个零点(其中 e 为自然对数的底数) ,若 x1∈(0,x0) , x2∈(x0,+∞) ,则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 0 D.f(x1)>0,f(x2)>0
2 2

x

C.f(x1)>0,f(x2)<

7.已知 F 为双曲线 C:x ﹣my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距 离为( ) A. B.3 C. m D.3m 8. 设 F 为抛物线 C: y =3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交于 C 于 A, B 两点, 则|AB|= ( )
2

A.

B.6

C.12

D.7

9.已知⊙C 的圆心在曲线 y= 上,⊙C 过坐标原点 O,且与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,则 △ OAB 的面积是( ) A.2 B.3 C.4 D.8 10.P 是△ ABC 内一点,△ ACP,△ BCP 的面积分别记为 S1,S2,已知 其中 λ∈(0,1) ,则 ,

=(



A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分.本大题共 25 分. 11.已知向量 =(2,﹣1) , =(m,3) ,若 ∥ ,则 m 的值是 .

12.若函数 f(x)=

(其中 a∈R)的值域为[ ,+∞) ,则 a 的取值范围




*

13.已知数列{an}满足 a1=19,an+1=an﹣2(n∈N ) ,则当数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值 时,n 的值为 .

14. 设 F1、 F2 分别是椭圆

+

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点, P 是其右准线上纵坐标为 .
2 2

c

(c 为半焦距)的点,且 F1F2=F2P,则椭圆的离心率是 15. 圆 C1 的方程为 (x﹣1)+y =
2 2

, 圆 C2 的方程为 (x﹣1﹣cosθ)+ (y﹣sinθ)= (θ∈R) ,

过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、PN,切点分别为 M、N,则∠MPN 的最大值 为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,16-19 每小题 12 分,20 小题 13 分,21 小题 14 分,本大题 共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 =(2cosx+2 sinx,1) , =(cosx,﹣y) ,且 ⊥ .

(1)将 y 表示为 x 的函数 f(x) ,并求 f(x)的单调增区间; (2)已知 a,b,c 分别为△ ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,若 f( )=3,且 a=2, b+c=4,求△ ABC 的面积. 17.已知点 P(2,2) ,圆 C:x +y ﹣8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线 段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△ POM 的面积. 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣n, (n∈N ) . (1)求证:数列{an+1}为等比数列; (2)令 bn=n+anlog2(an+1) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 19.某厂生产当地一种特产,并以适当的批发价卖给销售商甲,甲再以自己确定的零售价出 售, 已知该特产的销售 (万件) 与甲所确定的零售价成一次函数关系’当零售价为 80 元/件时, 销售为 7 万件;当零售价为 50 元/件时,销售为 10 万件,后来,厂家充分听取了甲的意见, 决定对批发价改革, 将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分, 其中固定批 发价为 30 元/件,弹性批发价与该特产的销售量成反比,当销售为 10 万件,弹性批发价为 1 元/件,假设不计其它成本,据此回答下列问题 (1)当甲将每件产品的零售价确定为 100 元/件时,他获得的总利润为多少万元? (2)当甲将每件产品的零售价确定为多少时,每件产品的利润最大?
* 2 2

20.已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆的焦点,

直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣x,g(x)= ax ﹣a(x+1) (其中 a∈R) ,令 h(x)=f(x)﹣g (x) . (1)当 a>0 时,求函数 y=h(x)的单调区间; (2)当 a<0 时,若 f(x)<g(x)在 x∈(0,﹣a)上恒成立,求 a 的最小整数值.
2

2015-2016 学年四川省绵阳中学高三 (上)11 月月考数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 =( )

A.i﹣2 B.i+2 C.﹣2 D.2 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:复数 = = =2+i,

故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了计算能力,属于基础题.

