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含有一个量词的命题的否定


1.4.3含有一个量词的

命题的否定
青云中学高二数学备课组

1、什么叫做全称量词,全称命题?
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全 称量词.用符号“ ”表示。 ? 含有全称量词的命题,叫做全称命题

简记为:?x ? M,p(x)
2、什么叫做存在量词,特称命题?
短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存 在量词.用符号“ ”表示。 ? 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

简记为::?x0 ? M,p(x0 )

还有那些量 词是全称量词 或特称量词?

写出下列命题的否定 1)所有的矩形都是平行四边形; ?x ? M,p(x)

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

?x0 ? M,?p(x0 ) 1)存在一个矩形不是平行四边形;
?x0 ? M,?p(x0 )

3)?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0
2

?x0 ? M,?p(x0 )

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从形式看,全称命题的否定是特称命题。

含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论

全称命题

p:

它的否定?p :
全称命题的否 定是特称命题

?x ? M,p(x)

?x0 ? M,?p(x0 )

例1写出下列全称命题的否定: 1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;
2)p:每一个四边形的四个顶点共圆 2 3)p:对任意x ? Z,x 的个位数字不等于3。
解:1)?p : 存在一个能被3整除的整数不都是奇数. 2) ?P : 存在一个四边形的四个顶点不共圆. 3)

?p :

?x0 ? z,

x0

2

的个位数字等于3 .

1 写出下列全称命题的否定:
(1) ?n ? Z,n ? Q; ?n ? Z,n ? Q; (2)任意素数都是奇数; 存在一个素数,它不是奇数.

(3)每个指数函数都是单调函数.
存在一个指数函数,它不是单调函数.

写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;
?x0 ? M,p(x0 ) ?x0 ? M,p(x0 )

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x0 ? R, x02 ?1< 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

?x0 ? M,p(x0 )
?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式看,这三个特称命题的否定都 变成了全称命题.
一般地,对于含有一个量词的特称命题的 否定,有下面的结论
特称命题 p : 它的否定

?x0? M,p(x0)

?p :

特称命题的否 定是全称命题

? x ? M, ?p(x)

例2 写 出下列特 称命题 的否定: 1)p:?x0 ? R,x02 +2x0 +2 ? 0;
2)p:有的三角形是等边三角形;
3) P: 有一个素数含三个正因数.
解: 1)?p : ?x ? R,x 2 ? 2 x ? 2 >0 2) ?p : 所有三角形都不是等边三角形

?p : 每一个素数都不含三个正因数 3)

2 写出下列特称命题的否定:
(1)有些三角形是直角三角形;

所有三角形都不是直角三角形. (2)有些梯形是等腰梯形;
所有梯形都不是等腰梯形.

(3)存在一个实数,它的绝对值不是正数.
所有实数的绝对值都是正数.

基础练习:
1.命题“所有人都遵纪守法”的否定为( C A.所有人都不遵纪守法;B.有的人遵纪守法; C.有的人不遵纪守法; D.很多人不遵纪守法。 2.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为 ( D ) A.所有自然数的平方都不是正数; )

B.有的自然数的平方是正数;
C.至少有一个自然数的平方是正数;

D.至少有一个自然数的平方不是正数。

3.命题“存在一个三角形,内角和不等于180o” 的否定为( ) B A.存在一个三角形,内角和等于180o ; B.所有三角形,内角和都等于180o ; C.所有三角形,内角和都不等于180o ; D.很多三角形,内角和不等于180o 。 4.命题“乌鸦都是黑色的”的否定 至少有一个乌鸦不是黑色的 为:______________________________. 5.命题“有的实数没有立方根”的否定 真 命题.(填“真”、“假”) 为:_____

巩固提升

写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:任意两个等边三角形都相似 (2)p:? x0∈R,使x02+2x0+2=0 (3)至少有一个实数x0 ,使 ( 1) ﹁

? p:存在两个等边三角形,它们不相似
? x∈R,x2+2x+2≠0
3

x0 ? 1 ? 0.

3

假命题 真命题 假命题

(2)﹁p:

(3) p : ?x ? R, x ? 1 ? 0

?

知识延伸 写出下列命题的否命题及命题的否定形式,并判断真假 . (1)若X、Y都是偶数,则X+Y是偶数. 真 否命题: 若X、Y不都是偶数,则X+Y不是偶数 假 命题的否定:若X、Y都是偶数, 则X+Y不是偶数 假 思考:否命题 ⑵若abc=0,则a、b、c中至少有一个为0. 与命题的否定 真 的区别? 否命题:若abc≠0 ,则a、b、c全不为0 真
命题的否定:若abc=0 ,则a、b、c 全不为0 1、否命题:否定条件,也否定结论. 2、命题的否定:只否定结论,不否定条

假 结论:
1、原命题与否命题真假性无关!

件.
原命题: 否命题: 若 p,则q. 若 ┐p , 则┐q .


2、原命题与命题的否定真假性相反!

一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:

?p : ?x ? M,?p(x ) 0 0
?x0? M,p(x0)

特称命题 p : 它的否定 p

?p :

? x ? M, ?p(x)
至多有 对任意x?A,使 一个 p(x)真 至少有 存在x ?A,使 两个 p(x)假

是 都是 ? > 至少有 一个 ?p 不 不 ? ? 一个也 是 都是 没有

作业:课本P26 A组3 ; B组1

课本P28 A组6


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