2.命题“若 x=300°,则 cosx= ”的逆否命题是( A.若 cosx= ,则 x=300° B.若 x=300°,则 cosx≠ C.若 cosx≠ ,则 x≠300° D.若 x≠300°,则 cosx≠



【考点】四种命题. 【专题】对应思想;定义法;简易逻辑. 【分析】根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,写出它的逆否命题即可. 【解答】解:命题“若 x=300°,则 cosx= ”的逆否命题是 “若 cosx≠ ,则 x≠300°”. 故选:C. 【点评】本题考查了命题与它的逆否命题的转化问题,是基础题目. 3.抛物线 y=2x 的焦点坐标是(
2



A. (0, ) B. (0, ) C. ( ,0) D. ( , 0) 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】先把抛物线的方程化为标准形式,再利用抛物线 x =2p y 的焦点坐标为(0, ) , 求出物线 y=2x 的焦点坐标.
2 2

【解答】解:∵在抛物线 y=2x ,即 x = ∴焦点坐标是 (0, ) ,

2

2

y,∴p= ,

= ,

故选 B. 2 【点评】 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用, 抛物线 x =2p y 的焦点坐标为 (0, ) .

4.函数 f(x)=log2(4﹣x )定义域为( ) A.[﹣2,2] B. (﹣2,2) C. (﹣∞,2)∪(2,+∞) D. (﹣∞,2]∪[2,+∞) 【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】计算题;定义法;函数的性质及应用. 2 【分析】根据对数函数的定义域知,对数的真数 4﹣x >0,解出即可. 【解答】解:根据对数函数的定义域知, 2 对数的真数 4﹣x >0, 解得 x∈(﹣2,2) , 因此,函数 f(x)的定义域为(﹣2,2) , 故选:B. 【点评】本题主要考查了对数函数的性质,函数定义域的解法,一元二次不等式的解法,属 于基础题.
x

2

5.若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 B. C.1 D.

的值为(



【考点】指数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先将点代入到解析式中,解出 a 的值,再根据特殊三角函数值进行解答. x a 【解答】解:将(a,9)代入到 y=3 中,得 3 =9, 解得 a=2. ∴ = .

故选 D. 【点评】对于基本初等函数的考查,历年来多数以选择填空的形式出现.在解答这些知识点 时,多数要结合着图象,利用数形结合的方式研究,一般的问题往往都可以迎刃而解. 6.已知 x0 是函数 f(x)=e ﹣ 的一个零点(其中 e 为自然对数的底数) ,若 x1∈(0,x0) , x2∈(x0,+∞) ,则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
x

C.f(x1)>0,f(x2)<

【分析】判断函数 f(x)的单调性,结合函数零点的定义,结合函数单调性的性质进行判 断即可. 【解答】解:函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∵x0 是函数 f(x)=e ﹣ 的一个零点, ∴f(x0)=e ﹣ =0,
x

则当 x1∈(0,x0)时,f(x1)<f(x0)=0, 当 x2∈(x0,+∞)时,f(x2)>f(x0)=0, 故选:B. 【点评】 本题主要考查函数单调性和函数零点的应用, 利用函数的单调性是解决本题的关键. 7.已知 F 为双曲线 C:x ﹣my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距 离为( ) A. B.3 C. m D.3m 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离 公式,可得结论. 【解答】解:双曲线 C:x ﹣my =3m(m>0)可化为 ∴一个焦点为( ,0) ,一条渐近线方程为 = . =0,
2 2 2 2



∴点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

故选:A. 【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题. 8. 设 F 为抛物线 C: y =3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交于 C 于 A, B 两点, 则|AB|= ( ) A. B.6 C.12 D.7
2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出焦点坐标,利用点斜式求出直线的方程,代入抛物线的方程,利用根与系数的 关系,由弦长公式求得|AB|. 【解答】解:由 y =3x 得其焦点 F( ,0) ,准线方程为 x=﹣ . 则过抛物线 y =3x 的焦点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y=tan30°(x﹣ )= 代入抛物线方程,消去 y,得 16x ﹣168x+9=0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 x1+x2= ,
2 2 2

(x﹣ ) .

所以|AB|=x1+ +x2+ = + +

=12

故答案为:12. 【点评】本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,弦长公式的应用,运用弦长公 式是解题的难点和关键.

9.已知⊙C 的圆心在曲线 y= 上,⊙C 过坐标原点 O,且与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,则 △ OAB 的面积是( ) A.2 B.3 C.4 D.8 【考点】定积分在求面积中的应用. 【专题】直线与圆. 【分析】设圆心坐标为(a, ) ,可得圆的方程,即可求出三角形 OAB 的面积. 【解答】解:设圆心坐标为(a, ) ,则 r=
2 2 2



∴⊙C 的方程为(x﹣a) +(y﹣ ) =a + 令 x=0,可得 y= ,令 y=0,可得 x=2a, ∴三角形 OAB 的面积为 ×| |×|2a|=4;



故选 C. 【点评】本题考查了圆的方程,考查学生的计算能力,比较基础. 10.P 是△ ABC 内一点,△ ACP,△ BCP 的面积分别记为 S1,S2,已知 其中 λ∈(0,1) ,则



=(



A.

B.

C.

D.

【考点】向量加减混合运算及其几何意义. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】可以得到 ,而 λ∈(0,1) ,从而可以作图:延长 CA 到 D,

使得 CD=3CA,并连接 BD,延长 CP 交于 BD 的中点 E,根据三角形的面积公式便可得到, ,这样便可求出 .

【解答】解:如图,延长 CA 到 D,使 CD=3CA,连接 BD,延长 CP 交 BD 的中点 E;

,λ∈(0,1) ; ∴ ∴ 又 S△ CDE=S△ BCE; ∴ . ; , ;

故选 B. 【点评】考查向量数乘的几何意义及其运算,向量加法的平行四边形法则,以及三角形的面 积公式,相似三角形对应边的比例关系. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分.本大题共 25 分. 11.已知向量 =(2,﹣1) , =(m,3) ,若 ∥ ,则 m 的值是 ﹣6 . 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】方程思想;转化思想;平面向量及应用. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】解:∵ ∥ , ∴﹣m﹣6=0, 解得 m=﹣6. 故答案为:﹣6. 【点评】本题考查了向量共线定理的应用,考查了计算能力,属于基础题.

12.若函数 f(x)=

(其中 a∈R)的值域为[ ,+∞) ,则 a 的取值范围是



【考点】函数的值域. 【专题】计算题;分类讨论;函数的性质及应用;集合. 【分析】分别求 x≥0 与 x<0 时 f(x)的值域,再由集合的并运算解得. 【解答】解:当 x≥0 时,f(x)=sinx+ , 故 ≤f(x) ,
2

当 x<0 时,f(x)=x +a, 故 f(x)>a; ∵函数 f(x)的值域为 ∴ ≤a≤ ; 故答案为: . ,

【点评】本题考查了分段函数的值域的求法应用及分类讨论的思想应用. 13.已知数列{an}满足 a1=19,an+1=an﹣2(n∈N ) ,则当数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值 时,n 的值为 10 . 【考点】数列递推式. 【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项公式可得:an,令 an≥0,解出即可得出. * 【解答】解:数列{an}满足 a1=19,an+1=an﹣2(n∈N ) ,即 an+1﹣an=﹣2, ∴数列{an}是等差数列,首项为 19,公差为﹣2. ∴an=19﹣2(n﹣1)=21﹣2n, 令 an=21﹣2n≥0, 解得 n ,解得 n≤10.
*

∴当数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值时,n 的值为 10. 故答案为:10. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

14. 设 F1、 F2 分别是椭圆

+

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点, P 是其右准线上纵坐标为

c

(c 为半焦距)的点,且 F1F2=F2P,则椭圆的离心率是



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求离心率就寻找 a,c 的关系,借助与 F2P=F1F2=2c,Rt△ PMF2 建立等量关系求出 离心率. 【解答】解析:如图有 P( ) ,设右准线交 x 轴于 H 点,

∵F2P=F1F2=2c,且 PH= ∴F2H=c,OH= 故答案: .
2

c,故∠PF2H=60°; .

=2c?e = ?e=

【点评】本题考查了学生分析问题的能力,通过画图寻找 a,c 的关系,求解椭圆的离心率 15. 圆 C1 的方程为 (x﹣1)+y =
2 2

, 圆 C2 的方程为 (x﹣1﹣cosθ)+ (y﹣sinθ)= (θ∈R) ,

2

2

过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、PN,切点分别为 M、N,则∠MPN 的最大值 为 .

【考点】圆的切线方程. 【专题】综合题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】首先判断圆与圆的位置关系,进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题,最 后求出∠MPN 的最大值. 【解答】解:圆 C1 的方程为(x﹣1) +y = 圆 C2 的方程(x﹣1﹣cosθ) +(y﹣sinθ) = R= . 由于 cos θ+sin θ=1,|C1C2|>R+r, 所以两圆相离. 过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、PN,切点分别为 M、N,则要求∠MPN 的最 大值, 只需满足:在圆 C2 找到距离圆 C1 最近点即可. 所以|PC1|=1﹣ = ,|MC1|= . 在 Rt△ MPC1 中,根据|PC1|= ,|MC1|= ,解得:∠MPC1= 所以:∠MPN= , . ,
2 2 2 2 2 2

,圆心坐标为:C1(1,0)半径 r= . ,圆心坐标为:C2(1+cosθ,sinθ) ,半径

即∠MPN 的最大值为 故答案为: .

【点评】本题考查的知识要点:圆与圆的位置关系,特殊位置出现相关的三角形知识,及角 的最值问题.

三、解答题:本大题共 6 小题,16-19 每小题 12 分,20 小题 13 分,21 小题 14 分,本大题 共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 =(2cosx+2 sinx,1) , =(cosx,﹣y) ,且 ⊥ .

(1)将 y 表示为 x 的函数 f(x) ,并求 f(x)的单调增区间; (2)已知 a,b,c 分别为△ ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,若 f( )=3,且 a=2, b+c=4,求△ ABC 的面积. 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系; 两角和与差的正弦函数; 正弦函数的单调性; 正弦定理;余弦定理. 【专题】三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】 (1)由数量积为 0 可得方程,由三角函数的公式化简可得 f(x) ,再由 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,可得单调递增区间; )=3,进而可得 A= ,由余弦定理可得 bc=4,

(2)结合(1)可得 f( )=1+2sin(A+ 代入面积公式 S=

,计算可得答案.

【解答】解: (1)由题意可得(2cosx+2 sinx)cosx﹣y=0, 2 即 y=f(x)=(2cosx+2 sinx)cosx=2cos x+2 sinxcosx =1+cos2x+ 由 2kπ﹣ sin2x=1+2sin(2x+ ≤2x+ ≤2kπ+ ) , ≤x≤kπ+ ],k∈Z ) , )=1 ,k∈Z,

,得 kπ﹣ ,kπ+

故 f(x)的单调增区间为[kπ﹣

(2)由(1)可知 f(x)=1+2sin(2x+ 故 f( )=1+2sin(A+ 故可得 A+ =

)=3,解得 sin(A+ ,

,解得 A=
2 2 2

由余弦定理可得 2 =b +c ﹣2bccosA, 2 2 2 化简可得 4=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=16﹣3bc, 解得 bc=4,故△ ABC 的面积 S= = =

【点评】本题考查三角函数的性质和余弦定理的应用,涉及向量的垂直的判断,属基础题. 17.已知点 P(2,2) ,圆 C:x +y ﹣8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线 段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△ POM 的面积. 【考点】轨迹方程;三角形的面积公式.
2 2

【专题】直线与圆. 【分析】 (1)由圆 C 的方程求出圆心坐标和半径,设出 M 坐标,由 与 数量积等于 0

列式得 M 的轨迹方程; (2)设 M 的轨迹的圆心为 N,由|OP|=|OM|得到 ON⊥PM.求出 ON 所在直线的斜率,由 直线方程的点斜式得到 PM 所在直线方程,由点到直线的距离公式求出 O 到 l 的距离,再由 弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出 PM 的长度,代入三角形面积公式得答案. 【解答】解: (1)由圆 C:x +y ﹣8y=0,得 x +(y﹣4) =16, ∴圆 C 的圆心坐标为(0,4) ,半径为 4. 设 M(x,y) ,则 由题意可得: . , .
2 2 2 2

即 x(2﹣x)+(y﹣4) (2﹣y)=0. 2 2 整理得: (x﹣1) +(y﹣3) =2. 2 2 ∴M 的轨迹方程是(x﹣1) +(y﹣3) =2. (2)由(1)知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 由于|OP|=|OM|, 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上, 又 P 在圆 N 上, 从而 ON⊥PM. ∵kON=3, ∴直线 l 的斜率为﹣ . ∴直线 PM 的方程为

为半径的圆,

,即 x+3y﹣8=0.

则 O 到直线 l 的距离为



又 N 到 l 的距离为 ∴|PM|= ∴ = . .



【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法,训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系, 训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题. 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an﹣n, (n∈N ) . (1)求证:数列{an+1}为等比数列; (2)令 bn=n+anlog2(an+1) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;转化思想;定义法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)根据数列的前 n 项和公式,利用等比数列的定义,得出{an+1}是等比数列;
*

(2)根据题意,求出数列{bn}的通项公式,再写出前 n 项和的表达式,利用错位相减法求 出 Tn 的解析式. 【解答】解: (1)由 Sn=2an﹣n,可得 S1=2a1﹣1,即 a1=1, (1 分) 又 Sn+1=2an+1﹣(n+1) , 相减得 an+1=2an+1﹣2an﹣1,即 an+1=2an+1, (2 分) 所以 ,

故{an+1}是以 a1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列. (6 分) (2)由(Ⅰ)得到 an+1=2 ,所以
n n n

, (7 分)

于是 bn=n+anlog2(an+1)=n+n(2 ﹣1)=n×2 , (8 分) 1 2 3 n﹣1 n Tn=1×2 +2×2 +3×2 +…+(n﹣1)×2 +n×2 , 2 3 4 n n+1 2Tn=1×2 +2×2 +3×2 +…+(n﹣1)×2 +n×2 , 1 2 3 n n+1 相减整理得﹣Tn=2 +2 +2 +…+2 ﹣n×2 , n+1 所以 Tn=(n﹣1)×2 +2. (12 分) 【点评】本题考查了等比数列的定义与数列求和的应用问题,考查了转化思想的应用问题, 是综合性题目. 19.某厂生产当地一种特产,并以适当的批发价卖给销售商甲,甲再以自己确定的零售价出 售, 已知该特产的销售 (万件) 与甲所确定的零售价成一次函数关系’当零售价为 80 元/件时, 销售为 7 万件;当零售价为 50 元/件时,销售为 10 万件,后来,厂家充分听取了甲的意见, 决定对批发价改革, 将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分, 其中固定批 发价为 30 元/件,弹性批发价与该特产的销售量成反比,当销售为 10 万件,弹性批发价为 1 元/件,假设不计其它成本,据此回答下列问题 (1)当甲将每件产品的零售价确定为 100 元/件时,他获得的总利润为多少万元? (2)当甲将每件产品的零售价确定为多少时,每件产品的利润最大? 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)设该特产的销售量 y(万件) ,零售价为 x(元/件) ,且 y=kx+b,由题意求得 k, b,设弹性批发价 t 与该特产的销售量 y 成反比,求得 t,b 的关系式,设总利润为 z(万元) , 求得 z 的关系式,再令 x=100,即可得到所求总利润; (2)由(1)可得每件的利润为 m=x﹣30﹣ (x<150) ,运用基本不等式即可得

到所求最大值及对应的 x 值. 【解答】解: (1)设该特产的销售量 y(万件) ,零售价为 x(元/件) , 且 y=kx+b,由题意可得 7=80k+b,10=50k+b, 解得 k=﹣ ,b=15,可得 y=15﹣ x,

设弹性批发价 t 与该特产的销售量 y 成反比, 当销售为 10 万件,弹性批发价为 1 元/件, 即有 t= ,

设总利润为 z(万元) ,

则 z=(15﹣

x) (x﹣30﹣

)=(15﹣0.1x) (x﹣30﹣ )=340,

) ,

令 x=100 时,则 z=(15﹣10)×(100﹣30﹣ 即有他获得的总利润为 340 万元; (2)由(1)可得每件的利润为 m=x﹣30﹣ =x﹣ ≤120﹣2 ﹣30=x﹣150+ +120 =120﹣20=100.

(x<150)

当且仅当 x﹣150=﹣10,即 x=140 时,取得等号. 则甲将每件产品的零售价确定为 140 元/件时,每件产品的利润最大. 【点评】 本题考查一次函数和反比例函数的解析式的求法, 考查基本不等式的运用: 求最值, 注意每件的利润和总利润的关系,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题.

20.已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆的焦点,

直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)通过离心率得到 a、c 关系,通过 A 求出 a,即可求 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l:y=kx﹣2,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)将 y=kx﹣2 代入 ,利用

△ >0,求出 k 的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△ OPQ 的面积表达式,利用换元 法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程. 【解答】解: (Ⅰ) 设 F(c,0) ,由条件知 所以 a=2?,b =a ﹣c =1,故 E 的方程
2 2 2

,得

?又



.…. (6 分)

(Ⅱ)依题意当 l⊥x 轴不合题意,故设直线 l:y=kx﹣2,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) 将 y=kx﹣2 代入
2

,得(1+4k )x ﹣16kx+12=0,

2

2

当△ =16(4k ﹣3)>0,即

时,

从而

? ?

又点 O 到直线 PQ 的距离

,所以△ OPQ 的面积

=





,则 t>0,



当且仅当 t=2,k=±

等号成立,且满足△ >0, x﹣2 或 y=﹣ x﹣2.…(12 分)

所以当△ OPQ 的面积最大时,l 的方程为:y=

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转 化思想以及计算能力. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣x,g(x)= ax ﹣a(x+1) (其中 a∈R) ,令 h(x)=f(x)﹣g (x) . (1)当 a>0 时,求函数 y=h(x)的单调区间; (2)当 a<0 时,若 f(x)<g(x)在 x∈(0,﹣a)上恒成立,求 a 的最小整数值. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;分类讨论;分类法;导数的概念及应用. 【分析】 (1)求导,分别判断导函数在定义域上各区间的符号,可得函数 y=h(x)的单调 区间; (2)①当﹣ =1,即 a=﹣1 时,f(x)<g(x)恒成立;②当﹣ >1,即﹣1<a<0 时, f(x)<g(x)恒成立;当﹣1< <0,即 a<﹣1 时,考虑 h(﹣a)<0 时,a 的取值,进 而可得答案. 【解答】解: (1)h(x)=f(x)﹣g(x) =lnx﹣x﹣ ax +a(x+1) , h′(x)= ﹣1﹣ax+a=(1﹣x) ( +a) , ∵a>0,∴ +a>0, ∴当 0<x<1 时,h′(x)>0; 当 x>1 时,h′(x)<0; 故函数 y=h(x)的单调增区间为(0,1) ,单调减区间为(1,+∞) ; (2)h(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣x﹣ ax +a(x+1) ,
2 2 2

h′(x)= ﹣1﹣ax+a= 令 h′(x)=0,则 x=1,x=﹣ ,



①当﹣ =1,即 a=﹣1 时,h′(x)>0 在 x∈(0,1)上恒成立, 则 h(x)在 x∈(0,1)上为增函数, h(x)<h(1)=﹣ <0, ∴f(x)<g(x)恒成立; ②当﹣ >1,即﹣1<a<0 时, h(x)在(0,1)上是增函数,此时 0<﹣a<1, 故 h(x)在(0,﹣a)上是增函数,h(x)<h(﹣a)<h(1)= 解得:a< ∴﹣1<a<0 时,f(x)<g(x)恒成立; ③当﹣1< <0,即 a<﹣1 时, 故 h(x)在(0,﹣ )上是增函数,在(﹣ ,1)上是减函数,在(1,﹣a)是增函数; 由 = <0, 故只需考虑 h(﹣a)<0, ∵h(﹣a)= 下面用特殊整数检验, 若 a=﹣2,则 h(2)=ln2+4﹣8=ln2﹣4<0 若 a=﹣3,则 h(3)=ln3+ ﹣15=ln3﹣ <0 = <0, = = ﹣1<0,

若 a=﹣4,则 h(4)=ln4+32﹣24=ln4+8>0 令 u(x)= ,则 u′(x)= ,

当 x≤﹣4 时,u′(x)<0 恒成立,此时 u(x)为减函数, 故 u(x)≥u(4)>0 再由 a≤﹣4 时,ln(﹣a)>0, 故 a≤﹣4 时,h(﹣a)>0 恒成立, 综上所述,使 f(x)<g(x)在 x∈(0,﹣a)上恒成立的 a 的最小整数值为﹣3. 【点评】本题考查的知识点是导数法求函数的单调区间,恒成立问题,存在性讨论,分类讨 论思想,难度较大,属于难题.


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